由“用图象法解二元一次方程组”引发的思考

1、由“用图象法解二元一次方程组”引发的思考笔者有幸拜读了数学教学2005 年第 12 期所刊登的研教一课，受益多课一 文，文中提到：“这时老师只能自言其说：“两个一次函数图象的交点，还可以表示由这两个一 次函数的关系式组成的方程组的解”然后老师出示以下例题：y = 2x 5例 利用图象解方程组y = x +1老师做示范，先把该题的解题过程在黑板上演示一遍，然后让学生模仿做书上的解 方程的练习题我在学生中间巡视，发现很多同学还是用代入法或加减法来解方程组，并没有用图 象法”对文中的徒弟在教学“用图象法解二元一次方程组”过程中遇到的困境，笔者深有 同感和共鸣，并想借此拟谈笔者在这个教学内容的实施过程

2、中的一些困惑和教学心得1例题教学引出的问题yx 2 y = 23例 1 用作图象的方法解方程组2x y = 221解：由 x 2 y = 2 可得 y =x +1，12-2 -11 2 3x由2x y = 2 可得 y = 2x 2 ，-11-2-3在同一直角坐标系内作出一次函数 y = 2 x +1的图象l1 和 y = 2x 2 的图象l2 ，如图，观察图象，得l1 ，l2 的交点为 P(2,2) x 2 y = 2的解是x = 2所以方程组y = 22x y = 2正当笔者在板书解答过程时，突然，一位学生提出问题：如果在直角坐标系内作出x =1.9x =1.9的两个一次函数图象有误差时，

3、若图象的交点是 ，那么 是这个方程y = 2.2y = 2.2x =1.9组的解吗？笔者一惊，马上给以答复：“ 不是这个方程组的解，但是可以看作y = 2.2是这个方程组的近似解”当笔者口中的“近似解”三个字一落音，教室里忽然很寂静， 随后立刻又骚动起来了，大家似乎在思索着：方程组还有近似解的？学生 A 站了起来,x = 2.8x = 2.8他说:“如果作出的两个一次函数图象的交点是y = 2.6,那么y = 2.6也是这个方程组近似解吗?”此时课堂里一片沸腾，并展开了讨论x = 3.5笔者被学生的问题堵住了，接着学生就会想“ 也是这个方程组近似解”等y = 2类似的问题，此时，教学经验告诉笔

4、者，必须给学生一个明确的答复，否则将会严重挫 伤学生学习的积极性由于课前自己对这个问题未作充分的思考，只好勉强给学生一个 解释：“假如在近似解的近似范围内的话，可以看成是近似解”笔者这样一解释可捅出 一个大问题了，学生 B 马上接应：“老师，近似范围怎样确定呀？”这下笔者真正被学 生问题难住了，被学生晾在了讲台上2问题的思索笔者常与同行们谈起这堂的经历，想获取例 1 教学上的帮助，也得到一些的收获同 时，大家对教材中选取例 1 的作用和目的，存在着与教材设计的意图有不同的看法 2.1 例 1 的设计不符合学生的认知水平由本节课教材内容的编排上可以看出，例 1 设计目的是：（1）让学生进一步体会

5、二 元一次方程与一次函数的对应关系；（2）让学生掌握用图形法解二元一次方程组的过程 和步骤而且，随堂练习和课后习题 7.1 各自都只有安排一个与例 1 内容完全一致的习 题，这更加突出了例 1 在本节课上的重要地位然而，在课堂的教学实践中，笔者了解 到在练习、作业中，几乎所有的学生都没有按“图象法”的步骤来求解，而是先运用加 减消元法或代入消元法解得二元一次方程组的解，再画出相应的两个一次函数图象，根 据求得的解标出两直线交点的坐标 “图象法”图有虚名，学生把“图象法”拒之于门外必有其特殊性的原因，一方面是嫌弃它求解过程的烦 琐，画图的精确度要求高；更重要的一方面是对用“图象法”求得的方程组的

6、解的正确x =1.9x 2 y = 2性产生怀疑，就如“y = 2.2是方程组2x y = 2的解吗？”这种困惑导致学生弃用“图象法”，避开这种不必要的错误2.2 用“图象法”求方程组的“准确解”还是“近似解” 综观小学、初中、高中对方程组的求解，都是求其“准确解”学生对方程组的解 的认识已经形成了一种特有的认识模式，即方程组的解是指能使方程组中各个方程左右 两边的值相等的未知数的值，评价解方程组正确与否也是如此定义的从例 1 的要求：“用作图象的方法解方程组”及例题的解答的过程来看，是求方程 组的“准确解”而新课标在第 34 页中指出：“能根据一次函数的图象求二元一次 方程组的近似解”因此，

7、“图象法”更适合于求方程组的近似解那么，对二元一次方 程组的近似解作怎样的解释和定义呢？“近似解”的近似范围又怎样确定呢？显然，教 材在对此问题的设计和解决是不吻合新课标中的要求的，没有充分体现出“图象法” 的数学意义和思想，对教师的教和学生的学起不到一个很好的引领的作用同时，笔者 对新课标中 “能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解”的指导思想和 要求也持保留的态度2.3“教教材”还是“用教材” 教材是教师和学生实施课程标准的重要依据,而数学课程标准的设置为教师“用教材”留下了创造空间教材是指教科书、教学参考资料等书面的东西，而且所载的信息 是有限的，甚至可能存在一些与学生学情不完全一

8、致的教学内容但是，教学内容的范 围是灵活的、广泛的，可以是课内的，也可以是课外的，只要适合学生的认识规律，从 学生的实际出发的有关内容都可以作为学习内容因此，教师应认真研究学生实际学情， 明确学生应达到的知识要求与能力要求，再全方位解读教材，多角度分析教材，才能使教材发挥最佳的教学价值 从教者的角度反思这个问题，教师备课时忽略了学生的实际情况，对“图象法”一味执行“教教材”，从而导致了教师的教和学生的学形成了两条“平行线”，没有交会融 合，碰撞拓展假如教师对于教学中具体素材（包括“图象法”发生的背景、例题、练 习）都可以根据学生的学习心理特征、知识基础，融入自己的科学精神和智慧，从知识 维度、

9、认知心理和发展水平、实际使用效果等方面对教材内容进行教学重组和整和，选 择更好的内容对教材深加工，设计出适合学生的活生生的教材内容，就可能不会出现案 例中课堂教学现象了2.4 对“图象法”导学的一种设想利用“图象法” 求二元一次方程组的近似解，重要的不是解的本身，重要的是方 法，是求解的思路，包括解的精确度以及如何达到方程组的解等，这些对于学生来说都 是有价值的数学设想一：“图象法”求解方程组时，当求得两直线交点的坐标是否是方程组的准确 解时，可以引导学生对所得未知数的值进行检验，如果不适合方程组，让学生分析其原 因，不断调整作图的准确度在寻找方程组解的过程中，引导学生借助“逼近”的方法 逐步

10、获得近似解，促进学生对方程组解的理解，发展学生的估算意识和能力，体会逼近 思想在数学解题中的运用，激发学生探求精确解的欲望设想二：削弱“图象法”的求解过程，突出“图象法”求解的直观性，体现数形结 合的思想可以设计下列的问题来替换例 1，如：1、 如图，一次函数 y = 5 x 与 y = 2x 1 的交点坐标是 (2,3) ，写出方程组x + y = 5的解2x y =12、 如图，两直线l1 ，l2的交点 P 坐标为（1，3），点 A 坐标为（0，1），点 B 坐标为（0，4），你知道交点 P 的坐标可以看成是怎样的方程组的解吗？yy54B33P1 A-125x1x第1 题第2 题3、有一组数同时适合方程 x + y = 2 和 x + y = 5 吗？一次函数 y = 2 x ，= 5 x的图象之间有何关系，你能从中“悟”出些什么？