第二章-考研数学-导航考研内部资料-面授老师整理-导数与微分(-03-27).

1、第二章导数与微分题型讲解一、 导数与微分定义导数的原始定义1. 设 f ( x0 ) 存在，求下列各极限：(1)limf ( x02x) f ( x03 x) ；答 :5 f( x0 ) .x 0x(2)limf ( x0h)f (x0h) .答 :2f ( x0 ) .h 0h2.（112）已知 f ( x) 在 x0处可导，且 f(0)0, 则 lim x2 f (x)x32 f ( x3 )x 0（A）2 f (0) ；（ B）f (0)；（C） f (0) ；（D）0.答: (B).3.设函数 f ( x) 可导，则 limf (4x) f (2)（）x 2x2（A）f (x 2) ；

2、 （ B） f (x2) ；（ C）f (2)；（ D）f (2) .答 :(C).4.已知 f (1)0, f(1)2，求 limf (sin 2x cos x) .答:1.x 0x tan x5.设函数 f (x) 对任何 x, y 恒有 f (xy)f ( x)f ( y) ，且 f (0)a(0)，试确定 f ( x) .答:f (x)ax .6.设函数 f ( x) 在点 x1处连续，且 limf ( x)，求 f (1).答 :f(1)2.2x 1x 17.设函数 f ( x) 在点 x0处存在二阶导数，且 limf ( x)A ，求 f (0) ， f(0) ，cosxx0 1f

3、 (0) .答: f (0)f (0) 0, f(0)A .8. 求下列函数在指定点处的导数：（1） 设 f ( x)( x1)( x2).( x 100)，求 f (1) ；答 :f (1)99! .（ ） 设 f ( x)( xa)( x) ， ( x) 在 xa 处连续，求f(a) ；答:( a).2（3） 设 f ( x) x1x ，求 f (0) .答:1.1x（4） （122）设函数() (x1)( 2 x2).(nx) ，其中n为正整数，f xeeen则 f (0)（A） ( 1) n 1 (n1)! .（B） (1)n (n 1)! .（C） ( 1) n 1 !（ ）1)nn

4、!.答:(A) .n .D (左导数、右导数与导数1cosx x0;x29.研究函数 f (x)1, x0;在 x0处的连续性和可导性 .2110.xex, x1答: 连续但不可导 , 因为 f (0) 0, f(0)1 .1210.(011) 设 f ( 0)0 ，则 f (x) 在点 x 0可导的充要条件为（A） limf (1cosh) 存在；（B） limf (1eh ) 存在；h 0h2h 0h（C） limf ( hhsinh) 存在；（D） limf (2h) f (h) 存在 .h 02h 0h答: (B) .11. (951) 设函数 f ( x) 一阶连续可导， F (x)

5、 f ( x)(1| sin x |) ，则 f (0)0是 F (x)在点 x 0 处可导的 ( )（A） 充分但不必要条件；（B）必要但非充分条件；（C） 充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件 .答: (A).12. 设函数 f ( x) 在点 x a 可导，则函数 | f (x) |在点 x a 不可导的充要条件为（A） f ( a)0 且 f (a)0 ；（ B） f (a)0 且 f (a)0 ；（C） f (a)0且 f ( a)0 ；（D） f ( a)0且 f (a)0.答: (B) .13. 设函数 f ( x) 在点 x 0处连续，下列命题错误的是（ A）若 limf

6、( x) 存在，则 f (0)0 ；（B）若 limf ( x)f ( x) 存在，则 f (0)0 ；x 0xx 0x（ C） 若 limf (x) 存在，则 f(0) 存在；（D）若 lim f (x)f ( x) 存在，则 f (0)存x 0xx0x在 .答: (D).14. （033）设函数 f ( x) | x31 |( x) ，其中 ( x) 在 x1处连续，则 (1)0是f ( x) 在点 x 1处可导的（A） 充分但不必要条件；（B）必要但非充分条件；（C） 充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件 .答: (C) .15. (981) 函数 f ( x) (x2 x 6) x

7、2 3x 的不可导点的个数是 ( )（A） 3 ； （B） 2 ； （C） 1 ； （D） 0. 答: (B).g(x)e x16. 设 f (x)x, x0; ，其中 g ( x) 有二阶连续导数， g (0)1, g (0)10, x0.（ 1） 求 f ( x) ； （2）讨论 f( x) 在 (,) 上的连续性 .x g ( x)ex g( x)ex0;x2, x答 :(1)f ( x)1 , x；(2) 在 (, )上的连续 .g(0)0.2导数与微分17. （061）设函数 yf (x)具有二阶导数，且 f (x)0, f ( x) 0, x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y

8、 与 dy 分别为 f (x) 在点 x0 处的增量与微分， 若 x0，则（A） 0dyy . （ B） 0y dy . （C） dyy 0 . （ D） y dy 0 .答:(A).18.(981) 已知函数 yy( x) 在任意点 x 处的增量为yyx，且当x01x2时，是 x 的高阶无穷小， y(0)，则 y(1)等于（A）2； （B） ； （C）44e；（ ）e .D答:(D ).19.设函数 yf ( x) 在 xx0 处可导， f( x0 )1,x,y, dy 按通常定义，则limydy（）dyx0（A） -2 ；（B） -1 ； （C） 0 ； （D） 1.答: (C).二、复合

9、函数求导数210;又 f ( x) 在点 x0处可导，求 d20.若 g(x)xcosx , xf g( x) |x 0 .0, x0.dx答: 0.21.（123）若函数 f ( x)lnx, x1;yf ( f ( x) ，则 dy |xe _ .2x1, x1.dx答 : e 1 .22. 若 y f 3x2, f (x)arcsinx2 ，求 dy |x 0 .3x2dx答:3 .223. 求下列函数的导数：（ 1） yf nn(sinxn) .答: n3 xn1 cos xn f n1n (sin x n )n1 (sin xn ) f n (sin x n ) (sin x n )

10、 .（ 2） yxa aa xaaa x , (a0,a1).答: a a xa a 1aa xa x a 1 ln aa x a xln 2 a .（ 3） yxcos(ln x)sin(ln x) .答: 2 cos(ln x) .24. 求下列函数的导数：(1)yxsin x2；答 : yxsin x22x cos x2 ln xsin x 2.x(2)yx sin x1ex；答 :y1x sin x1e x 1cot x2(1exex).2x(3)y(xa1 )a 1 ( xa2 )a 2( xan )an ；答 :y( xa1 )a1( xa2( x an )ana1a2.an.a2

11、 )xa1x a2x an(4) y( x)( x) ，其中( x)与(x)为 x的正值可微函数 .答 :y( x )( x)( x)( x) ( x) ln(x).(x)2( x) ( x)25.利用变换2)2 d2 y2)dyx化 简 ，x t a nu 将 方 程 (1 xdx22x(1 xy1 x2dxu(, ) .22答 :d 2 yysin u .du 2三、参数方程求导数26.x2t| t |;答: 0.设5t 2，求 dy |t 0 .y4t | t | .dx27.设 xf (t); ，其中 f 可导，且 f(0) 0 ，求 dy. 答:3.yf (e3t1);dx t 0x

12、e t ;28. （101）设tyln(11， 求 d 2 y在 t0处的值 .答: 0.u 2 )du.dx 229. 设 xcost 2;t21cosudu.，求 dy , d 2 y在t处的值 .yt cost2dx dx2212 u答 : dy |2, d 2 y|1 .dxtdx 2t222四、隐函数求导数30. 设函数 yy(x) 是由方程 xy ey1所确定的，求 d 2 yx 0 .dx2答: 0.31. 设函数 yy( x) 是由方程 2xx yt an x( y)sec2 td t( x y) 所确定的，求0d 2 2y .dx答:d 2 y2sin( x y) cos3

13、(xy) .dx 232.（ 103 ） 设 可 导 函 数 yy( x) 由 方 程x ye t 2dtx x sin t 2 dt 确 定 ， 则00dy |x 0 _ .dxdy |答:x 01 .dx33.设 uf ( x) y 2 ，其中 x, y 满足方程 yeyx ，其中 f (x) 及 (x) 具有二2dud u阶导数，求,2 .答:duf( x) y 2( x)2 yy ,dx1ed 2 u2 y22 2ey2 yey( x)1f( x) y 2 f( x) y 2(x).dx 2e y(1ey )334.设函数是由方程组xt 22t;1.d 2 yyy(x)t 2ysin

14、y确定，求 dx2 .(01)答:d 2 y(1cos y) 22 t 2 (1t ) sin ydx22(t1)2(1cos y)3.五、反函数求导数35.设 yf ( x) 是可导函数，且f (x)sin2 sin( x1), f (0)4 ，则 f (x) 的反函数 (x) 当自变量取 4 时的导数值为（） .答:(4)1.sin 2 sin 136.已知 x( y) 是 yf (x) 的反函数， f(x)0，试用 f( x), f(x), f ( x) 表示( y) .答:3f(x) 2f(x) f(x).( y)f( x)5六、高阶导数37.设 ysin4xcos4x ，求 y (n

15、) (n1) .答:y (n)4 n1 cos(4xn) .238.设 y1，求 y( n)(0)(n1).2x 3答:y(n)(0)(1)n2n n!3n 1 .39.设 yln( x2x2) ，求 y (n ) ( n1) .答: y ( n)( 1) n 1 (n 1)!( x1( x1.2)n1) n40.函数 yln(12x) 在 x0 处的 n 阶导数 y (n) (0) _ .答:y (n) (0)2 n (n1)!.41.设 yx2x 32，求 y( n) (n1) .3x答:y(n)(1)nn!811 .(x2) n1( x1)n42.设y(x2)(2x3)2(34)，求y(

16、 6).x答:y (6)1086! .43.设 f ( x)x(x1)( x2)( xn) ，求 f (0)及f (n 1) (x) .答:f(0)(1) n! ,f( n1) ()(n1)! .nx44.设 yexsin x ，求 y (n ) ( n1) .nk答:y (n)C nk sin( x)ex .k0245.求函数 f ( x)x2ln(1x) 在 x0 处的 n 阶导数 f ( n ) (0)( n 3) .答:f (n) (0)(1) n1 n! .n 246. 设 f ( x) arctan x ，求 f (n ) ( 0) .答:f(n)(0)0, n 2k;.(1) k

17、 (2k)! , n2kk 0,1,2,.1.47. 设f( )33x2|x| ，则使f( n)(0)存在的最高阶数n为（）xx（A）0；（B）1；（C）2；（D）3.答: (C) .七、导数的几何与物理意义48.（001）设函数 f( x) 为周期为5 的连续函数，在 x1处可导，且有关系式f (1 sin x) 3 f (1sin x)8xa( x) ，其中 a( x) o( x) ，求曲线 y f ( x) 在点(6, f ( 6) 处的切线方程 .答:y2( x 6) .22249.试证星形线 x3y 3a 3( a0)上任一点处的切线在x 轴与 y 轴之间的线段为定长 .提示 :曲线上点 ( x0 ,y0 )处的切线与 x 轴和 y 轴的交点坐标为 :12123 ) .( x0 x03 y03 ,0), (0, y0 y03 x050. （092）曲线 x1tu20edu ;yt 2ln( 2t 2 )在点 (0,0) 处的切线方程为_答: y 2x .51. （081）曲线 sin( xy)ln( yx)x 在点 (0,1) 处的切线方程为_答: y x 1.52.（102）曲线 yx 2 与曲线 ya ln x( a0) 相切，则 a（A） 4e；（B） 3e；（C） 2e；（D） e.