目的用矩阵来研究二次型在非退化的线性替换下的变化情

1、第五章 二 次 型目的：用矩阵来研究二次型在非退化的线性替换下的变化情况。§1 二次型的矩阵表示目的：将我们早已熟知的矩阵和二次型联系起来，更方便地来研究二次型。教学方法：讲练结合。课时：2教学内容：设是一个数域，一个系数在数域中的的二次齐次多项式 （1）称为数域上的一个元二次型（简称二次型）。 例如 是一个三元二次型是一个四元二次型注意：（1）中（<）的系数写成，而不是简单地写成,其目的是更加方便地用我们已熟悉的矩阵来研究二次型。和几何中一样，在处理许多其他问题时也常常希望通过变量的线性替换来简化有关的二次型，例如：是一个三元二次型，如果令则该三元二次型就变成了 其中只含平方

2、项，不含交叉项。为此，我们引入线性替换的概念。定义1 设，是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 （2）称为由到的一个线性替换（简称线性替换）。如果系数行列式则称线性替换（2）是非退化的。 易知，若把（2）代入（1），那么就会得到关于的多项式仍然是二次齐次的。也就是说，线性替换把二次型变成二次型。 为了用我们已熟知的矩阵来研究二次型，下面我们就来给出二次型的矩阵表示，为此先令 ，<。由于，所以二次型（1）可以写成 （3）把（3）的系数排成一个矩阵 称为二次型（1）的矩阵。因为，所以。这就是我们以前学过的对称矩阵。由此可见，二次型的矩阵都是对称矩阵。 这样我们就把二次型用矩阵表示出来了，并

3、且二者之间是相互唯一决定的。 （注意：二次型（1）的矩阵的元素，时，正是交叉项系数的一半，而是平方项的系数。） 令 ，有这说明二次型可以用矩阵的乘积表示出来。同样，线性替换（2）也可以用矩阵的乘积表示出来。令， 则线性替换（2）可以写成或者我们知道，经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型。现在就来看一下，替换后的二次型与原来的二次型之间有什么关系，即，找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的关系。设， （5）是一个二次型，作非退化线性替换 （6）我们得到一个的二次型 现在来看与的关系。把（6）代入（5），有因为，所以也是对称矩阵。由此，有这就是前后两个矩阵的关系。于是，我们引入合

4、同的概念。定义2 数域上矩阵与称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使 。 合同是矩阵之间的一个等价关系。它满足（1） 身性：；（2）对称性：由即得；（3）传递性：由，即得。 定理：二次型经非退化的线性替换 后得到一个新的二次型其中 。 即新二次型的矩阵与原二次型的矩阵合同。注意：在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换是非退化的（为什么？）。练习：1、 下列两式是不是二次型？（1） （不是） （2） （不是）2、 写出下列二次型的矩阵： （1） （2） （3） （4） §2 标 准 形教学目的： 用非退化的线性替换化简二次型教学方法： 讲练结合课时： 2教学内容 我们认为，二次型中

5、最简单的一种是只包含平方项的二次型。本节的主要结果是定理1 数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平凡和的形式，如： （1）证明 对变量的个数用数学归纳法首先证明时结论成立。再假定对元的二次型，结论成立证明对元二次型结论也成立。此时分三种情况来讨论：1） 中至少有一个不为零。2） 所有，但是至少有一（>1）。3） 。具体证明过程略。易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， 反之，矩阵为对角形就只含平方项。经非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此，用矩阵的语言，定理1可以叙述为定理2 在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。即：对于任意一个对称矩阵都可以找到

6、一个可逆矩阵使 为对角矩阵。 二次型经过非退化的线性替换所变成的平方和称为的一个标准型。下面我们举例来说明如何化二次型为标准型：例1 化二次型为标准型。解： 作非退化线性替换则 再令 或则 最后令 或则 是平方和，而这几次线性替换的结果相当于一个总的线性替换，例2 化二次型 为标准型。练习： 1（1）；作业：1（2）（4） §3 唯一性教学目的： 二次型的标准型中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关。教学方法： 讲练结合课时： 2教学内容我们看到，经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵。而合同的矩阵有相同的秩，即经过非退化的线性替换后

7、，二次型的秩是不变的。标准型的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上不为零的元素的个数。因此，在一个二次型的标准型中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化的线性替换无关。二次型矩阵的秩有时也称为二次型的秩。至于标准型中的系数，就不是唯一确定的。（举例说明）这说明，在一般的数域内，二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关。下面我们就复数域和实数域的情况来进一步讨论唯一性的问题。先看复数域的情形。设是复数域的二次型。经适当的非退化线性替换可以变成标准型。不妨设它的标准型是， （1）易知就是的秩。因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就可以变成 （

8、2）（2）称为复二次型的规范型。显然，规范型完全被原二次型的秩所决定，因此有定理3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范型；且规范型是唯一的。即任一复数的对称矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1的元素个数等于该二次型的秩，其余元素均为零。故两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等。再来看实数域的情况。设是实数域的二次型。经适当的非退化线性替换再适当排列文字的次序，可使变成标准型。不妨设它的标准型是 （3）>，就是的秩。因为在实数域内，正实数总可以开平方，所以再作一非退化的线性替换（3）就可以变成 （4）（4）被称为实二次型的规范型。显然规

9、范型完全被r，p这两个数所决定。因此有定理4 任意一个实系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范型；且规范型是唯一的。定义3 在实二次型的规范型中，正平方项的个数称为的正惯性指数；负平方项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差。注意：虽然实二次型的标准型不是唯一的，但是标准型系数为正的平方项的个数与规范型中正平方项的个数是一致的。故惯性定理也可以叙述为：实二次型的标准型中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数。即实二次型的对称矩阵合同于另一个对称矩阵，该对称矩阵的主对角线上为1的元素个数就是该二次型的正惯性指数，-1的个

10、数就是该二次型的负惯性指数，1与-1的个数的和就是该二次型的秩，其余元素为零。故两个实数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的正惯性指数与负惯性指数分别相等。小结：如果复数域上的两个二次型的秩相等，它们就能用非退化线性替换相互转化。但实二次型不是这样。两个秩相等的是实二次型的正惯性指数不一定相等，因而也不一定有相同的标准型，所以它们就不一定能用非退化的线性替换互相转化。两个实二次型能够用非退化的线性替换互相转化的充要条件是它们的秩相等，正惯性指数也相等；或者是它们的正惯性指数相等，负惯性指数也相等。练习： 1、（分复数域与实数域两种情况来把二次型的规范型写出来） §4 正定二次型教学目的

11、： 本节将根据实二次型的标准型将实二次型分为三类：正定二次型、负定二次型、半正定二次型、半负定二次型和不定二次型。并着重介绍正定二次型及常用的判别条件。教学方法： 讲练结合课时： 2教学内容定义4 实二次型称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数都有 >；如果都有<，称为负定的；如果都有，称为半正定的；如果都有，称为半负定的；如果它既不是半正定的又不是半负定的，则称为不定的。显然，二次型是正定的，因为只有在时，才成立。不难验证，实二次型是正定的当且仅当>，。定理5 元实二次型是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。证明：设实二次型 ， （1）是正定的，经过非退化的实线性替

12、换 （2）变成二次型 ， （3）我们的目的是要证明二次型也是正定的，即要证明：对于任意一组不全为零的实数都有>。事实上，令，代入（2）的右端，就得对应的一组值，这就是说因为可逆，就有所以当是一组不全为零的实数时，也是一组不全为零的实数。显然 >。即经过非退化的线性替换正定性保持不变。从而，设二次型经过非退化的线性替换变成标准型 （4） 则正定当且仅当（4）正定，而二次型（4）是正定的当且仅当>，即正惯性指数为。定理5说明，正定二次型的规范型为 （5）而二次型（5）的矩阵是单位矩阵，这说明正定二次型的实对称矩阵合同于单位矩阵定义5 实对称矩阵称为正定的，如果二次型 正定。所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同。因此，推论 正定矩阵的行列式大于零。为了能直接从二次型的矩阵来判断这个二次型是不是正定的，而不是通过把二次型化成规范型来判断，我们需要引入子式的定义：定义6 子式， 称为矩阵的阶顺序主子式。定理6 实二次型是正定的充要条件为矩阵的顺序主子式全