2015年全国高中数学联赛江西省预赛试题及解答(同名23059)

1、2021年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题1、 假设三位数n abc是一个平方数，并且其数字和a b c也是一个平方数，那么称n为 超级平方数，这种超级平方数的个数是 .2、 函数y8x x214x x2 48的最大值是 .3、直线I过点M(1,2)，假设它被两平行线4x 3y 10与4x 3y 60所截得的线段长为.2，那么直线I的方程为.1 灵4、00 .sin 10 cos105、 满足 Jx2 x的实数x的取值范围是 .6、假设实数 x, y, z 0,且 x y z 30, 3x y z 50 ,那么 T 5x 4y 2z 的取值范围是.7、 在前一万个正整数构成的集合1,2

2、,川,10000中，被3除余2，并且被5除余3,被7除余4的元素个数是 .8、如图，正四面体ABCD的各棱长皆为2 , A1,B1,G分别是棱DA,DB,DC的中点，以D为圆心，1为半径，分别在面DAB , DBC内作弧A1B1 , B1C1 ,并将两弧各分成五等分, 分点顺次为 A1,R,F2,P3, R,B1 以及 B1,Q1,Q2,Q3,Q4,G ,一只甲虫欲从点 P出发，沿四面体外表爬行至点Q4，那么其爬行的最短距离为.二、解答题29、正整数数列 an满足：a1 2, an 1 a. 务1 ；证 明：数列的任何两项皆互质.10、 25分H为锐角三角形 ABC的垂心，在线段CH上任取一点

3、E ,延长CH到F，使HF CE，作FD BC，EG BH，其中D,G为垂足，M是线段CF的中点，Oi,O2分别为 ABG, BCH的外接圆圆心,证明：1、A,B, D,G四点共圆；2、0!,02,M , N四点共圆；2 2 211、对于任意给定的无理数 a,b及实数r 0，证明：圆周 x a y br2上至多只有两个有理点纵横坐标皆是有理数的点12、从集合 M 1,2,|,36中删去n个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不 是2021的因数，求n的最小值.2021年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答一、填空题1、 假设三位数n abc是一个平方数，并且其数字和a b c也是一个平方数，那么

4、称n为 超级平方数，这种超级平方数的个数是 .答案：13个.解：可顺次列举出：100,121,144,169,196,225,324,400,441,484,529,900,961.2、 函数y. 8x x2, 14x x2 48的最大值是 .答案：2 .3 .解： y 仮(8x) J(x6)(8x) x/8x Vx 丘6,長Vx 6其定义域为6 x 8，当x 6时，此分式的分子最大而分母最小，这时分式的值达最大，其值为2.3 .3、直线I过点M(1,2)，假设它被两平行线4x 3y 1 0与4x 3y 6 0所截得的线段长为.2，那么直线I的方程为 .答案：x 7y 15或者7x y 5.解

5、：设I的方程为y 2 k(x 1)，将此方程分别与4x 3y10 及 4x3y 60 联立，解得交点坐标 A , 5k 8与B 3k 123k 4 3k 43k 410k 83k 4，据AB所设方程，得到4、sin10025k3k 42&，即3k 47y 15或者 7x ycos10所以k17 , k2-，分别代入7答案：4 .3cos10- 30sin 10201 0cos1022sin100 cos10si n30cos10 cos30si n1004-2sin10 0 cos10sin 200sin 205、满足-1 x2 x的实数x的取值范围是答案:解：用图像法：令y J x2，此为单

6、位圆的上半圆，它与直线yx交点J_22，半圆位于交点左侧的图像皆在直线yx上方；或者三角函数代换法:1，令 x cos , 0，那么ysin，由条件式x，平方得2x21,那么 xx cos1，因此6、假设实数x, y, z30, 3x50，那么 T5x4y2z的取值范围是答案：120,130 .解: T5x 4y2z4x 3y30 4x3y因 4x 2y3x y z80,所以T110 (y z),20(3x yz) (xy z) 2(x z)，贝U x z10 ,因x,z非负，于是x10,从而由x yz 30 知，y z 20，得到 T 110(y z)130 ,(当 z 0, x10, y

7、20时取得等号再由4x2y 80 , y 0，那么 x20,所以yz 30x 10，于是T 110 (yz) 120 ,(当 x 20, y0,z10时取得等号，所以120 T7、在前一万个正整数构成的集合1,2,10000中，被3除余2，并且被5除余3,被7除余4的元素个数是答案：95个.解：对于每个满足条件的数 n，数2n应当被3,5,7除皆余1，且为偶数；因此，2n 1应当是3,5,7的公倍数，且为奇数；即2n 1是105的奇倍数，而当n 1,2,川,10000时,2n 1 1,2,川,19999，由于在1,2,川,19999中，共有190个数是105的倍数，其中的 奇倍数恰有95个.8

8、、如图，正四面体ABCD的各棱长皆为2 , A1,B1,G分别是棱DA,DB,DC的中点,以D为圆心，1为半径，分别在面DAB , DBC内作弧A1B1 , B1C1，并将两弧各分成五等分,分点顺次为 A1,R,F2,P3, R,B1 以及 BgQQQQ，Q4，那么其一只甲虫欲从点p出发，沿四面体外表爬行至点爬行的最短距离为.答案：2sin 420 .解：作两种展开，然后比拟;由于AB1被A1,P,P2,Pj,P4,B1分成五段等弧，每段弧对应的中心角各为 120, BQ被B1,Q1,Q2,Q3,Q4,C1分成五段等弧，每段弧对应的中心角也各为120,假设将 DBC绕线段DB旋转，使之与 DA

9、B共面，这两段弧均重合于以 D为圆心，半 径为1的圆周，PQ4对应的圆心角为8 120 96，此时，点R,Q4之间直线距离为2sin48 ,假设将 DAB绕线段DA旋转， DBC绕线段DC旋转，使之皆与 DAC共面，在所 得图形中，RQ4对应的圆心角为7 120 840，此时，点R,Q4之间直线距离为2sin 42。,所以最短距离是2sin 42.、解答题9、正整数数列2an满足：a1 2, an 1 an an 1 ；证明：数列的任何两项皆互质.证：改写条件为 an 1 1 an(an 1)，从而an 1 an 1(an 1 1)，等等，据此迭代得 an 11 anan1(an 11)ana

10、n 1an 2(an21) III anan J|a1(a11) anan |a1,所以，an an1ana!1,因此当 kn, (an,aQ 1.10、( 25分)H为锐角三角形 ABC的垂心，在线段CH上任取一点E ,延长CH到F，使HF CE，作FD BC , EG BH，其中D,G为垂足，M是线段CF的中点， 。1,。2分别为 ABG, BCH的外接圆圆心， 0。1,0 。2的另一交点为N ；证明：1、A,B, D,G四点共圆;2、0!,02,M , N四点共圆； 证：1、如图，设EG|DF K，连AH ,那么因 AC BH , EK BH , AH BC ,KF BC，得 CA /

11、EK , AH / KF，且 CH EF ,所以 CAF 也 EKF , AH 与 KF 平行且相等，故AK / HF，MBDO2OiF GKAB 900KDB KGB，因此,A, B,D,G四点共圆；2、据1 ，BK为0 Oi的直径，作0。2的直径BP，连 CP, KP, HP,OiO2，那么BCP BHP 900，所以 CP / AH ,HP / AC ,故AHPC为平行四边形，进而得，PC与KF平行且相等，因此对角线 KP与CF互 相平分于M，从而O1,O2,M是 KBP三边的中点，KM / OQ ,K而由 KNB 900 , O1O2 BN，得 KN / O1O2，所以 M , N ,

12、 K 共线,因此MN / O1O2,又由 KBP的中位线知MO2 O1B O1N ,因此四边形O1O2MN是等 腰梯形，其顶点共圆.2 2 211、对于任意给定的无理数 a, b及实数r 0,证明：圆周 x a y b r上 至多只有两个有理点纵横坐标皆是有理数的点证：对于点 M a,b，用P M,r表示上述圆周上有理点的个数；首先，我们可以作一个合于条件的圆，其上至少有两个有理点，为此，取点A 0,0 , B 2,2，线段AB中垂线I的方程为：x y 2 ,今在l上取点M 1、2, 1、2 ,再取r MA .6 ，那么以M为圆心、r为半径的圆周上至少有 A, B这两个有理点;其次说明，对于任

13、何无理点M以及任意正实数r , P M,r 2 ;为此，假设有无理点 M a,b及正实数r，在以M为圆心，r为半径的圆周上，至少有三个有理点 A备， ,人，为有理数，i 1,2,3，那么X2ay12bX22 ay2b2 2 :X3ay3b2据前寺号得X1X2a %y2b12222-X1y1X2y2据后-寺号得X2X3ay2y3b122222 X2y2X3y3记122 2X %2 2X2y21t1，22X22y2x3 y3t2，那么 t1,t2为有理数，右X1X20 ,那么由,* y2bt1,因b为无理数，得y1y20，故 A1, A2 共点，矛盾！同理，假设X2X30，可得A2, A共点，矛盾

14、!右X1X20,X2X30 ,由、消去ib得，X1X2 y2ya*y2X2X3at1 y2y3t? %y2有理数，因a为无理数，故得，XX2y2*y1y2X2X30,所以yY2 % y2，贝y Ai, A2, A3共线，这与Ai, A2, A3共圆矛盾！X| x2 x3 x2因此所设不真，即这种圆上至多有两个有理点.于是对于所有的无理点 M及所有正实数r ,P M , r的最大值为2 .12、从集合M 1,2,|,36中删去n个数，使得剩下的元素中，任两个数之和都不 是2021的因数，求n的最小值.答案：17 .解：因2021 5 13 31, M中任两个元素之和不大于71，由于2021不大于71的正因数有1,5,13,31,65，在M的二元子集中，元素和为5的有1,4 , 2,3 ;元素和为 13的有 1,12 , 2,11 , 3,10 , 4,9 , 5,8 , 6,7 ;元素和为 31 的有 1,30 , 2,29 , 3,28 , 4,27 , 5,26 , 6,25 ,|, 15,16 ;元素和为 65 的有 29,36 , 30,35 , 31,34 , 32,33 ;为直观起见，我们将其画成一个图， 每条线段两端的数为上述一个二元子集，为了不构成这些和，每对数每条线段中