矩阵的加法及其运算规律

1、矩阵的加法及其运算规律矩阵的加法及其运算规律数与矩阵相乘及其运算规律数与矩阵相乘及其运算规律矩阵与矩阵相乘及其运算规律矩阵与矩阵相乘及其运算规律矩阵的转置及其运算规律矩阵的转置及其运算规律方阵的行列式及其运算规律方阵的行列式及其运算规律共轭矩阵共轭矩阵2 矩阵的运算矩阵的运算下页关闭 元素的运算及运算规律是代数研究的一元素的运算及运算规律是代数研究的一个主要问题，矩阵作为一个新的元素，本节定个主要问题，矩阵作为一个新的元素，本节定义了相关的各种运算，以方便用矩阵解决问题。义了相关的各种运算，以方便用矩阵解决问题。.221122222221211112121111 mnmnmmmmnnnnbab

2、abababababababaBA 注意注意：只有两个：只有两个同类型同类型的矩阵才能的矩阵才能相加相加。矩阵的加法及其运算规律矩阵的加法及其运算规律定义定义2 2 设有两个设有两个nm 矩阵矩阵),(),(ijijbBaA 那么那么矩阵矩阵A 与与 B 的和的和记作记作,BA 规定为：规定为：上页下页返回加法加法运算满足下列运算满足下列运算规律运算规律（设（设A、B、C 都是都是nm 矩阵）：矩阵）：;. )1(ABBA ).()(. )2(CBACBA 设矩阵设矩阵),(ijaA 记记),(ijaA A 称为称为 A A 的的负矩阵负矩阵。. 0)( AA规定规定矩阵的减法矩阵的减法为为)

3、.( BABA 显然，显然，上页下页返回.212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 数与矩阵相乘及其运算规律数与矩阵相乘及其运算规律定义定义3 3的乘积记作的乘积记作与矩阵与矩阵数数A A 或或, A规定为：规定为：数与矩阵的乘积数与矩阵的乘积满足下列满足下列运算规律运算规律（设（设 A、B 为为nm 矩阵矩阵:),是是数数 );()(. )1(AA ;)(. )2(AAA .)(. )3(BABA 上页下页返回注意：注意： 矩阵的相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵矩阵的相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的的线性运算。线性运算。上页下页返回nnnniniinnnnniniina

4、aaaaaaaaaaaaaaaaa212111211212111211 .212222111211212222111211 mnmmnnmnmmnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 例例 9036A设设 30123A则则 3012330123549-0362而而上页下页返回 设有两个设有两个线性变换线性变换)3(,32322212123132121111 xaxaxayxaxaxay)4(.,232131322212122121111 tbtbxtbtbxtbtbx矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘若想求出从若想求出从21,tt到到21, yy 的线性变换，可将的线性变换，可将(4)(4)式式代

5、入代入(3)(3)式，便得：式，便得：上页下页返回)5(.)()(,)()(232232222122113123212211212232132212121113113211211111 tbababatbababaytbababatbababay 线性变换（线性变换（5 5）可以看着是先作线性变换（）可以看着是先作线性变换（4 4）再作线性变换（再作线性变换（3 3）的结果。称线性变换（）的结果。称线性变换（5 5）为线）为线性变换（性变换（3 3）与线性变换（）与线性变换（4 4）的）的乘积乘积。相应地，把。相应地，把线性变换（线性变换（5 5）所对应的矩阵定义为（）所对应的矩阵定义为（3

6、3）、（）、（4 4）所）所对应的对应的矩阵的乘积矩阵的乘积，即：，即： 323122211211232221131211bbbbbbaaaaaa.322322221221312321221121321322121211311321121111 babababababababababababa上页下页返回)6(), 2 , 1;, 2 , 1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiij 定义定义4 4设设)(ijaa sm )(ijbB ns 是一个是一个矩阵，矩阵，是一个是一个矩阵，那么规定矩阵，那么规定矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的乘积的乘积nm 的矩阵的矩阵

7、),(ijcC 其中其中是是一个一个并把此并把此乘积乘积记作记作.ABC 上页下页返回 ijskkjiksjisjijisjjjisiicbababababbbaaa 122112121,上页下页返回 itsiisiisiitiiiiiitiiiiiitiisiiibabababababababababbbaaa1122212121112121,注：注：.列列的的乘乘积积的的第第 jB行行与与的的第第就就是是元元的的iAci,jCABij)( 矩阵乘积矩阵乘积 mnmmsaaaaaa2111211 snsnnbbbbbb1221111isiiaaa21sjjjbbb21,12211 skkji

8、ksjisjijiijbabababac上页下页返回 必须必须注意注意：只有当第：只有当第 1 1 个矩阵（左矩阵）的个矩阵（左矩阵）的列列数数与第与第 2 2 个矩阵（右矩阵）的个矩阵（右矩阵）的行数相等行数相等时才能相乘。时才能相乘。列列smsmmssaaaaaaaaa 212222111211行行sbbbbbbbbbsnssnn 212222111211上页下页返回 43110231101420121301BA与与的乘积的乘积 AB AB 。例例4 4 求矩阵求矩阵其乘积其乘积 AB = = C 是一个是一个 2 23 3 的矩阵。的矩阵。解解因为因为 A 是是 2 24 4 矩阵，矩阵

9、，B是是 4 43 3 矩阵，矩阵，A 的的列数列数与与 B 的的行数相等行数相等， 所以所以 A 与与B 可以相乘。可以相乘。上页下页返回 43110231101420121301ABC 42103102320011121220)1(1424)1(1330013)1(0310111)1(23)1(041.1199129 注意：注意：由于由于 B 的列数是的列数是3，而，而 A 的行数是的行数是2，因此因此 BA 没有意义。没有意义。上页下页返回.63422142BAABBA与与的乘积的乘积与与 例例5 5 求矩阵求矩阵解解 ;168321663422142 AB.000021426342 B

10、A上页下页返回 由例由例4和例和例5知，一般情况下，知，一般情况下， AB有意义，有意义，BA不不一定有意义，即使一定有意义，即使BA有意义，也不一定有有意义，也不一定有AB= =BA ，即矩阵的即矩阵的乘法乘法不满足不满足交换律交换律。 例例5还表明，由还表明，由AB =AC不能推出不能推出B =C，并且，并且AB =0也不能说明也不能说明A=0或或B=0，即矩阵的，即矩阵的乘法乘法不满足不满足消去消去律律。上页下页返回矩阵乘法的运算规律矩阵乘法的运算规律 矩阵的乘法满足下列运算规律（假设运算都是矩阵的乘法满足下列运算规律（假设运算都是可行的）：可行的）：);()(. )1(BCACAB )

11、;()()(. )2(BABAAB .)(,)(. )3(CABAACBACABCBA 对于单位阵对于单位阵E，容易验证，容易验证.nmnnmnmmAEAAE 或简写成或简写成EA = AE = A上页下页返回由于矩阵乘法由于矩阵乘法不满足交换律不满足交换律，所以一般来说，所以一般来说矩阵的矩阵的 n 阶方阵的乘幂阶方阵的乘幂定义定义111121,AAAAAAAAkk 其中其中 k 是是整数整数。注意注意：只有：只有方阵方阵才有乘幂的概念。才有乘幂的概念。乘幂满足下列乘幂满足下列运算规律运算规律：,()klk lklklA AAAA其中其中 k , ,l 为正整数。为正整数。.)(kkkBAA

12、B .)()(222BAABABAB 例如例如上页下页返回第第1 节例节例2中有一个四城市间单向航线矩阵中有一个四城市间单向航线矩阵A，,0101001000011110 A 11200001111001122A有有),(2ijbA 记记ijb则则为从为从 i 市经一次中转到市经一次中转到 j 市的单向市的单向航线条数。航线条数。由由上页下页返回例如例如 11200001111001122A, 123 b显示从显示从市经一次中转到市经一次中转到市的单向市的单向（）, 242 b显示从显示从市经一次中转到市经一次中转到市的单向市的单向航线有航线有1条。条。航线有航线有2条。（条。（ ， ）, 0

13、33 b显示显示市没有双向航线。市没有双向航线。上页下页返回上节例上节例3中的线性变换中的线性变换)2(,221112222121212121111 nmnmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay利用矩阵乘法，可记作利用矩阵乘法，可记作.AXY 其中其中 mnijyyyyxxxXaA2121,上页下页返回Ex.3 .4332 yxyx计计算算 yxyxyx4332原原式式解解 1802430212计算计算Ex.5 432089081原式原式解解.133289 .46222yxyx 上页下页返回 定义定义5 5 把矩阵把矩阵A的的行行换成同序数的换成同序数的列列得到一个得到一个新矩

14、阵，叫做新矩阵，叫做A的的转置矩阵，转置矩阵，记作记作AT。,113021 A转置转置矩阵是矩阵是.101231 TA矩阵的转置及其运算规律矩阵的转置及其运算规律矩阵转置矩阵转置满足以下满足以下运算规律运算规律： ;. )1(AATT ;. )2(TTTBABA ;. )3(TTAA . )4(TTTABAB 例如矩阵例如矩阵 上页下页返回 skkijkijbac1, skkijkskjkkiijbaabd11,我们只证明我们只证明(4)(4)。 ,nmijnsijsmijcCABbBaA 记记设设.)(mnijTTdAB 于是按公式（于是按公式（6），有），有 ,11TjsjTsiiTaaj

15、AbbiB列列为为的的第第行行为为的的第第而而因此因此), 2 , 1;, 2 , 1(mjnicdjiij 所以所以.)(,TTTTABABCD 亦即亦即即即上页下页返回设设A为为n 阶阶方阵方阵，如果满足，如果满足即即,AAT ),2, 1,(njiaajiij 则称则称A为为对称阵对称阵。 对称阵的对称阵的特点特点是：它的元素以主对角线为对称轴是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。对应相等。 另外，只有方阵才有另外，只有方阵才有“对称对称”的意义。的意义。上页下页返回,102324171,231102 BA例例6 6解法解法1 1 因为因为,1013173140102324171231

16、102 AB所以所以.1031314170)( TAB.)(TAB求求已知已知上页下页返回解法解法2 2 因为因为.1031314170213012131027241)( TTTABAB,102324171,231102 BA所以所以上页下页返回例例7 .,2, 1),(21EHHHXXEHnEXXxxxXTTTTn 且且是是对对称称阵阵证证明明阶阶单单位位矩矩阵阵为为满满足足设设列列矩矩阵阵.,:22221阶阶方方阵阵是是而而也也就就是是一一个个数数是是一一阶阶方方阵阵注注意意nXXxxxXXTnT TTTXXEH)2( 证证所以所以H是对称阵。是对称阵。,2)(2HXXEXXETTTT 上

17、页下页返回22)2(TTXXEHHH )(44TTTXXXXXXE TTTXXXXXXE)(44 .44EXXXXETT 上页下页返回 定义定义6 6 由由 n 阶方阵阶方阵A的元素所构成的行列式的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵（各元素的位置不变），叫做方阵A的行列式，记作的行列式，记作| |A| |或或 det A。 方阵的行列式及其运算规律方阵的行列式及其运算规律 由由 A 确定的确定的 | |A| | 这个运算满足下列运算法这个运算满足下列运算法则（设则（设A、B为为 n 阶方阵，阶方阵，为数）：为数）：;. )1(AAT ;. )2(AAn . )3(BAAB 只证只

18、证 ( 3 )。上页下页返回设设A=（aij），B=（bij），记，记 2 2n 阶行列式阶行列式,011011111111BEAbbbbaaaaDnnnnnnnn 由第一章例由第一章例10 10 可知可知 D =|=|A|B| |。上页下页返回都加到第都加到第 n+ +j 列上（列上（j = 1, 2, = 1, 2, , , n ) )，,0ECAD ,2211innjijijijijabababccC 其其中中.ABC 故故而在而在 D 中以中以 b1j 乘第乘第 1 1 列，列， b2j 乘第乘第 2 2 列，列， ，bnj 乘第乘第 n 列，列，有有上页下页返回CAEDn0)1( 于是有于是有D= =（-1-1）n|-|-E|C| = (-1)| = (-1)n(-1)(-1)n| |C| = | = |A|B|.|.所以所以 | |AB| = | = |A|B| |。再对再对D作作行变换行变换,0ECAD 有有), 2 , 1(njrrjnj 上页下页返回).(),(,3021AffE