矩阵初等变换

1、 从上到下从左到右 从下到上从右到左jriririrjrkkkkk0mnmmnnaaaaaaaaa212222111211初等行变换c1cl000022211211mnnnaaaaaa = c1cl 11a 22a mna其中第i步使用第一型初等行变换时，取=-1，使用第二型初等行变换时，ci=1/k使用第三型初等行变换时，ci=1 （i=1，2l）273342731 解：273342731131232rrrr232017100731235/1rr 10/1960017100731=10/196101=196。2 求矩阵的逆求矩阵的逆一般格式：经过一系列的初等行变换把n级可逆矩阵A与n级单位矩

2、阵E所组成 n2n的矩阵（A E）中的A化为单位矩阵，则E化为A-11AEAE初等行变换这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。121011322解： 11011002134001001110012101001100132212212rrrr 4611003510103410014611001101101201014611001101101201010213401101100100113231323213214rrrrrrrrrrr4613513411A100010001461351341121011322验证：

3、 3 求矩阵的秩求矩阵的秩一般格式：将mn矩阵经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵初等行变换 行阶梯形矩阵B例3 求矩阵 815073131223123的秩 A其中B中非零行数即为矩阵A的秩，记作r（A）。 00000591170144311727332105911701443181507313121443181507313122312323131221372rrrrrrrr由于B中有2个非零行，所以r（A）=2。4 求线性方程组的解求线性方程组的解一般格式:(1)齐次线性方程组AX=0，A是mn矩阵 1对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，求出r(A)。若r(A)=n，则AX=0，只

4、有零解；若r(A)n， 则AX=0有非零解，转入2 2对阶梯阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵，写出其对应的线性方程组，以非零行首个非零元对应的k个未知量为基本未知量，其余的n-k个未知量为自由未知量，将自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分别令自由未知量中一个为1，其余全为0，求得AX=0的基础解系：X，X，Xn-kn-k0n-k2n-kn-k12n-kn-k0n-k089514431311311B000004/ 14/ 72/ 31011311000004/ 14/ 72/ 3104/ 54/ 32/ 301004145104743012323214321ccxxxxx =

5、，其中21,cc为任意常数。 0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx 例4 求解非齐次线性方程组 一般格式：设向量组为12m，以12m为列构成矩阵A，对A施行 初等行变换，将它化成行阶梯形矩阵，求出其秩r（A），若r（A）=m， 则12m线性无关，若r（A）m，则12m线性相关。例5 已知a1=1,1,1T,a2=0,2,5T,a3=1,3,6T,讨论a1,a2,a3的线性相关性。解：计算以向量组成的矩阵的秩6513211011312rrrr550220101 23325/12/1rrrr 000220101r(A)=23=向量个数，所给向量组是线性相关的。6 确

6、定一向量能否由另一向量线性表出确定一向量能否由另一向量线性表出一般格式：以向量组12m与向量为列构成矩阵A，然后对A施行初等 行变换，化为行最简形矩阵BBm行最简形矩阵初等行变换21A 看B的最后一列能否由前面各列表出。12T12 解：以为列构成矩阵，并对它施行初等行变换，化为行最简形矩阵12 000000110301440770220141141453121242242321214131241474/123rrrrrrrrrrrrrrr故： 127 求向量组的秩与极大无关组求向量组的秩与极大无关组一般格式：设向量组12m，以它们为列构成矩阵ABm行阶梯形矩阵初等行变换21AB的非零行的首个元

7、素所在的列向量对应的12m中的向量i1ir构成一个极大无关组，其向量的个数即为向量组12m的秩。 T4T5T解：将已知向量为列构成45的矩阵A，并对它施行初等行变换 000001100021110313110000021110110003131100000102012031131311321312rrrrrrA故1，2，4为该向量组的一个极大无关组，该向量组的秩为3。一般格式：已知向量组12m与12s，分别以12m与 12s 为列构成矩阵A与矩阵B，即A=（12m）， B= （12s），令矩阵C=（A，B），对矩阵C施行初等行变换初等行变换由D可求得r（A），r（B），r（C），若r（A）=

8、r（B）= r（C），则向量组12m与12s等价，否则，它们不等价。行阶梯形矩阵DC例8 判断向量组1=（1，2，-1，5）,2=（2，-1，1，1）和向量组1=（4，3，-1，11），2=（4，3，0，11）是否等价解：以1，2，1，2为列构成矩阵A和B，令C=（A B），然后对它施行初等行变换00001000111044219990433055504421111115011133124421ABC12129 求向量空间中向量在一组基下的坐标求向量空间中向量在一组基下的坐标一般格式：设12n是n维向量空间Rn的n个向量，是Rn中的一组基， 以12n，为列构成矩阵A，若可以对A施行初等行变换，

9、 将它变成如下形式： nnnxxEA121初等行变换 其中En是n阶单位阵，则12n是Rn的一组基，且在基12n下的坐标为 nxxx21 43424143432433234141312)4/1(2)2/1()2/1(14000011000101011111122000220002020111110022002020122001111111111111112111111111rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrA 4/110004/101004/100104/500014/110004/101004/100104/501112131rrrr所以，在1，2，3，4下的坐标就是（5/4，1

10、/4，-1/4，-1/4）T341T2T3T4T1234BA00000000321023011111333355111412初等行变换由矩阵B可知，1，2是向量组1，2，3，4的极大无关组所以 dim L（1，2，3，4）=2 1，2是L（1，2，3，4）一组基。 1BA00002100101010011110111010010011初等行变换 1212211110是 1212的一组基。 12 求从一组基到另一组基的过渡矩阵求从一组基到另一组基的过渡矩阵一般格式：已知n维向量空间V的两组基分别为 12n与12n，以 12n与12n为列构成矩阵M，对M施行初等行变换，使它变为如下形状：M= （12n 12n） 初等行变换 （E A） 上式中的A即为从基12n到基12n的过渡矩阵例12 设1=（1，0，1）T，2=（2，1，0）T，3=（1，1，1）T1=（1，2，-1）T，2=（2，2，-1）T