行测立体折叠学习笔记.

1、图形推理之立方体拆叠一、基础知识（1）正方体性质正方体共有 8 个顶点， 12 条边， 6 个面。每个面有且有一个相对面，有 4 个相邻面。每 3 个相邻面有一个公共顶点，每 2 个相邻面有一条公共边。即每个顶点都必然为 3 个相邻面共居，每条边都必然为 2 个相邻面共居。每个顶点有 3 条边从该点出发。（2）拆开、叠起正方体的拆开是指正方体沿着边剪开而使六个面由立体组合变为平面组合，从而形成一个由六个正方形组成的平面图。叠起即将这个过程复原的操作。公务员考试中叠起的方向是从外向内叠起，拆开的方式从外向内平铺（即立体视图中的表面为外表面） 。由于拆开是沿着边剪开，并且保证六个面始终连接（而不是

2、把六个面分别剪开，再随意组合在一起的） ，所以不管如何拆叠，正方体还是那个正方体，所以，正方体的根本性质不会改变，即：在立体图和展开图中相对面依旧是相对面，相邻面依旧是相邻面；每条边所共居的两个面不会改变；每个顶点共居的三个面不会改变；各面上图案指向公共边、公共顶点的方向，与公共边、公共顶点的相对位置，与公共边、公共顶点形成的角度，与其他面上图案的关系不会改变；从每个顶点出发的三条边不会改变。由于正方体有多种拆叠方式， 并且在拆开、 叠起的过程有可能会发生旋转，所以有些表面现象可能会变化，即：立体图的边有可能被剪开成为 2 条边，分开到 2 个正方形；顶点有可能被剪开分开到 2 个、 3 个正

3、方形；面的左右、上下位置可能会改变；面上图案的方向可能会改变。但是这些变化是规律的改变，这就是做题的关键：被剪开的边必然分布在它原本的 2 个相邻面上，在叠起的过程中重合；被剪开的顶点必然分布在它原本的 2 个、 3 个相邻面上，在叠起的过程中重合；- 1 -（立方体的叠起就是一个点与点、线与线重合的过程）由于立方体、平面图都可以旋转，所以上下、左右关系只是一种肤浅、错误的空间认知方式，但无论如何剪开、如何旋转，不可能改变的是面与面之间旋转方向，即 3 个面，沿着面 1、面 2、面 3 划箭头的顺时针、逆时针性质不会改变。（两个面很难判定是顺逆时针， 而在立方体的一个视图中只能看见 3 个面）

4、。面上图案的旋转是由于立方体的旋转造成的，图案本身不可能旋转，面也不可能单独旋转，所以图案和公共顶点、公共边的关系，图案和其他面上图案的关系都不可能改变。 （这要在首先复原公共顶点、公共边，或确定其他面的前提下来应用）（3）视图（考试所用）一个立体视图可以看到正方形的 3 个面，包含上顶面、左侧面、右侧面。例如：1、任意三个非相对面都可以构成1 个视图；2、A、B、C 面内不能有相对面；3、A、B、C 面共享 1 个公共顶点；4、沿着 A、B、C 三个面画箭头的顺、逆时针性质与平面图一致（具体应用下面说明）；5、从 4 可以推出， 3 个确定的面只能构成3 种视图，例如：（图中 A-B-C 的

5、顺序都是逆时针。从A、B 面考虑，它们在视图中的- 2 -分布方式可以有 C(3，1)*C（2,1）=6 种方式，但是另外三种方式不可能和 C 面组成，只能和 C 面的相对面组成）6、从三个面组成的一个视图可以旋转得到另外两个视图（正方体是唯一且确定的，三个视图是旋转形成的不同视觉效果）。7、正方体不可能有2 个相同的视图 （一个视图的全部信息应包括视图所包含的3 个面、 3 个面在视图中的位置、面上图案的方向、视图的1公共顶点、 3 条公共边）。8、实际上，一个面就可以确定一个视图 （一个面的全部信息应包括面、面在视图中的位置、 面上图案的方向、 面上的 4 个点（4 条边）的位置）。设 A

6、 的对面为 D，B 的对面为 E，C 的对面个为 F，则A 可以和 BC，BF，EC，EF 分别组成 3 个视图，计 12 个视图。A 在上顶面可以和BC，BF，CE，EF 分别组成 1 个视图，计 4 个视图（ A 在左侧面、右侧面相同） 。A 面上图案的方向是否会改变要根据具体图案来定。A 面上的 4 个点（ 4 条边）的位置在每个视图中都不同。9、根据以上规律，可以得出，在解题中，判断一个视图是否可以有平面图得到的方法为（按照从易到难的逻辑顺序排列） ：（1）三个面是否可能构成视图三个面中不能有相对面；（2）三个面是否可以构成指定视图（面在视图中的位置是否正确）根据时针法，沿着三个面画箭

7、头的顺、逆时针性质与平面图一致。（3）面上图案的方向是否错误面上图案与公共顶点、 公共边的关系， 面上图案与和其他面上图案的关系与平面图一致（例如上例中，字母 A 的尖端始终指向 AB 面的公共边，B 的上顶点始终指向 BC 面的公共边， C 的开口始终指向 CA 面的公共边， A 的尖端始终指向 C 的下端， C 的开口始终指向 B 的上端， B 的竖直线始终与 A 字母平行）。（4）点（边）的位置是否正确由于点（边）本身都长一样，所以通过面上图案和点（边）的关系来判断。- 3 -三个面的公共顶点的性质在视图和平面图中应该一致。两面之间的公共边的性质在视图和平面图中应该一致。即：公共边为黑边

8、的，仍为黑边；公共顶点有 m 根对角线穿过的，仍有 m 根对角线。10、视图中首先要确定的组成这个视图的三个面，然后才是面上图案的方向。在解题时，不要为担心图案的旋转而牵绊住。二、解题策略总体思路为排除法，即找出选项中答案是否有不符合的部分。注意：下述方法按照解题从易到难的顺序排列，同时，解题时必须遵守的思路，即必须先判断是否出现相对面，而后使用时针法来判断位置是否正确，进而确定构成视图的三个面。在确定面之后，利用图案之间，图案和公共顶点、公共边的关系来判断图案是否错误。而描点法可以用来确定公共边、公共顶点的，从而来判断图案是否正确，也可以作为杀手锏单独使用（通常用于线条类或者图案多有重复的题

9、目） 。根据基础知识 -视图 -9 的知识，按照以下方法来操作：（1）相对面排除法 -判断三个面是否可能构成视图平面图中的相对面变为相邻面，则错误。1、相对面的判断方法- 4 -以上 4 个平面图中，阴影面在正方体中都是相对面。即： I 型图，即两个面在同 1 列或同 1 行，中间隔 1 个面，则两个面相对（如果中间隔 2 个面，则为相邻）。Z 型图，即两个面之间相隔 1 列，且划线可以构成 Z 字型，则两个面相对。注意：左图中的两个黑面不是相对面，因为 Z 字明显一长一短，应该如右图所示。2、相邻面的判断方法平面图中相邻的面必然相邻，有公共顶点的面必然相邻；在同1 列或同 1 行中间隔 2

10、个面的相邻（它们的相对面在平面图中相邻的）。注意：立体图中相邻的面在平面图中不一定相邻，这是因为叠是一个重合的过程，而拆是一个剪开的过程。总结起来就是：相对必然不相邻，平面相邻立体必相邻，立体相邻需分析。（2）时针法 -判断三个面是否可以构成该视图沿着三个面画箭头，平面图和立体图的顺、逆时针应该一致。使用条件：1、三个面没有相对面；2、平面图中，三个面应该至少形成两对面相邻（有公共边或者公共顶点）。3、不适用于面上图案发生旋转的题目（注意：这里的不适用是指使用时针法无法判断图形是否发生旋转，即无法真正实现解题，但并不是说时针法就无法参与解题。在图形十分简单或者图案出现重复的题目中，使用时针法可

11、以帮助确定构成视图的面，从而促进解题） 。例题解析：- 5 -利用相对面排除法， 可以排除选项 C，选项 A 中 1-4-6的顺序为逆时针，和平面图中不相同，故排除。选项 D 中 2-4-6 的顺序为逆时针，和平面图中不相同，故排除。选项 B 中，1-3-4 的顺序为逆时针，和平面图中相同，故选择 B。注意：如果三个面无法构成条件 2，则可以寻找其中一个面的相对面，它往往和另两个面能够构成条件 2，而它和另两个面画箭头的顺、逆顺序和原来的面相反。如果，相对面仍然无法构成条件 2，则可以选择将较远面翻转到另两个面旁边，即将该面翻转到自己的相对面的相对面（即平面图中该面的相对面的其他相对面位置）

12、，前提是翻转后的平面图依旧能够构成立方体。（3）图案关系法 -判断面上的图案是否正确立体图中，指定面上图案与公共顶点、公共边的关系，面上图案与和其他面上图案的关系与平面图一致。例题解析：相对面排除法：平面图中，1 点面和 4 点面相对，故排除B。时针法：平面图中， 1 点面 -3 点面 -2 点面为顺时针，故 1 点面 -3 点面 -6 点面为逆时针， A 项符合。 4 点面 -5 点面 -6 点面为逆时针，故 1 点面 -5 点面 -6 点面为顺时针，所以排除 C。2 点面 -3 点面 -4 点面为顺时针， D- 6 -项符合。图案关系法：平面图中，2 点面、 3 点面、 4 点面相邻，优先

13、判断D 项。发现平面图中 2 点与 2 点面、 3 点面的公共边平行，垂直于2 点面、 4 点面的公共边，而D 中 2 点与 2 点面、 3 点面的公共边垂直，平行于2 点面、 4 点面的公共边，故排除D，答案为 A。（4）标点法 -判断公共顶点、公共边是否正确立体图中三个面的公共顶点，两个面的公共边的性质应该与平面图中一致。立方体的叠起就是一个点与点、边与边复合的过程。 1 个点携带有且只有 3 个面， 1 条边携带有且只有 2 个面，相对面不能共享点、 面。所以标点法，就是要将平面图中的各个点、边找到自己的“下家” 。1、平面图会出现 14 个点，部分点携带 3 个面（ L 型的三个面的公

14、共点），如图中的 N 点， G 点。部分点携带 2 个面，如图中的 C 点、 E 点、F 点、J 点、M 点、L 点。部分点携带 1 个面，如图中的 A 点、B 点、D 点、H 点、I 点、K 点。2、3 面点即是它所携带的3 个面的公共顶点，如 N（1,2,3）、G（4,5,6）。3、2 面点会和 1 面点重合，成了2 个点原本分别携带的3 个面的公共顶点。如 A 点和 M 点重合（ 1,3,4），B 点和 L 点重合（ 1,4,5），C 点和K 点重合（ 1,2,5）D 点和 J 点重合（ 2,5,6），E 点和 I 点重合（ 2,3,6），F点和 H 点重合（ 3,4,6）。4、3 个

15、1 面点重合，成了3 个点原本分别携带的3 个面的公共顶点（图中未出现此种情况）。5、随着点的重合，边也重合成为面的公共边。如AN 和 MN 重合成为 1 和 3 的公共边， AB 和 ML 重合成为 1 和 4 的公共边，BC 和 LK 重合成为 1和 5的公共边， CD 和 KJ重合成为 2和 5的公共边， DE 和 JI重合成为 2 和 6 的公共边， EF 和 IH 重合成为 3 和 6 的公共边， FG 和 HG重合成为 4 和 6 的公共边。（原本就携带两个面的边不变， CN(1，2),NE(2，3)，MF(3，4),LG(4，5),GJ(5,6)）。6、注意：边是相互重合，而不能

16、生出新的边。如B、L 重合，平面图上通过 B、L 的边有 AB,BC,LG, ML,LK, 共 5 条边。 AB 和 ML 重合，成- 7 -为 1和 4公共边，BC和LK 重合，成为 1和 5的公共边， LG 是 4，5的公共边，即从 B（L）点出发了 3 条边，不存在 LC(因为有了 BC)，不存在 BG（因为有了 LG）,不存在 BK（因为有了 LK ）,不存在 LA（因为有了 BA）。根据以上的判断，可以看出：选项 A由 3和 1或 4、5或 6组成，但是 3和 5是相对面，排除 5。1和 6 是相对面，排除。那么只有 3、4、6。平面图中， 3-4-6 为顺时针，立体图中符合。 3-

17、4-6的公共顶点为 F（H），平面图中 3 上的对角线没有通过 F 点，而立体图中通过了，所以为错误。 （另一种思路：先确定右侧面为3，根据前面判断的点重合情况，确定公共顶点为 A（M）,可得出顶面为4，正面为 1，由此得出 A 项不正确，如右上角图。 ）选项 B 应该有 3 和 2、5 或 6 组成，但是 3 和 5 相对，所以应该为 3、2、6。3-2-1 为顺时针，所以 3-2-6为逆时针， B 符合。 3、2、6 公共顶点为 E（ I），平面图中 6 上的斜线没有通过 I，所以 B 错误。（另一种思路：先确定顶面为 3，根据前面判断的点重情况，确定公共顶点为 E（I ）,可得- 8 -

18、出正面为 2（CDEN ），右侧面为 6（HIJG），由此得出 B 项不正确。如左下角图）选项 C 由 2、5、6 组成。根据时针法， 4-5-6 为顺时针，所以 2-5-6 为逆时针，则判断，左侧面为 5，右侧面为 6。2、5、6 的公共顶点为 D（J），平面图中， 5、6 两个面的斜线都没有穿过 J，C 符合。 5 上的 JK 应为直角三角形的一条边（或者说 J 点在 5 上应该为直角三角形的直角点） ，但是立体图中不符合，所以 C 错误。 ( 另一种思路：右侧面和正面与平面图形中的面和面对应，分析发现向外无法折出 C 项所示的方位。如左上角图 )选项 D 由 3、4、6 组成。平面图中

19、3-4-6为顺时针， D 符合。 3-4-6 的公共顶点为 F（H），各点、各边均正确，故选择 D。（右下角图）公共顶点、公共边的判断方法：1、从易到难法。平面图中构成 L 字型的三个面上原本相互垂直的两条边会重合， 边上的 2 个点会重合。 即图中的 A 点和 M 点、F 点和 H 点重合， AN 和 MN 重合成为 1 和 3 的公共边， FG 和 HG 重合成为 4 和 6 的公共边。这些关系的确立为寻找公共边、公共顶点打下基础。2、 相互配合法。 公共顶点必然在公共边上，公共边必然从公共顶点出发。 1 个面必然和它的4 个非相对面都有公共边。 1 个面上的 4 条边都要有另一个面来分享

20、， 4 个点都要有另 2 个面来分享。 2 条边重合则边上的顶点分对重合。如A 点和 M 点重合，则 1,4 的公共边必然分别从A点、M 点出发，而 AN（NM ）已经是 1,3 的公共边， MF 是 3,4的公共边，则 1,4 的公共边必然是AB、ML ，同时也推断出B 点和 L 点重合。3、错误排除法。 1 个 2 面点和 1 个 1 面点重合。 3 个 1 面点重合。 1个点已经找个 3 个面，必然不再和别的点重合。1 个边已经找到2 个面，必然不再和别的点重合。知识补充：（ 1）解题时要选择特殊面来进行推理，如果所有面上都无特别的图案来帮助判断，可以选定一面，添上一个箭头（或者在边上画箭头） ，来人为加上一个图案。前提是这个箭头必须是唯一的，即在平面图、立体图中都可以确定的找到这个箭头的起点。- 9 -（ 2）上述的方法，都可以应用到非立方体的其他立体折叠中。即都遵循相对（或者不相邻）必不相邻，三个面画箭头顺逆时针方向不变，图案关系不改变等原则。描点法较为复杂，在多面体中难以应用。在解题时要根据题目进行具体分析，虽不能直接硬搬立方体的规律，但是几个基本原则的灵活运用可以有效促进解题。（3）正方体拆开可能情形1、最长列为 4 个面，另 2 个面上下组合（1）（2）（3）（4）（5）（6）2