线性代数考试复习提纲、知识点、例题

1、.线性代数考试复习提纲、知识点、例题一、行列式的计算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论，即七种变形手段 （转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为 0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为0】2、行列式按行（列）展开定理降阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 Dai1 Ai 1ai 2 Ai 2.ain Aini1,2 , .n ,Da1i A 1ia i2A i 2.ani Anii1,2 , .n ,2240例 1、计算行列式 413531232051二、解矩阵方程矩阵方程的标准形式：AX

2、BX ABA X BC若系数矩阵可逆，则 X A 1B X B A1 X A 1CB 1 切记不能写成 X A1B1C或X CAB求逆矩阵的方法：1、待定系数法 ABE(或 BAE)2、伴随矩阵法 A 11 AA其中 A 叫做 A 的伴随矩阵，它是A 的每一行的元素的代数余子式排在相同序数的列上的矩阵。;.A11A21.An1A12A22.An2A. . . .A1nA2n.Ann3、初等变换法AE初等行变换EA 1例 2、解矩阵方程 31X561416527891001011例 3、解矩阵方程XAXB，其中A111B 2010153三、解齐次或非齐次线性方程组设 Aaij， n 元齐次线性方

3、程组AX0 有非零解r ( A)nm nn 元齐次线性方程组AX0 只有零解r (A)n 。当 mn 时， n 元齐次线性方程组AX0 只有零解A0 。当 mn 时， n 元齐次线性方程组AX0 有非零解A0 。当 m n 时，齐次线性方程组一定有非零解。定义：设齐次线性方程组 AX 0 的解 1 ,., t 满足：（1） 1 ,., t 线性无关，（2） AX0 的每一个解都可以由1 ,., t 线性表示。则 1,., t 叫做 AX 0 的基础解系。定理 1、设 Am n ，齐次线性方程组AX0 ，若 r ( A)rn ，则该方程组的基础解系一定存在， 且每一个基础解系中所含解向量的个数都

4、等于 nr 。齐次线性方程组的通解x k. kn r n rk1, . k,R1 1n r;.设 A aij， n 元非齐次线性方程组 AXB 有解r ( A) r ( A) 。m n唯一解r (A)r ( A)n 。无数解r ( A)r ( A)n 。无解r ( A) r ( A) 。非齐次线性方程组的通解x k11.kn r n r，k1 , . k,n rRx1x22x3x40例 4、求齐次线性方程组2x1x2x3x40 的通解2 x12x2x32x40x1 x23x3x41例 5、求非齐次线性方程组3x1x23x34x44 的通解。x15x29x38x40四、含参数的齐次或非齐次线性方

5、程组的解的讨论xyz0例 6、当为何值时，齐次线性方程组xyz0 有非零解，并求解。2xyz02x1x2x32例 7、已知线性方程组x12x2x3，问当为何值时，它有唯一x1x22x32解，无解，无穷多解，并在有无穷多解时求解。五、向量组的线性相关性1 ,2,.,s 线性相关1,2 ,.,s (s2) 中至少存在一个向量能由其余向量线性表示。存在不全为 0 的数 k1, k2 ,., ks 使得 k1 1k2 2. ks s 0 。k11列k2有非零解行2有非零解1 , 2 ,., s0k1 , k2 ,., ks0.kss;.k11/ , 2/ ,., s/k20有非零解.ksr1 ,2 ,

6、., s sr 1/ , 2/ ,., s/s1 ,2,.,s 线性无关1, 2 ,., s (s 2) 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。若 k1 1k2 2 . ks s0 ，则 k1k2.ks0 。k11列k2行21,., s0 只有零解k1 , k2 ,., ks0 只有零解2.kssk1r1,2 ,., ss1/ , 2/ ,.,s/k20.ksr1/ ,2/ ,.,s/s1特殊的， n 个 n 维向量1, 2 ,., n 线性相关1 ,2 ,.,n0或 20 。.n1n 个 n 维向量1 , 2 ,., n 线性无关1,2 ,.,n0 或 20。.n例 8、已知向量组 1t,

7、2,1， 2 2, t,0， 31,1,1，讨论 t 使该向量组（1）线性相关（2）线性无关六、求向量组的秩，极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示;.设向量组 A:1,2 ,.,s ，若从 A 中选出 r 个向量构成向量组A0 :i1 , i 2 ,.,ir 满足：（ 1） A0 线性无关（ 2） A 中的每一个向量都能由 A0 线性表示，条件（ 2）换一句话说A 的任意 r1 个向量（若有的话）都线性相关，或者说从A 中向 A0 任意添加一个向量（若有的话） ，所得的向量组都线性相关。则 A0 叫做 A 的极大线性无关向量组，简称极大无关组。向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组

8、的秩，记作 r1, 2 ,., sr求向量组的秩的方法：（1）扩充法1（2）子式法21 , 2 ,., m n m.m m n最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩，也就是这个向量组的秩，并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组。（3）初等变换法同法二构成矩阵，对矩阵进行初等变换。例 9、设向量组1(1,2,1,3) ,2(4,1, 5, 6) ,3(1, 3, 4, 7) ,4(2,1, 2,3)求（ 1）向量组的秩；（2）向量组的一个极大线性无关组，并把其余向量用这个极大;.线性无关组线性表示。七、相似矩阵的性质与矩阵可相似对角化问题P1APB相似矩阵的性质

9、:1、相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，行列式，迹。特征值相同是两个矩阵相似的必要而非充分条件。2、 相似矩阵有相同的秩。秩相等是方阵相似的必要而非充分条件。3、 相似矩阵有相同的可逆性， 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。4、若 A 与 B 相似，则 Ak 与 Bk 相似， kN，则 (A)与 (B)相似。Bk(P 1 AP)kP 1 APP 1 AP.P 1 APP 1 Ak P1An 与2相似nAn 有 n 个线性无关的特征向量p1, p2 ,., pn ，且以它们为列向量组的矩阵 P使 P 1AP， 1, 2 ,., n 分别为与 p1 , p2 ,., pn 对应的An

10、 的特征值。若An 有 n 个 互 不 相 等 的 特 征 值1, 2 ,., n ， 则 An 一 定 与12相似。nAn 与相似对应于 An 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数等于该特征值的重数。nr (EA)k其中 k 为的重数;.124500例 10、设矩阵 A2x2 与 B0y0相似421004（1） 求 x 与 y；（2）求可逆矩阵 P ，使 P 1AP B 。001例11、设A 11a，问 a 为何值时，矩阵 A 能相似对角化。100例 12、设三阶矩阵 A 的特征值为 11， 22，3 3 ，对应的特征向量依次为 11,1,1/ ， 2 1,2,4/ ， 31,3,9/ ，求矩阵 A。例 13、设三阶实对称矩阵 A 的特征向值1,1,1，与特征值 1对应的特征向量为 11,1,1，求 A。八、化二次型为标准型，并求所