本章重点介绍建立典型方程这种方法

1、20 位移法位移法本章重点介绍建立典型方程这种方法，要求本章重点介绍建立典型方程这种方法，要求熟练掌握位移法基本结构的确定、位移法方程的熟练掌握位移法基本结构的确定、位移法方程的建立、系数及自由项的计算以及结构内力图的绘建立、系数及自由项的计算以及结构内力图的绘制。学习本章的目的，除主要为掌握位移法的基制。学习本章的目的，除主要为掌握位移法的基本原理和计算方法外，还为以后学习其它的超静本原理和计算方法外，还为以后学习其它的超静定结构计算方法如力矩分配法等打下基础。定结构计算方法如力矩分配法等打下基础。 本章提要本章提要本本 章章 内内 容容20.1 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移

2、方程20.2 位移法基本结构的确定位移法基本结构的确定20.3 有一个独立结点转角未知量的结构有一个独立结点转角未知量的结构的计算的计算20.4 有一个独立线位移未知量的结构的有一个独立线位移未知量的结构的计算计算20.5 用位移法计算一般刚架用位移法计算一般刚架20.6 用结点、截面平衡方程计算刚架用结点、截面平衡方程计算刚架20.1 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程位移法与力法的主要区别，在于基本未知量和分析问题时所采取的基本结构不同。 力法是取结构中多余约束的力即多余未知力作为基本未知量，按位移条件建立力法方程将它们求得后，即可据以求出结构的其它内力和位移。 位移法是把结

3、构的某些位移作为基本未知量，先设法求出它们，再据以求出结构的内力和其它位移。位移法是以结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量，以单跨梁系作为基本结构的。结构的结点位移对于基本结构中的单跨梁来说是杆端位移，分布在结构上的荷载表现为单跨梁的荷载。在位移法计算过程中，需要建立各等截面直杆的杆端力(杆端弯矩和杆端剪力)与杆端位移、杆上荷载的关系式，通常称这种关系式为转角位移方程。 图20.1(a)所示刚架结构在荷载作用下，截取杆件AB如图20.1(b)所示，用MAB和MBA表示杆端弯矩，QAB和QBA表示杆端剪力。杆端弯矩正负号规定为：对杆端而言，杆端弯矩以顺时针转向为正；对结点或支座而言，则以逆时

4、针转向为正(图20.1(c)。图中所画的杆端弯矩都是正的。 图20.2(a)所示两端固定梁AB，A、B端分别发生转角A、B，两端产生垂直于梁轴的相对侧移，其中AB与水平方向的夹角称为弦转角，用AB或BA表示。以上各种位移的正、负号规定为：杆端转角A、B以及弦转角都以顺时针转角为正；线位移的正、负号应与弦转角AB一致，即右端下沉、左端上升为正。图20.2中所画各种位移均为正。为区别杆端位移产生的杆端力，我们把荷载在梁上产生的杆端弯矩、杆端剪力称为固端弯矩、固端剪力，并以MF、QF表示。 20.1.1 两端固定梁的转角位移方程两端固定梁的转角位移方程对于图20.2(a)所示两端固定梁：(1) 由于

5、A端转角A引起的杆端力为MAB=4iAMBA=2iAQAB=(6i/l)A QBA=-(6i/l)A(2) 由于B端转角B引起的杆端力为MAB=2iB MBA=4iBQAB=-(6i/l)B QBA=-(6i/l)B(3) 由于两端相对侧移引起的杆端力为 MAB=-(6i/l) MBA=-(6i/l) QAB=(12i/l2) QBA=(12i/l2)(4) 如果有荷载作用，其固端弯矩、固端剪力为MFAB、MFBA和QFAB、QFBA，根据叠加原理，将以上所得叠加有MAB=4iA+2iB-(6i/l)+MFABMBA=2iA+4iB-(6i/l)+MFBA20.1.2 一一 端固定另端铰支梁的

6、转角位移方程端固定另端铰支梁的转角位移方程对于一端固定另端铰支梁(图20.2(b)，用上述同样方法可得MAB=3iA-(3i/l)+MFABMBA=020.1.3 一一 端固定另端定向支承梁的转端固定另端定向支承梁的转角位移方程角位移方程对于一端固定另端定向支承梁(20.2(c)，其转角位移方程为MAB=iA+MFABMBA=-iA+MFBA图20.1 图20.2 20.2 位移法基本结构的确定位移法基本结构的确定位移法的基本结构是单跨梁系。如图20.3(a)所示刚架，在荷载作用下结构发生了变形，结点C、D发生了转动和移动。为了阻止结点移动，在结点D(或结点C)上加一附加支杆(其作用是阻止结点

7、线位移而不限制结点转动)，如图20.3(b)所示。 在原结构上，凡属各杆互相刚结的结点(包括组合结点)，都应加入一附加刚臂，而全铰结点不需附加刚臂，故只需清点刚结点的数目。 例如图20.4(a)所示刚架，可得如图20.4(b)所示铰结体系，该体系需增加两根支杆(图20.4(c)、(d)才能组成几何不变体系。原结构加上这两个支杆后各结点就不能移动了(图20.4(e)。再在各刚结点上附加刚臂后(图20.4(f)就形成单跨梁系的基本结构了。为了得到基本结构，有些情况并不需要把所有结点都变成不动结点。如图20.5(a)所示结构中，对联结CD与DE杆而言，结点D为刚结点，也有转角位移。又如图20.5(b

8、)所示结构中，EF附属部分为一静定简支梁。 【例20.1】确定图20.6(a)所示结构的位移法基本结构。【解】在结点F加一个附加支杆(图20.6(b)，这时结点F不能移动。F、B二结点不移动，结点E也就不移动了。E、A二结点不移动，结点D也就不移动了。可见，只要加一个支杆，一排结点就都不移动了，不管梁是水平的，还是斜的。在刚结点D、E处加入二个附加刚臂。位移法基本结构如图20.6(b)所示。 【例20.2】确定图20.7(a)所示结构的位移法基本结构。【解】化为铰结体系(未画出)不难看出，需加入两根附加支杆才能使其形成几何不变体系。在刚结点B、C、D处加入三个附加刚臂。位移法基本结构如图20.

9、7(b)所示。【例20.3】确定图20.8(a)所示结构的位移法基本结构。【解】该结构为一阶形梁，若用位移法计算，应将变截面处取为一个结点。铰结体系如图20.8(b)所示，容易看出结点C能上下移动，需加入一附加支杆(图20.8(c)。此外，还应在结点C处加入一附加刚臂。位移法基本结构如图20.8(d)所示。 图20.3 图20.4 图20.5 图20.6 图20.7 图20.8 20.3 有一个独立结点转角未知量的结构的计算有一个独立结点转角未知量的结构的计算用位移法计算图20.9(a)所示刚架时，首先要将其变为位移法基本结构。由于原结构只有结点B能转动，故需在结点B上加一刚臂1，以阻止其转动

10、。这样就变成了两个两端固定梁BA和BC组成的位移法基本结构(图20.9(b)。基本结构与原结构的差别表现为：无转角，给结点施加了一个反力矩。 欲消除其差别，需将刚臂1即结点B转动一个应有的即实际的角度Z，如图20.9(c)所示。 转到应有角度时，结构恢复了附加刚臂前的自然状态，去掉刚臂，也会停留在原处，而不会再转动，即使不去掉刚臂，刚臂也不会起作用，即此时刚臂的反力矩R1=0由原结构变为基本结构，再由基本结构恢复为原结构的过程为：先加刚臂，固定结点后，加上荷载，此时刚臂产生反力矩。然后，转动刚臂，放松结点。转动一点，刚臂的反力矩就减少一点，转动到应有位置时，刚臂的反力矩就变为零了。图20.9(

11、c)受两种作用，由叠加原理可分解为图20.9(b)、(d)两种情况。图20.9(b)中只有外力P的作用而无转角Z1的影响，其中AB杆无荷载影响，不发生变形，故无内力，而外力P作用下的BC杆的内力可用力法求得。图20.9(d)中杆AB和BC均相当于两端固定梁在B端发生支座移动(转角大小为Z1)的情况，其内力同样可用力法求得。 R1=R11+R1P而R11=r11Z1其中r11是单位转角Z1=1产生的刚臂1的反力矩(图20.10(a)。于是R1=r11Z1+R1P=0或r11Z1+R1P=0式(20.5)称为位移法典型方程。其物理意义是，当附加刚臂转动应有角度恢复自然状态时，其反力矩等于零。20.

12、5 下面我们来计算r11和R1P，并求Z1。为求r11，需先绘出单位结点转角Z1=1产生的弯矩图M1图(图20.10(a)。截取结点B(图20.10(b)，由力矩平衡条件MB=0可得r11-4i-4i=0即 r11=8i写成一般式r11=M杆端即r11等于M1图上汇交于结点B的各杆转动端杆端弯矩之代数和。为求R1P，先给出荷载在位移法基本结构上产生的弯矩图MP图(图20.11(a)。截取结点B(图20.11(b)，由结点力矩平衡条件MB=0可得R1P+Pl/8=0即R1P=-Pl/8在原结构结点上无外力偶作用的条件下(有外力偶的情况，后面讨论)，可写成一般式：R1P=M固端即R1P等于MP图上

13、汇交于结点B的各杆固端弯矩之代数和。将r11、R1P之值代入位移法典型方程式(20.5)得8iZ1-Pl/8=0故Z1=Pl/64i求出Z1后，原结构的最后弯矩图可按叠加法公式M=M1Z1+MP绘制(图20.12)。既知各杆端弯矩，先后以杆及结点为隔离体，用静力平衡条件可求杆端剪力和轴力，进而绘出其剪力图及轴力图(本例略)。综上所述，位移法的解题思路是：在原结构结点上加附加约束(本例为刚臂)，将其化为基本结构。然后放松结点(本例中为转动刚臂)，使所加的约束不起作用(刚臂反力矩为零)，体系恢复原状。这样，加了约束，而又消除了约束的作用，加等于不加，基本结构与原结构没有差别。位移法的解题步骤为：(

14、1) 将原结构转化为基本结构；(2) 列位移法典型方程；(3) 绘单位弯矩图(本例中为M1图)和荷载弯矩图(MP图)；(4) 求系数(r11)及自由项(R1P)；(5) 解方程，求未知量(Z1)；(6) 用叠加法绘最后弯矩图；(7) 绘剪力图和轴力图。【例20.4】用位移法计算图20.13(a)所示结构，并作内力图。已知各杆EI为常数。【解】在结点B加一刚臂得基本结构(图20.13(b)，只有一个未知量Z1。位移法典型方程为r11Z1+R1P=0绘M1图(图20.13(c)，求r11r11=3i+4i=7i绘MP图(图20.13(d)，求R1PR1P=5-40=-35kNm将r11、R1P之值

15、代入典型方程，得7iZ1-35=0故 Z1=5/i用叠加法绘最后弯矩图(图20.13(e)。绘剪力图时，可把每根杆件视为简支梁，根据各杆的杆端弯矩及杆上荷载，逐杆求出杆端剪力。BC杆：是悬臂杆，其各截面的剪力均为10kN。BD杆：其上无荷载作用，其各截面的剪力是常数。Q=-M杆端/l=-(20+10)/4=-7.5kN BA杆：其上作用有均布荷载，剪力图应是一斜直线，其杆端剪力可由图20.13(f)根据平衡条件求得。 由MA=0得QBAl+MBA+ql2/2=0QBA=-MBA/l-ql/2=-10kN由MB=0得QAB=0最后作剪力图如图20.13(g)所示。取结点B为隔离体，如图20.13

16、(h)所示(未画出杆端弯矩)，由X=0 得 NBA=7.5kN(拉)Y=0得 NBD=-20kN(压)最后作轴力图如图20.13(i)所示。 【例20.5】用位移法计算图20.14(a)所示结构，并作弯矩图。已知各杆长度均为l，EI为常数。【解】基本结构如图20.14(b)所示。位移法方程为r11Z1+R1P=0绘M1图(图20.14(c)，求r11r11=4i+4i+3i=11i如图20.14(d)所示，结点D被刚臂锁住，加外力偶后不能转动，所以各杆均无弯曲变形，因此无弯矩图，即MP=0。 截取结点D(图20.14(d)，由结点力矩平衡条件MD=0，得R1P+m=0故 R1P=-m若外力偶m

17、是逆时针方向的，则R1P=+m写成一般式，当结点受外力偶作用时：R1P=m当外力偶为顺时针时m取负号，为逆时针时m取正号。解方程，求Z1：Z1=-R1P/r11=m/11i按叠加法绘最后弯矩图(图20.14(e)：M=M1Z1+MP=M1Z1当结点上有外力偶，各杆上还有外力作用时：R1P=M固端+m式中：外力偶为顺时针时，m取负号；反之，m取正号。【例20.6】绘图20.15(a)所示结构的弯矩图。EI=常数。【解】基本结构如图20.15(b)所示。由于超静定结构的内力只与各杆的刚度比值有关，而与刚度绝对值大小无关。因此，为求内力，刚度大小可以任意给定，只要保持其比值不变即可。这里为了简单，设

18、EI=1，求得各杆的线刚度如图20.15(b)括号中数字所示。位移法方程为r11Z1+R1P=0绘M1图(图20.15(c)，求r11r11=0.8+1=1.8绘MP图(图20.15(d)，求R1PR1P=M固端+m=2-20=-18kNm将r11、R1P之值代入位移法方程1.8Z1-18=0故 z1=10按叠加法绘最后弯矩图(图20.15(e)。图20.9 图20.10 图20.11 图20.12 图20.13 图20.14 图20.15 20.4 有一个独立线位移未知量的结构的计算有一个独立线位移未知量的结构的计算图20.16(a)所示超静定排架，虚线表示结构在荷载作用下的变形曲线。了获得

19、按位移法计算的基本结构，可在原结构结点B处加入一个附加支杆1，用以限制结点线位移。这时，杆AC、BD均相当于一端固定另端铰支的单跨梁，而AB杆为简支梁。由这三个杆件的组合体，即是原结构的基本结构(图20.16(b)基本结构与原结构的差别在于：原结构有结点线位移，而基本结构加入支杆(附加约束)，阻止了其线位移，同时对结点施加了支杆反力，用R1P表示，并规定其方向与Z1方向一致时取正。为了消除差别，强使支杆移动，当支杆处产生水平线位移为Z1(图20.16(c)时，体系与原结构受力、变形情况相同，即恢复了自然状态，则支杆1的反力R1应等于零，即R1=0体系受到两个作用：一是附加支杆不动情况下荷载的作

20、用(图20.16(b)，一是无荷载情况下支杆移动的作用(图20.16(d)。图20.16(c)是两个作用的叠加于是，附加支杆反力R1也由两部分组成：R1=R11+R1P位移法方程为r11Z1+R1P=0为了求得r11，过柱顶引截面，取横梁为隔离体(图20.17(b)，通过柱顶剪力，由平衡条件X=0得r11=3i/l2+3i/l2=6i/l2也可以写成公式：r11=3i/l2求和号中各项都是正的，它适用于排架计算。为了后面绘最后弯矩图的需要，在图上绘出单位位移Z1=1产生的弯矩图M1图(图20.17 (a)。用同样的方法可求R1P。如图20.17(c)所示，由X=0得：R1P+P=0故R1P=-

21、P写成公式：R1P=被截柱顶剪力+P其中求和号包括截面内各柱。柱顶剪力以与R1P方向(即Z1方向)一致为正。P为结点集中力，与R1P方向一致时取负号。同样应绘出荷载弯矩图MP图。将r11、R1P之值代入位移法方程得Z1=Pl2/6i按叠加法绘最后弯矩图如图20.18所示。【例20.7】用位移法计算图20.19(a)所示排架，并绘M图【解】只需加一附加支杆，得基本结构如图20.19(b)所示，有一个基本未知量Z1。位移法方程为r11Z1+R1P=0绘M1图如图20.19(c)所示。由式(20.9)得r11=3i/l2=12i/l2绘MP图如图20.19(d)所示。由式(20.10)得R1P=被截

22、柱顶剪力+P=-3/4ql将r11、R1P之值代入位移法方程，解得Z1=-R1P/r11=ql3/16i按叠加法绘最后弯矩图如图20.20所示。 图20.16 图20.17 图20.18 图20.19 图20.20 20.5 用位移法计算一般刚架用位移法计算一般刚架图20.21(a)所示连续梁，有两个刚结点B和C，无结点线位移。其位移法基本结构如图20.21(b)所示。基本结构受荷载及结点转角Z1、Z2共同作用，根据基本结构附加刚臂上的反力矩等于零这一条件，按叠加法可建立位移法典型方程如下：r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0例如：r11为Z1=1产生的刚臂1的

23、反力矩，r12为Z2=1产生的刚臂1的反力矩，R1P为荷载产生的刚臂1的反力矩；r21为Z1=1产生的刚臂2的反力矩，r22为Z2=1产生的刚臂2的反力矩，R2P为荷载产生的刚臂2的反力矩。为了计算典型方程中的系数和自由项，分别绘出M1图(图20.21(c)、M2图(图20.21(d)和MP图(图20.21(e)。这些系数和自由项都是刚臂的反力矩，均可由结点平衡条件M=0求出。也可以不截取结点，而直接按前述公式求出： r11=M杆端=4i+6i=10ir12=3ir21=3i这里r12=r21，符合反力互等定理。r22=6i+3i=9iR1P=M固端=20-80=-60kNmR2P=80-60

24、.94=19.06kNm将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得Z1=7.37/I Z2=-4.57/i 最后按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP可绘出连续梁的最后弯矩图如图20.21(f)所示。 【例20.8】用位移法计算图20.22(a)所示刚架，并绘M图。【解】此刚架具有两个刚结点B和C，无结点线位移，其基本结构如图20.22(b)所示。列位移法典型方程：r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0分别绘出M1图(图20.22(c)、M2图(图20.22(d)和MP图(图20.22(e)。各系数和自由项分别计算如下：r11=M杆端=4i+8i=12ir21=

25、r12=4ir22=8i+6i+4i=18iR1P=M固端+m=-26.67-10=-36.67kNmR2P=26.67-30=-3.33kNm将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得Z1=3.23/iZ2=-0.53/i按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图20.22(f)所示。 【例20.9】用位移法计算图20.23(a)所示刚架，并绘M图【解】此刚架具有一个独立转角Z1和一个独立线位移Z2。在结点C加入一个附加刚臂和附加支杆，便得到图20.23(b)所示的基本结构。根据附加刚臂和附加支杆上的反力矩和反力应等于零的条件，可建立位移法方程如下：r11Z1+r12Z2+R

26、1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0分别绘出M1图（图20.23(c)）、M2图（20.23(d)和MP图（图20.23(e)。 求第一个方程中的系数和自由项：这些系数和自由项都是刚臂的反力矩，可根据物理意义由刚臂所在结点的平衡条件M=0求出，实际上可按由此平衡条件推出的相应公式直接写出。由M1图：r11=M杆端=3i+4i=7i由M2图：r12=-3/2i由MP图:R1P=M固端=0 求第二个方程中的系数和自由项：这些系数和自由项都是附加支杆的反力，可根据物理意义由包含附加支杆反力的截面平衡条件X=0求出，或按由此平衡条件推出的相应公式直接计算。求r21可在M1图上经二柱顶引截面，根据

27、柱端弯矩计算出作用于柱顶的剪力，取其上部为隔离体(图20.24(a)，由X=0：r21-QCD=0故r21=QCD=r12 为求r22，可在M2图上引截面，由隔离体(图20.24(b)的平衡条件X=0，可推出计算公式如下： 对于本例：同理可求得R2P，由MP图：R2P=被截柱顶剪力+P故 R2P=-60kN222212123iirll被截柱顶剪力222212123154416iiir将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得 Z1=20.87/I Z2=97.39/i按叠加法公式M=M1Z1+M2Z2+MP绘出最后弯矩图如图20.23(f)所示【例20.10】计算图20.25(a)所示结构C点的竖向位移。【解】变截面处C点应作为刚结点，加刚臂及支杆得位移法基本结构如图20.25(b)所示。其中未知量Z2即为所求。位移法方程如下：r11Z1+r12Z2+R1P=0r21Z1+r22Z2+R2P=0分别绘出M1图(图20.25(c)、M2图(图20.25(d)和MP图(图20.25(e)。各系数和自由项计算如下：r11=8i+4i=12ir12=-6i/l=r21 R1P=ql2/12-ql2/12=0r22=36i/l2R2P=-ql将上述所求系数和自由项代入位移法方程，解得Z1=ql3/(66EI) Z2=ql3/33=ql4/(33EI)Z2即为所求的C点的竖向位移。图20