第五章-平面向量.

1、第四章平面向量一向量有关概念 ：1向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移） 。如：（1）已知 A （1,2），B（ 4,2），则把向量 AB 向左平移 3 个单位平移后得到的向量是_2 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的；3 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是AB )；|AB|4 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫

2、做平行向量，记作： a b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性 ！（因为有 0 ) ；三点 A、 B、 C 共线AB、AC 共线；6 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。如（ 2）下列命题 ：（ 1）若 ab ，则 ab 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（ 3）若 ABDC ，则 ABCD 是平行四边形。（4）若 ABCD 是平行四边形，则 AB DC 。（5

3、）若 ab,bc ，则 ac 。（6）若 a / b, b/ c ，则 a / c 。其中正确的是_（答：（4）（5）二向量的表示方法 ：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 axiy jx, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a x, y 叫做向量 a 的坐标表示。 如果向量的起点在原点 ，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三平面向量的基本定理 ：如果

4、e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1、2，使a=1 12 2。如ee（ 1）若 a (1,1),b(1, 1),c( 1,2) ，则 c_（ 2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. e1(0,0), e2(1, 2)B. e1( 1,2), e2(5,7)C. e1(3,5), e2(6,10)D. e1(2, 3),e213)( ,42（ 3）已知 AD ,BE 分别是ABC 的边 BC, AC 上的中线 ,且 ADa, BEb ,则 BC 可用向量a, b 表示为 _（ 4）已知 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且

5、 CD2 DB ，CDr ABs AC ，则 rs 的值是 _四实数与向量的积 ：实数如下：1aa , 2与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定当>0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当<0 时，a 的方向与 a 的方向相反，当0 时，a0，注意：a 0。五平面向量的数量积 ：1 两个向量的夹角 ：对于非零向量a ， b ，作 OAa,OBb ，AOB0称为向量a ， b 的夹角，当 0时， a ， b 同向，当时，a ， b 反向，当时，a ， b 垂直。2 平面向量的数量积：如果两个非零向量a ， b ，它们的夹角为| a |b | cos叫做 a 与 b

6、的数量积（或内积或点积） ，记作： ab ，即 a，我们把数量b a b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1）ABC 中， | AB |3，| AC |4，| BC | 5，则 AB BC_（答： 9）；（2）已知 a(1, 1), b(0,1 ), c akb ,d a b ， c 与 d 的夹角为，则 k 等于 _224（答： 1）；（3）已知 a2, b5, a b3 ，则 ab 等于 _ab a b ，则 a与a（答： 23 ）；（ ）已知a, b是两个非零向量，且b 的夹角为_4（答： 30 ）3 b 在 a 上的投影 为 |b

7、| cos ，它是一个实数，但不一定大于0。如已知 | a |3 ， | b | 5 ，且 a b12，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _（答： 12 ）54 ab 的几何意义 ：数量积 ab 等于 a 的模 | a |与 b 在 a 上的投影的积。5 向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为，则： abab 0 ；2a a2, a2；当 a 与 b 反向当 a ， b 同向时， a b a b ，特别地， aaa时，a b a b ；当为锐角时， a b ，且a、b不同向，a b 0是 为锐角的必0要非充分条件 ；当 为钝角时， ab 0，且 a、b 不反向， a b0

8、 是为钝角的必要非充分条件 ；非零向量 a ， b 夹角 的计算公式： cosab ； | ab | a |b | 。 如a b（1）已知 a( ,2 ) ， b (3,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是_（答：4 或0 且1 ）；33（2）已知OFQ 的面积为 S ，且 OF FQ1，若 1S3 ，则OF,FQ夹角 的取值范围是 _22（答：( ,) ）；43六向量的运算 ：1 几何运算 ：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用 “三角形法则”：设 AB a, BC b ，那么向量叫做 a 与 b 的和，

9、即 a b AB BC AC ；AC向量的减法：用“三角形法则” ：设 ABa, ACb,那么 abABAC减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。（1）化简：ABBCCD_；ABADDCCA ，由如_；( ABCD )( ACBD )_（2）若正方形ABCD的边长为1，ABa, BC（答：b, ACc ，则AD | a；CB；0）；bc | _（答： 2 2）；（3）若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 OB OCOB OC 2OA ，则 ABC的形状为 _（答：直角三角形）；（4）若D 为 ABC 的边 BC的中点，ABC 所在平面内有一点 P，满足PA

10、 BP CP0，设|AP|，则 的值为 _|PD|（答： 2）；（5）若点 O 是 ABC 的外心，且 OA OB CO0 ，则 ABC 的内角 C 为_（答： 120 ）；2 坐标运算 ：设 a (x1, y1 ),b( x2 , y2 ) ，则：向量的加减法运算 ： ab( x1x2 ， y1y2 ) 。 如（1）已知点 A(2,3), B(5,4)， C (7,10)，若 APABAC( R) ，则当_时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答： 1 ）；2（2）已知 A(2,3), B(1,4), 且 1AB(sin x,cos y) ， x, y (,) ，则 x y222（答：或）；

11、（3）已知作用在点 A(1,1)的三个力 F1 (3,4), F262(2, 5), F3 (3,1) ，则合力F F1 F2 F3 的终点坐标是（答：（9,1）实数与向量的积 ： ax1 , y1x1 , y1 。若 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，则 AB x 2x 1 y, 2 y 1 ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设 A(2,3), B( 1,5) ，且 AC1AB， AD3 AB ，则 C、D 的坐标分别是 _311（答： (1,),(7,9) ）；3平面向量数量积 ： a b x1x2y1 y2 。如已知向量 a （ s

12、inx，cosx） ,b （ sinx，sinx）, c （ 1，0）。（1）若 x，3a b 的最大值为 13求向量 a 、 c 的夹角；（2）若 x , ，函数 f ( x)，求的值842（答： (1)150;(2) 1或2 1）；22向量的模 ： | a | x2y2x2y2 。如, a | a |2已知 a,b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么 |a3b | _（答：13 ）；七向量的运算律 ：1交换律： abba ，aa ， abba ；2结合律： abcabc, abcabc ，ababab ；3分配律：aaa,abab ， ab c acbc 。如下列命题中：a (bc)ab

13、ac ； a(bc )(ab)c ； ( a b) 2| a |22 | a | | b | | b |2 ； 若 ab0，则 a0 或 b0 ；若 a bcb, 则 a22c ； aa ；a bb222222。其中正确的是 _ 2a； (ab)a b ； (ab)a 2a bba（答：）提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量， 切记两向量不能相除 ( 相约 ) ；（ 2）向量的“乘法”不满足结合律 ，即 a(b c) (a b)c ，为什么

14、？八向量平行 ( 共线 ) 的充要条件 ： a / bab(a b) 2(| a | b |)2x1 y2y1 x2 0。如(1) 若向量 a(x,1),b (4, x) ，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同（答： 2）；（2）已知 a(1,1),b(4, x) ， u a2b， v2ab ，且 u / v ，则 x_（3）设，则 k_时， A,B,C 共线（答： 4）；PA(k ,12), PB (4,5), PC(10,k)（答： 2 或 11）九 向量垂直的充要条件： a bab 0| ab | | ab |x1 x2y1 y2 0 . 特别地( ABAC) (ABAC)。如ABA

15、CABAC(1) 已知 OA( 1,2), OB (3, m) ，若 OAOB ，则 m（答： 3 ）；2（ 2）以原点 O 和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，B90，则点B的坐标是 _（答： (1,3)或（ 3， 1）；（ 3）已知 n( a, b), 向量 n m ，且 nm ，则 m 的坐标是 _（答： (b,a)或( b,a) ）（此后理科用）十线段的定比分点：1定比分点的概念 ：设点 P 是直线 P1 P2 上异于 P1 、P2 的任意一点，若存在一个实数，使 PPPP12 ，则 叫做点 P 分有向线段 PP12 所成的比， P 点叫做有向线段 PP12 的以定比

16、为的定比分点；2的符号与分点 P 的位置之间的关系 ：当 P 点在线段 P1 P 2 上时>0；当 P点在线段 P1的延长线上时< 1；当 P 点在线段 P1 的延长线上时10；P22 P若点 P 分有向线段 PP12 所成的比为，则点 P 分有向线段 P2 P1 所成的比为 1 。如若点 P 分 AB 所成的比为 3 ，则 A分 BP 所成的比为 _4（答：7 ）33线段的定比分点公式 ：设 P (x , y ) 、 P ( x, y ) ，P(x, y)分有向线段 PP所成的比1 1 12221 2x1x2xx1x22x为 ，则1，特别地，当 1 时，就得到线段 P1 P 2

17、的中点公式yy1y2 。y1y22y1在使用定比分点的坐标公式时，应明确( x, y) ， (x1, y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（1）若 M （-3，-2），N（ 6， -1），且 MP1MN，则点 P 的坐标为 _3（答： (6,7) ）；3（2）已知 A( a,0), B(3, 2a ) ，直线 y12 MB ，则 a 等ax 与线段 AB 交于 M ，且 AM于_2（答：或）十一平移公式 ：如果点 P( x, y) 按向量 ah, k 平移至 P( x

18、 , y ) ，则 xx h ；曲yyk线 f ( x, y)0 按向量 a h,k平移得曲线 f ( xh, y k)0.注意：（ 1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（ 1）按向量 a 把 (2, 3) 平移到 (1, 2) ，则按向量 a 把点 ( 7,2) 平移到点 _（答：（，）；（ 2）函数 ysin 2x 的图象按向量 a 平移后，所得函数的解析式是 y cos 2x1，则a _（答： (,1) ）412、向量中一些常用的结论 ：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） | a | b | | a b

19、 | | a | | b |，特别地，当 a、b 同向或有 0|a b | | a | | b | a | | b | | ab | ；当 a、b 反向或有 0| a b | | a | | b | | a | | b | | ab |；当 a、b 不共线| a | b | | ab | | a | b | ( 这些和实数比较类似 ).（3）在ABC中 ， 若 A x1 , y1 , B x2 , y2 ,C x3 , y3，则其重心的坐标为x1x 2 x 3y 1 y2y3G,3。如3若 ABC的三边的中点分别为（ 2， 1）、（-3 ， 4）、（-1 ，-1 ），则 ABC的重心的坐标为

20、_（答： (2,4) ）；133PG( PAPBPC )G为ABC的重心，特别地PA PB PC0P为3ABC 的重心；PA PBPB PCPC PAP 为 ABC 的垂心；向量(ABAC )(0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分线所在直|AB|AC|线) ；| AB| PC| BC | PA | CA| PB0PABC 的内心；（3）若 P 分有向线段 PP所成的比为，点M为平面内的任一点，则MPMP1MP2 ，1 21特别地 P 为 PP 的中点MPMP1MP2 ；1 22、 、存在实数、使得 PAPBPCA、B、C 共线（4）向量 PA PBPC 中三终点且1.如平面直

21、角坐标系中， O 为坐标原点，已知两点 A(3,1) , B(1,3) , 若点 C 满足OC1 OA2 OB , 其中1, 2R且121, 则点 C 的轨迹是 _（答：直线 AB）平面向量部分常见的题型练习类型（一）：向量的夹角问题1.平面向量 a, b，满足 a1, b4且满足 a.b2 ，则 a与b 的夹角为2.已知非零向量a,b 满足 ab ，b （b2a），则 a与 b 的夹角为3.已知平面向量a,b 满足（ab）.(2a b)4且 a2，b4且，则 a与 b 的夹角为4.设非零向量 a 、 b 、 c 满足 | a | | b | | c |,a bc ，则a,b5.已知 a 2,

22、 b3, a b7, 求a与b的夹角。6.若非零向量 a, b 满足 ab，(2a b).b0, 则 a与 b的夹角为类型（二）：向量共线问题1.已知平面向量 a （2，3x），平面向量 b （ 2， 18），若 a b，则实数 x2.设向量 a （2，1），b （2，3）若向量 ab 与向量 c (4， 7) 共线，则3. 已知向量a （1，1），b （2，x） a b 4b 2a平行，则实数 x 的值是（）若与A -2B0C 1D 2已知向量OA(k,12), OB，且 ， 三点共线，4.(4 5), OC( k,10)ABC则 k _5 已 知 A（1，3）， B（ 2， 3）， C（

23、x，7）， 设 AB a ， BCb 且 a b ， 则 x 的 值 为（ ）(A) 0(B) 3(C) 15(D) 186已知 a =（ 1， 2）， b =（-3， 2）若 k a +2b 与 2 a -4 b 共线，求实数k 的值；7已知 a ， c 是同一平面内的两个向量，其中a =（1， 2）若 c 25 ，且 a c ，求 c 的坐标8.n 为何值时，向量a （n，1）与 b(4, n) 共线且方向相同？9.已知 a3, b(1,2),且 a b ，求 a 的坐标。10. 已知向量 a （2， 1），b （1，m）,c( 1,2) ，若（ ab ） c ，则 m=11.已知 a,

24、b 不共线， ck a b, d a b ，如果 c d ，那么 k=, c 与 d 的方向关系是12. 已知向量 a （1，2），b （2， m）,且 a b ，则 2a 3b类型（三） : 向量的垂直问题1已知向量 a （ x，1）,b(3,6)且 ab ，则实数 x 的值为2已知向量 a （1， n），b （1， n），若 2ab与b垂直，则 a3已知 a =（ 1， 2）， b =（-3， 2）若 k a +2 b 与 2 a -4 b 垂直，求实数k 的值4已知a 2, b4，且与的夹角为，若ka 2b与k a 2b垂直，求 k的值。a b35.已知 a(1,0), b(1,1),

25、求当为何值时， ab与 a 垂直？6.已知单位向量m和 n的夹角为，求证：（ 2nm） m37.已知 a（4，2）,求与 a 垂直的单位向量的坐标。8. 已知向量 a（3，2）,b (1,0)且向量a b与 a 2b垂直，则实数 的值为9. a （3，1）,b(1,3)，c(k,2), 若（ ac） b，则 k10. a （1，2）,b( 2, 3)，若向量 c满足于（ ca） b ， c （ab），则 c_类型（四）投影问题1 已知a 5, b， a与b 的夹角2，则向量 b 在向量 a 上的投影为4，32 在 Rt ABC 中，C, AC4, 则 AB. AC23关于 a.ba.c 且 a

26、0 ，有下列几种说法： a(bc) ； bc ； a.(bc)0 b 在 a 方向上的投影等于c 在 a方向上的投影； ba ； bc其中正确的个数是（）（A）4 个（B）3 个（C）2个（D）1 个类型（四）求向量的模的问题1.已知零向量 a （2，1）,a.b10, ab52，则 b2.已知向量 a, b 满足 a1, b2, ab2，则 a b3.已知向量 a(1, 3)， b( 2,0)，则ab4已知向量 a(1, sin), b(1, cos ), 则 ab 的最大值为5.设点 M是线段 BC的中点，点 A 在直线 BC外，216, ABACABAC ,则 AM（）BC(A) 8(B

27、) 4(C) 2(D) 16.设向量 a ， b 满足 ab1及4a3b3 ，求3a 5b 的值7.已知向量 a,b 满足 a2,b5,a.b3，求 ab 和 ab8.设向量 a ， b 满足 a1, b2, a(a2b),则 2ab的值为类型（五）平面向量基本定理的应用问题1若 a =（ 1，1）， b =（ 1， -1）， c =（ -1， -2），则 c 等于 （）(A)1 a3 b(B)1 a3 b2222(C)3 a1 b(D)3 a1 b22222.已知 a （1，0），b （1，1），c （1，0），求和 的值，使 cab3.设 e1 , e2 是平面向量的一组基底，则当1_,2_ 时，1 e12 e204.下列各组向量中，可以作为基底的是（）(A) e1( 0, 0), e2(1, 2)(B)e1( 1,2), e2(5,7)(C) e1(3,5), e2( 6,10 )(D)e1( 2 , 3), e 2(1,3)245. a （1，1），b （ 1，1），c （4，2），则 c （）(A) 3ab(B)3ab(C)a3b(D)a3b6.已知a3, b2,a与b的夹角为，ca2b，dma6（b m