正弦定理的由来和应用

1、首先看正弦定理的由来，为什么考虑正弦而不是余弦哪？因为余弦的负值因素决定他不能担当此重任。先由特殊的三角形直角三角形中，看边与角有何种关系。在RtABC中，已知BCa ，ACb ，AB ，则有 ASCBcbasin，sin，sin1， 即， ， ， 对于这一关系式在任意三角形中，是否成立呢? 当ABC是锐角三角形时作ADBC与D,在RtADB和RtADC中，有ABCD，即 同理可证 结论：在锐角ABC中， 成立在钝角三角形中同理也可证明，由此可见此定理在三角形中普遍成立。在证明了正弦定理之后,我们来进一步探讨正弦定理的应用.（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同

2、一正数，即存在正数k使a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC；k=2R（R为外接圆半径）（2）等价于 (形式2).我们通过观察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题. 已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如.这类问题由于两角已知,故第三角确定,三角形唯一,解唯一,相对容易已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如此类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示） 一解 两解 一解 一解 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形接下来,我们通过例题

3、评析来进一步体会与总结.【例1】在ABC中，已知A=45°,B=60°,A=5 cm,解三角形.分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,若求边C,再利用正弦定理即可.【例2】在ABC中，已知A=20cm，B=30cm，A=30°，解三角形分析:此例题属于BsinAab的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一步的检验,使学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性. 通过此例题可使学生明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意,可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角

4、形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.【例3】在ABC中,已知A60,B50,A38°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字). 此题体现出了计算器在三角计算中的应用分析:此题属于AB这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除B为钝角的情形.已知B<A,所以B<A,因此B也是锐角.同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于本题,如果没有考虑角B所受限制而求出角B的两个解,进而求出边C的两个解,也可利用三角形内两边之和大

5、于第三边,两边之差小于第三边这一性质进而验证而达到排除不符合题意的解.【例4】在ABC中,已知A28,B20,A120°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字). 此题也体现出了计算器在三角计算中的应用分析:此题属于A为钝角且A>B的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内角和为180°排除角B为钝角的情形.此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角B为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形.【例5】 (2009·辽宁高考)如图，A、B

6、、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)分析：此题为应用问题，是三角问题最终的诠释，体现了数学在生活中的价值。常见的有测量问题，遇险问题，追击问题有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的具体情