第1章函数、极限与连续第2章导数.

1、第一章函数、极限与连续习题一函数一、是非题1、 yx 2与 y=x 相同 ；（）2、y=(2x+2-x )ln(x+ 1 x 2 )是奇数；（）3、凡是分段表示的函数都不是初等函数；（）4、y=x2(x>0) 是偶函数；（）5、两个单调增函数之和仍为单调增函数；（）6、实数域上的周期函数的周期有无穷多个；（）7、复合函数 fg(x) 的定义域即 g(x)的定义域 ;（）8、y=f(x) 在(a,b)内处处有定义，则 f(x) 在(a,b)内一定有界（）二、填空题1、 函数 y=f (x) 与其反函数 y= (x) 的图形关于 _对称；2、 若 f(x) 的定义域是 0,1 ，则 f(x2

2、+1)的定义域是 _；、2 x的反函数为 _；3 y=2x14、 若 f(x) 是以 2 为周期的周期函数， 且在闭区间 0，2上 f(x)=2*x-x 2 则在闭区间 2，4上， f(x)=_;15、f(x)x+1,(x)= 1x2,则 f(x)+1)= _,f(x)+1=_;6、f(x)=log 2(sinx+2)是由简单函数和复合而成；7 、y=xx 是有简单函数和复合而成。三、选择题1、下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（）；A sin3xB x 3+1C x3+xD x 3-12、 设 f(x)=4x 2+bx+5,若 f(x+1)-f(x)=8x+3 ，则 b 应为（）A1B

3、-1C2D-23、f(x)=sin(x2-x) 是（）A 有界函数B 周期函数C 奇函数D 偶函数四、计算下列各题：1、求 y=3x +arcsin32x5的定义域 ;2、已知 f( x) =1+cosx,(x) =sin x ,求 f(x);23、设 f(x)=x 2,g(x)= ex ,求g(x),gf(x),ff(x),gg(x);4、设 ( x) = | x |,| x | 1, 求(1), (1 ), ( 2), 并作出函数 y= ( x) 的图形。0, | x | 1.52五、某运输公司规定吨公里（每吨货物每公里）运价在a 公里内 k 元超过 a 公里部分为八折优惠。每吨货物运价m

4、 元和路程 S 公里之间的函数关系。习题二常用的经济函数一、一家销售某商品的价格满足关系 P=7-0.2X（万元 /吨），X 为销售量，商品的成本函数为 C=3X+1。若每销售一吨商品，政府要征收 t（万元），试将该商家税后利润 L 表示为 X 的函数。二、 某商场生产某种产品年产量为X 台，每台售价为250 元，当年产量在 600 台内时，可全部售出，当年产量超过600 台时，经过广告宣传后又可再多出售200 台，每台平均广告费为20 元，生产再多，本年就售不出去了。试建立本年的销售收入R 与年产量 X 的函数关系。三、设某商品的供给函数为S（X ）=X 2+3X-70，需求函数为 Q=41

5、0-X，其中X 为价格。1、在同一坐标中，画出S（X），Q（X）的图形；2、求市场均衡价格。四、某种产品每台售假 90 元，成本为 60 元，厂家为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过 100 台以上的，多出的产品实行降假，其中降假比例为每多出 100 台降假 1 元，但最低降假为 75 元/台。1、试求每台的实际售价P 表示为订购量X 的函数；2、把利润 L 表示为订购量X 的函数；3、当一商场订购1000 台时，厂家可获利多少？习题三 数列的极限一、 是非题1、在数列 an 中任意去掉或增加有限项， 不影响 an 的极限；（）2、若数列 anbn 的极限存在，则 an 的极限必存在；（）

6、3、若数列 xn 和 yn 都发散，则数列 xnyn 也发散；（）4、若 lim (u n * vn )0 则必有 lim0 或 lim vn0（）xnn二、填空题1、 lim ( n1n ) = _；nsin n2、 lim2_;n n(1)n3、 lim4n2_ ; n4、 lim1_;nn3三、选择题1、已知下列四数列：、xn=2;、 xn2; 、 xn( 1)n 121; 、 xn( 1)n 1 3n1;3n13n3n1则其中收敛的数列为（）；A、B、C、D、2、已知下列四数列：、1，-1 ，1，-1 ， ,( 1)n 1 ,、0，1 ，0， 1 ，0， 1， ，0， 1， 22223

7、2n、 1，3，1，4， ,1， n2 ， 、 1,2,n,2233n 1n1则其中发散的数列为（）；A 、B、C、D 、1为奇数3、 xn, nn则必有 ()10-7,nA 、 lim xn0B、 lim xn10 7nn为奇数C、 lim xn0,nD 、 lim xn 不存在为偶数n10n7,n四、将下列数列的各项画在数轴上，并观察其收敛性1、 xn( 1)n 1， n=1,2, . ;n1, n为偶数,2、 xn2n1, n为奇数;3n3、 xn1 ( 1)n ， n=1,2,五、设 x1=0.9, x 2=0.99,x 3=0.999,x n=0.999.9,n1、用 10 的负方幂

8、表示x n ;2、试求 lim xn 的值。n习题四函数的极限一、是非题1、若 limf xA ，则 fx0A;（）n2、已知 fx0不存在，但 lim fx 有可能存在；（）n3、若 fx00 与 f x00都存在，则 lim f x必存在；（）n4、lim arctan x；（）n25、l i m x；0（）n二、 填空题1、 nlim(2 x 1) _;2、 lim1_;2n1 x3、 lim cos x_;n4、设 f (x)x , x0_, f (00)_,b, x，则 f (0 0)ax0当 b=_时， lim f ( x)1.x0三、 选择题1、从 lim f (x)1.不能推出

9、（）；xxA 、 lim f (x)1.B、 f ( x00)1xXC、 f (x0 ) 1D、 limf (x)10xx0| x |1,x0( x)lim f ( x) 的值为（2、设 f (x)，则 f）；2, x0xA 、 0B 、 1C、 2D、不存在x, x3,四、设函数 f ( x)0, x3,试画出f (x) 的图形，并求单侧极限limf ( x) 和 limf ( x) 。x2 , x 3.x 3x 32五、设 f ( x)x ，回答下列问题：x1、函数f ( x) 在 x=0 处的左、右极限是否存在？2、函数f ( x) 在 x=0 处是否有极限？为什么？3、函数f ( x)

10、 在 x=1 处是否有极限？为什么？习题五无穷小与无穷大一、是非题1、非常小的数是无穷小；（）2、零是无穷小；（）3、无限变小的变量称为无穷小。（）4、无限个无穷小的和还是无穷小。（）二、填空题1、设 y1，当 x_ 时， y 是无穷小量，当x_ 时， y 是无穷大量；x1a(x)E(x) 为 _ ；2、设 a(x)是无穷小量， E（ x）是有界变量，则3、 lim f ( x)A 的充分必要条件是当x x0 时， f (x)A 为 _ ；x 04、 lim x sin 1_;x 0x三、选择题1、当 x1时，下列变量中是无穷小的是（）；A 、 x31B 、 sin xC、 xD 、 ln(

11、x 1)2、下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是（）；x2(x)B 、 ln x(x)A 、x31C、 ln x(x00)D、1 cos nx ( x)x23、若 limf (x), lim g( x), 则下列极限成立的是（）；x x0xx0A 、 limf ( x)g( x)B 、 lim f ( x) g (x)0xxoxx01D 、 lim f ( x) g( x)C、 limx x0 f (x)g( x)x x04、以下命题正确的是（）；A 、无界变量一定是无穷大D 、不趋于无穷大的变量必有界15、 limx（）。x0A、等于 0B 等于C、等于 1D 、不存在四、下列各题

12、中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？1、1x( x) ；x22、3x1 ( x0);x3、 ln | x |( x0);14、 x ( x0).五、当 x时，下列哪个无穷小与无穷小1 是同阶无穷小？哪个无穷小与无穷小1 是xx等阶无穷小？哪个无穷小是比无穷小1 高阶的无穷小？x1、 12、 1,3、 1.2xx2| x |习题六极限的运算法则一、是非题1、在某过程中，若f (x) 有极限， g (x) 无极限，则f (x) g ( x) 无极限；（）2、在某过程中，若f (x) ， g( x) 均无极限，则 f ( x)g( x) 无极限；（）3、在某过程中，若f (x) 有极限， g (x)

13、 无极限，则f (x) g( x) 无极限；（）4、在某过程中，若f (x) g( x) 均无极限，则 f ( x) g ( x) 无极限；（）5、若 lim f (x)A, lim g (x)0, 则 lim f ( x) 必不存在；（）x x0x x0xx0 g ( x)12 3.nlim1lim2limn6、 lim222 .2 0 ；（）x x0nnnnnnn7、 lim x sin 1lim x limsin1=0；（）x 0xx 0x0x8、 lim( x23x)lim x23limx0;（）x 0x 0x 09、若 limf (x) 存在，且 limg( x)0, 则 limf

14、( x)0;（）x x0 g(x)x x0x x010、若 limf ( x) 与 limf ( x)g ( x)都存在，则 limg( x) 必存在。（）x x0xx0x x0二、计算下列极限1、 lim3x11 x2;x13、 lim 2x22x1;x3x15、 lim x322x2 ;x 2( x2)7、 lim(x2x1x2x 1);x9、 lim(2 x1)300 (3 x2)300;500x(2 x1)2、 limx21;x1x1 2x24、 lim2x2 ;x1 x6、 lim(11133 );x 1xx8、 lim123. ( n1)n2;x10、 lim2xsin x arc

15、tan 1 .x1x2x三、已知 limx2ax b，求常数 a 与 b 的值。11x 1x习题七两个重要极限一、是非题sin x（）1、 lim1;xx2、 lim(11)x.（）x x二、计算下列极限1、 lim sin x3x ;22、 lim(1 3x) x ;x 0 tan x2xx 0nsinx( x0);113、 lim 2n4、 lim( xsinsin x);n2x 0xx5、 lim tan x3sin x ;6、 lim( x1) x.x 0xxx2三、已知 lim(x)x2，求 C.x x c四、证明：当 x0 时， tan 2x 2x,1 cos x1 x2.2习题八

16、函数的连续性一、是非题1、若2、若f (x), g( x)在点 x0 处均不连续，则f (x)g (x) 在 x0 处亦不连续；（）f ( x) 在点 x0 处连续， g(x) 在点 x0 处不连续，则f ( x) g(x) 在点 x0处必不连续；（）3、若 f ( x) 与 g (x) 在点 x0 处均不连续，则积f ( x)g (x) 在点 x0 处亦不连续；（）4、 y | x |在 x0 处不连续；（）5、 f ( x) 与 x0 处连续当且仅当 f ( x) 在 x0 处既左连续又右连续；（）6、设 yf (x) 在 (a,b) 上连续，则 f ( x) 在 (a,b) 内必有界；（

17、）7、设 yf (x) 在 a, b 上连续，且无零点，则f ( x) 在 a, b 上恒为正或恒为负；（）3，所以 tan x0 在3上恒为 为正或恒为负；（）、tan1 0(,)8 tan4444二、填空题1、 x0是函数 sin x 的 _ 类 _ 型间断点；| x |2、 x0x1地函数x 的 _ 类 _ 型刘断点；3、设 f (x)1 ln(1x), 若定义 f (0) _, 则 f ( x) 在 x0 处连续；xtan ax、若函数f ( x)x, x 0在 x0 处连续，则a 等于 _ ；42, x05、已知 f (x)sgn x ，则 f ( x) 的定义域为 _ ，连续区间为

18、_ ；6、 f ( x)1的连续区间是_ ；ln( x1)7、 arctan x 在 0,) 上的最大值为_ ，最小值为 _ 。三、选择题1sin xx1、函数 f (x)在 (,) 内间断点的个数为（）x1xA 、 0B、 1C、 2D 、 3、 f ( a0)f (a0) 是函数 f ( x) 在x a处连续的（）2A 、必要条件B、充分条件C、充要条件D 、无关条件3、方程 x33x10 在区间 (0,1) 内（）A 、无实根B、有唯一实根C、有两个实根D、有三个实根四、要使 f ( x) 连续，常数 a,b 各应取何值？1 s i nxx,0xf ( x )a x,01x s i nb

19、 x,0.x五、指出下列函数的间断点，并指明是哪一类型间断点。1x1、 f ( x);2、 f ( x)121xx, x1,11, x1,x3、 f ( x)1 , x1;4、 f (x)x, 1x1,12( x1)sin, x 1.x1六、求下列极限1、 lim ln( x| x |);2、 lim2x13 ;x1x 4x 223、 lim log a (13x)2 11;4、 limx;x 0xx 0112x七、证明方程 4x2x0 在 (0, 1) 内至少有一个实根。2第一章复习题一、填空题1、设 f (x)1,| x |1,_;0,| x |则 f f (x)1.2、设 f (x)x1

20、,|x | 2,1) 的定义域为 _ ；1,2x则 f (x3.3、函数 f (x)xln(3x) 在 _ 连续；4、 lim( x2 sin 12sin 3x )_ ；x 0xx5、 lim(1k ) x_;x x6、设 f (x) 在 x1处连续，且f ( x)3，则 lim f ( x)(12) _;2x 1x 1x11与 127、当 x时，无穷小量等价，则 k= _ ;xkx3x280 是函数f ( x) x sin1的_间断点。、 xx二、选择题1、 y x21.x(,0 的反函数是（）；A 、 yx1, x1, )B 、 yx1, x0,)C、 yx1, x1,)D 、 yx1,

21、x1,)2、当 x时，下列函数中有极限的是（）；A 、 sin x1x1D、 arctan xB 、 xC、 21x0, x03、 f ( x)1 , x 0在点 x0 不连续是因为（）；xA 、 f (00) 不存在B、 f (00) 不存在C、 f (00)f (0)D、 f (00)f (0)、设21，则x 1是f (x)的（）f (x)xarc cot41xA 、可去间断点B 、跳跃间断点C、无穷间断点C、连续点cos x1,x0,0 是存在的（）、设f (x)则 klimf ( x)5k, x0.x 0A 、充分但非必要条件B、必要但非充分条件C、充分必要条件D、无关条件6、当 xx

22、0 时，和 (0)都是无穷小。当xx0 时，下列变量中可能不是无穷小的是：（）A 、B、C、D 、7、当 x时，若 sin 2 1与1 是等价无穷小，则K= （）nnkA 、 2B 、1C、 1D 、 328、当 x0时，下列函数中为X 的高价无穷小的是（）。A 、 1cos xB、 xx2C、 sin xD 、x三、求下列函数的极限1、 lim2x13 ；2、 lim sin(2x1) ;x 4x2x1 xx23、 lim ( x21)x2sin x32;4、 lim3 ;xx1x0 (sin x)5、 lim1x1x6、 limx3(sin x2);2x 0sin 3xxxx17、 lim

23、22x| x |;ln(12 x)2x8、 lim;x12 xx0tan 5x9、 lim sin xsin a ;10、 limsinx .x axax1 4( x1)cosx , x0四、设 f ( x)x2aaxx, x0（ a>0） ,当 a 取何值时，f (x) 在 x0 处连续。1五、已知当 x0时，(1ax2 ) 31与 1cos x 是等价无穷小，求 a.六、设 limx3ax2x4b （常数），求 a,b1x1x七、求f (x)1的间断点，并对间断点分类。x11x八、证明下列方程在（0， 1）之间均有一实根。1、x5x31;、xx;、 arctan x 1 x.23九、

24、设f ( x) 在 a,b 上连续，且 af (x)b, ，证明在（ a,b）内至少有一点使 f ( ) .第一章自测题一、填空题1f (x)x22x,则f (x) =_ ；、若2、设 f (x) 单调减少，f ( x) g( x), 且 f (x) 与 g (x) 可以相互复合，则f g ( x) 与世g f ( x) 的大小关系是 _；23、 lim(1sin x) x_;x04、 limx2, 则 limf (2 x)_;x0 f (3 x)x0x5、 f (x)x2x的间断点是 _ ，其中可去间断点是_ ，跳跃断点是| x | ( x21)_ 。二、选项择题1、当 n时， n sin1

25、 是（）；nA 、无穷大量B 、无穷小量C、无界变量D、有界变量时，函数 x212、当 x11 x 1的极限为（）x13、方程 x3px10( p0) 的实根个数是（）；A 、一个B 、二个C、三个D、零个4、当x0时， (1cosx)2 是 sin2 x 的（）；A 、高阶无穷小B、同阶无穷小，但不等价C、低阶无穷小D、等价无穷小( x1)95 (ax1)58, 则 a 和值为（5、设 lim250）；x( x1)A 、 1B 、 2C、 58D、A、B、C 均不对三、求下列函数的极限值：x3x2x2 sin 1);2、 limx ;1、 lim(212xx2x21x0sin 2x3、 li

26、m5n(2)n1 ;2)cot2 x;n 1(2)n4、 lim(1 xn5x05、 lim ln(1sin x) .x0sin 5x3x,1x1四、设 f ( x)2, x1, 求 limf ( x),lim1f ( x),limf ( x).x 0xx13x2 ,1 x 2ln(1 x)x, x 0, 讨论 f ( x) 在 x=0 处的连续性。五、设 f ( x)1.x0| sin x |, x0x六、证明方程 x2sin x1至少有一个小于 3 的正根。七、设 f (x) 在a,b 上连续，且无零点， 又存在一点 x0 ( a, b), 使 f ( x0 )0, 证明： f (x) 在

27、a,b 上恒为负。第二章导数与微分习题九导数概念一、是非题1、 f ' ( x0 ) f (x0 ) ' ；（）2、曲线 yf ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 ) 处有切线，则f ' ( x0 ) 一定存在；（）3、若 f ' ( x)g' ( x) ，则 f ( x)g( x) ；（）4、周期函数的导数仍为周期函数；（）5、偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数；（）6、 yf ( x) 在 xx0 处连续，则f ' ( x) 一定存在。（）二、填空题1、设 f (x ) 在 x0 处可导，则 limf ( x0x)f (x0 )_,x0xf (x0h)f (x0 h)lim_;h 0h2、若 f '(0) 存在且 f (0)0，则 limf ( x)_;x0x3、已知 f (x)x2 , x0, 则 f ' (0)= _ ；x2 , x 04、当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却若物体的温度 T 与时间 t 的函数关系为 T=T （ t），则该物体在时刻t 的冷却速度为_ ；5、在曲线 yxx10,及 x21网点 , 作过这两点的割线, 则曲线上取横坐标yx 在点 _ 处的切线 _ 平行于这条割