等腰三角形的性质定理和判定定理

1、一. 本周教学内容：等腰三角形的性质和判定 二. 教学目标：（一）知识与技能：（1）掌握等腰三角形的性质定理和判定定理，并会灵活运用。    （2）能用上述结论进行分析与说理，进行初步的逻辑思维训练，形成一定的推理能力。（二）情感态度与价值观：通过等腰三角形性质定理和判定定理的证明体现数学的应用价值。 三. 重点、难点：重点是等腰三角形的性质定理和判定定理    难点是利用定理解决实际问题 四. 教学过程：（一）知识梳理    知识点1：等腰三角形的性质定理1 &#

2、160; （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）   （2）符号语言：如图，在ABC中，因为AB=AC，所以B=C    （3）证明：取BC的中点D，连接AD              在ABD和ACD中                 

3、;        ABDACD（SSS）B=C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”）（2）符号语言：AB=AC            AB=AC         

4、0;   AB=AC1=2              ADBC              BD=DCADBC，BD=DC  1=2             1=2BD=DC 

5、60;              ADBC    （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。    说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。    知识3：等腰三角形的判定定理    （1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，

6、那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在ABC中B=C     AB=AC    （3）证明：过A作ADBC于D，则ADB=ADC=90°。     在ABD和ACD中     ABDACD （AAS）AB=AC    （4）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。    说明：本定理的证明还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。证明一个三角形是等腰三

7、角形的方法有两种：1、利用定义  2、利用定理。 【典型例题分析】基础知识应用题：例1. 如图，已知P、Q是ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求BAC的度数。    解：AP=PQ=AQ（已知）APQ是等边三角形（等边三角形的定义）APQ=AQP=PAQ=60°（等边三角形的性质）AP=BP（已知）PBA=PAB（等边对等角）又APQ=PAB+PBA=60°PBA=PAB=30°同理QAC=30°BAC=PAB+PAQ+QAC=30°+60°+30°=120

8、°解答此类题的步骤如下：（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。    （2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。   例2. 已知：如图，在ABC中，B=C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，DEF=B。求证：DEF是等腰三角形。    证明：B+BDE+BED=180°（三角形内角和定理）BED+DEF+FEC=180°（平角性质）B=DEF（已知）BDE=FEC（等角的补角相等）在BED和CFE中BDE=FEC中 

9、（已证）BD=CE   （已知）B=C  （已知）BEDCFE （ASA） DE=EF  （全等三角形对应边相等）DEF是等腰三角形  （等腰三角形定义） 综合应用题：例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，ABCD，OA=OB，求证：OC=OD    证明：ABCD  （已知）A=C，B=D  （两直线平行，内错角相等）OA=OB  （已知）A=B  （等边对等角）C=D  （等量代换）OC=OD  （等角对等边）   例

10、4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，1=2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。证法一：证明：作DEAB于EDA=DBDEABAE=BE=AB=2ACAE=AC在AED和ACD中AEDACDC=AED=90°DC与AC的位置关系为：DCAC证法二：证明：延长AC到F，使CF=AC，连结DFAB=2AC，AF=2ACAB=AF在ABD和AFD中ABDAFDDF=DBDA=DBDA=DF又AC=CFDCAF说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB，从而达到解决问题的目的。 例5.

11、 求证：等腰三角形两腰上的中线相等 解：已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，BD，CE是ABC的中线求证：BD=CE证明：BD，CE是ABC的中线AE=AB，AD=ACAB=ACAE=AD在ABD和ACE中ABDACE（SAS）BD=CE（全等三角形的对应边相等）    说明：这是一个证明文字叙述的几何命题的题目，做这类题时首先要分清题设，结论，画出草图，结合图形写出：已知、求证、然后再证明。 例6. 如图，点C为线段AB上的一点，ACM，BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。（1）求证AN=BM（2）求证CEF为等边三角形

12、证明：（1）ACM，CBN是等边三角形AC=MC，CN=CB，ACM=NCB=60°ACN=BCM=120°在ACN和MCB中ACNMCB（SAS）AN=BM（2）由（1）中ACNMCBANC=MBC在CEN和CFB中CENCFB（ASA）CECF又ECF60°CEF为等边三角形 例7. 下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，苏老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知，等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角。”同学们经片刻的思考与交流后，李明举手讲：“其余两角30°和120

13、76;，”卫华同学说：“其余两角是75°和75°”还有一些同学也提出了不同的看法（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）解略 【模拟试题】（答题时间：25分钟）1. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（    ）A. 60°     B. 120°     C. 60°或150°    D

14、. 60°或120°2. 如图，ABC中AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则A的度数为（    ）A. 30°            B. 36°            C. 95°        

15、0;   D. 70°3. 如图，ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于F，若BF=AC，那么ABC的大小是 （    ）A. 40°          B. 45°           C. 50°        

16、0; D. 60°4. 聪明的小明用含有30°角的两个完全相同的三角板拼成如图所示的图案，并发现图中有等腰三角形，请你帮他找出两个等腰三角形：                                   。5. 如图，一个顶角为40

17、°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则1+2=           度。6. 在ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B的大小为            。7. 如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。（2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。【试题答案】1. D