线面垂直的证明中的找线技巧.

1、线面垂直的证明中的找线技巧通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直1 如图 1，在正方体 ABCDA1B1C1 D1 中， M 为 CC1的中点， AC 交 BD 于点 O，（）求证： AO1平面 MBD （）求 MA BD 的体积1练习 1：如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ， AB DC ， PAD 是等边三角形，已知 BD 2AD 8， AB 2DC 4 5（）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面MBD平面 PAD ；（）求四棱锥 P ABCD 的体积PMDCAB练习2 、已知ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ， AB2 ，PAAD4， E为BC 的中点求证

2、： DE平面 PAE ；利用面面垂直寻求线面垂直例 2 如图 2， P 是 ABC 所在平面外的一点，且 PA平面 ABC，平面 PAC平面 PBC 求证： BC平面 PAC练习 3如图所示， ABCD为正方形， SA平面 ABCD，过 A 且垂直于SC 的平面分别交SB， SC， SD 于 E， F， G 求证：AESB， AG SD 应用等腰 ( 等边 ) 三角形三线合一性质所谓三线合一的性质是等腰三角形底边的中线同时是高和角分线, 可以很轻松的得到线线垂直从而为证明线面垂直做了很好的准备工作.例 3：如图 2 所示，已知PA 垂直于O 所在平面，AB 是O 的直径，PC 是 O 的圆周上

3、异于 A 、 B 的任意一点， 且 PA AC ，点 E 是线段 PC 的中点 . 求证： AE 平面 PBC .EOA图 2,BC应用两条平行线的性质大家知道两条平行线中如果有一条与一个面中的直线垂直, 则两条平行线都与平面中的直线垂直.在三角形中位线与底边平行, 可以得到线线平行的关系, 平行四边形对边平行也可以得到线线平行, 这样的结论很多 , 我们可以欣赏体会这样的方法 .例 3: 如图 3 所示 , P 为 ABC 所在平面外一点 ,BC平面 PAB, G为 PB的中点 , M 为PC的中点 , N 在 AB上, AN3NB ,求证: AB平面 MNG .PMAGCHNB图3应用平面

4、图形的几何性质我们都发现在立体几何问题的解决中, 平面图形的性质产生了很重要的地位, 在学习立体几何的过程中 , 平面几何的诸多知识点不能推广到三维空间, 但同学们要注意平面图形的性质在解决立体几何的时候会发挥很重要的作用.例 4: 如图 4 所示 , 四边形 ABCD 是边长为1 的菱形 , 点 P 是菱形 ABCD 所在平面外一点， BCD60 , E 是CD 的中点 , PA平面 ABCD ,求证 : BE 平面 PAB.PDEACB图 44 如图，在三棱锥 BCD中， BCAC， ADBD，作 BE CD， 为垂足，作AH BE于 求证： AH平面 BCD证明：取 AB的中点 ，连结

5、CF， DF ACBC ， CFAB ADBD ， DFAB 又 CFDF F， AB平面 CDF CD平面 CDF， CDAB 又 CDBE，BEABB ， CD平面 ABE， CDAH AHCD，AHBE，CD BEE ， AH 平面 BCD评注： 本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论5如图，AB是圆 的直径， 是圆周上一点，PA平面ABC若AE PC ， 为垂足， 是PB上任意一点，求证：平面AEF平面证明： AB是圆 的直径，PBCACBC PA平面ABC， BC平面ABC， PABC BC平面APC

6、BC 平面 PBC，平面 APC平面 PBC AE PC，平面 APC平面 PBC PC， AE平面 PBC AE 平面 AEF，平面 AEF平面 PBC评注 ：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系面的垂线，（ 2）【解】平面 PAC平面 ABCD ；平面 PAC平面 PBC ；平面 PAD平面 PBD ；平面 PAB平面 ABCD ；平面 PAD平面 ABCD 12ABC A B C是正三棱柱， 底面边长为 a，D，E 分别是 BB ，CC上的一点， BD 2 a， EC a（ 1）求证：平面 ADE 平面 ACC A

7、 ；（ 2）求截面 ADE 的面积（ 1）【证明】分别取 A C、 AC 的中点 M 、 N，连结 MN ，则 MN AABB， B、 M、N、B 共面， M 为 AC中点， BC=BA， BMA C，又 BM AA 且 AA AC=A B M 平面 A ACC 设MN交AE于P，a CEAC ， PNNA 2 1又 DB 2 a， PN BD PN BD ， PNBD 是矩形，于是 PD BN ， BN B M ， PDBM B M 平面 ACC A ， PD平面 ACC A ，而 PD平面 ADE ，平面 ADE 平面 ACC A （ 2）【解】 PD 平面 ACC A ，3 PD AE ，而 PD B M 2 a，AE 2 a1 SADE 2 AE PD12a3 a6 a2 2241、 S 是 ABC所在平面外一点，SA平面 ABC,平面 SAB平面 SBC,求证 AB BC.SACB2、在四棱锥中，底面 ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形，平面 VAD底面 ABCD 证明 :AB 平面 VADVDCAB3 、如图，棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形， B C A B ，证明：平面 ABC 平面 A BC11111如图，在四棱锥 P ABCD中， PA底面 ABCD，AB AD， AC