电磁感应暂态过程

1、第7章 电磁感应 暂态过程一、目的与要求1掌握法拉第电磁感应定律，能熟练地应用法拉第电磁感应定律计算感应电动势，并能应用楞次定律判断感应电动势的方向。2掌握动生电动势和感生电动势、感生电场的概念、规律和计算方法。3理解自感和互感现象，掌握简单情况下自感系数、自感电动势，互感系数，互感电动势的计算方法。4理解磁场能量的概念，掌握磁场能量的计算方法。5理解位移电流和全电流的概念，了解麦克斯韦方程组积分形式的物理意义。6了解暂态过程中的物理特征，掌握RL、RC串联电路暂态过程的计算方法。二、内容提要1电源电动势2法拉第电磁感应定律3根据产生原因不同，感应电动势可分为（1）动生电动势（2）感生电动势4

2、根据产生方式不同，感应电动势可分为（1）自感电动势：其中为自感系数，是在无铁磁质存在时，与回路中的电流无关，仅由回路的匝数、几何形状和大小以及周围介质的磁导率决定的物理量。（2）互感电动势其中M为互感系数，是在无铁磁质存在时，与回路中的电流无关，仅由回路的几何形状、尺寸、匝数、周围介质的磁导率以及回路的相对位置决定的物理量。5磁能自感磁能磁场能量密度磁场能量6全电流安培环路定理其中为传导电流，为位移电流。7麦克斯韦方程组（1）通量公式： 其中，式中的为高斯面内包围的自由电荷量的代数和。（2）环流公式：8暂态过程（1）LR电路的暂态过程（如图7.1）。接通1当开关K拨向2（2）RC电路的暂态过程

3、（如图7.2）充电时放电时三、例题7-1 一长直导线通有电流I，其附近有正方形线圈。线圈绕轴以匀角速旋转。转轴与导线平行，两者相距为，且在线圈平面内与其一边平行并过中心。求任意时刻线圈中的感应电动势。分析 线圈旋转，穿过线圈所围面积的磁通量随时间变化，线圈中必有感应电动势。用法拉第电磁感应定律求解。解 线圈在转动过程中，通过它的磁通量随时间变化。当线圈转过角度时，通过它的磁通量为式中线圈中感应电动势为说明 用法拉第电磁感应定律解题的关键是求出任意时刻通过线圈的磁通量。7-2 如图所示，金属杆OA在均匀磁场中绕通过O点的竖直轴OZ作匀速率旋转，旋转角速度为，杆OA长，磁感应强度为，方向与OZ一致

4、。试求下列两种情况下OA两端之电势差：（1）若杆OA与OZ轴垂直时，见图（a）所示；（2）若杆OA与OZ轴夹角为时，见图（b）所示。分析 金属杆在稳定磁场中运动，产生动生电动势，因此可用动生电动势公式求解。解 （1）由于杆OA上各处的线速度不同，故在杆上取一线元，其线速度为，离轴的距离为，则。此种情况下，是互相垂直的，所以，此线元的动生电动势为整个金属杆的动生电动势为，说明电动势方向与积分路径一致，即从O指向，说明端电势比O端高。（2）同样，可将杆看作由许多线元组成。任取距O点为l远处长为的一段，由图（b）知，的方向与B垂直，为水平方向，与的夹角为。其中的大小为，所以整个金属杆OA两端的电势差

5、为为正值，说明A端电势比O端高。说明 此题也可将OA补成一回路，用法拉第电磁感应定律求解。7-3 法拉第圆盘发电机是一个在磁场中转动的金属圆盘，如图所示。设圆盘半径，匀强磁场的磁感应强度，转速为时，求盘心与盘边缘之间的电势差。分析 整个圆盘可以看作由许多沿圆盘半径方向的金属细棒（比较确切地说，是许多小的扇形面）组成。当圆盘转动时，每一金属细棒在磁场中运动必产生大小和方向都相同的动生电动势。这些细棒彼此并联，因此盘心与盘边缘之间的电势差的值就等于每一金属细棒两端的电动势。解 取如图所示的一条细棒为研究对象。在距盘心为处取一线元，其速度大小，线元上的动生电动势为盘心与盘边缘之间的动生电动势，表明的

6、方向由指向，即点为低电势，点为高电势。所以，盘心与盘边缘间的电势差为将；，代入上式，得说明 从计算结果知，要提高圆盘发电机的电动势需从增加磁感应强度，提高转速及增大圆盘面积三方面着手。一般来说，圆盘发电机所产生的电动势较小，不太实用。7-4 如图所示，长为的直导线ab，可在光滑水平导轨上运动。导轨左端与直流电源相连接，整个装置处于均匀磁场中。若.2m，T，V，内阻，不考虑摩擦和其它线段的电阻。试求：（1）ab匀速运动时的速度；（2）当ab受向左的阻力N后，它作匀速运动时的速度；（3）ab匀速运动时，阻力作功的功率；（4）分别讨论和时的能量转换关系。分析 本题是包含电磁感应，磁场对电流的作用和牛

7、顿定律等内容的综合性问题。当接通电源后，电源电势在导线中产生电流。该通电导线受磁场力的作用而向右加速运动，由于向右运动使通过回路的磁通量逐渐增加，在回路中产生感应电流，从而使回路中流减小，当速度达到一定值时，回路中流为零，此时匀速运动。解 （1）设匀速运动时的速度为，回路中电流为零，即所以（2）ab在作用下匀速运动的条件是它受到的磁力与阻力大小相等，方向相反。设此时ab匀速运动时的速度为，则回路中的电流为磁力为由得（3）（W）（4）当时，从接通电路到ab开始作匀速运动这段时间内，电源提供的能量一部分转换为内阻上的焦耳热；另一部分转换为导线ab的动能。ab作匀速运动时，电路中无电流，电源不再提供

8、能量。在的情况下，从接通电路到ab开始作匀速运动这段时间内，电源提供的能量一部分转换为内阻上的焦耳热，一部分转换为导线ab的动能，还有一部分用来克服阻力作机械功。以速度匀速运动时，电路中的电流也不为零。电源还得继续提供能量，该能量的一部分转换为内阻上的焦耳热，另一部分用来克服阻力作机械功。说明 此题所述的电能通过磁场这个媒介转换为机械能的过程，就是电动机的工作原理。不论是机械能转换为电能还是电能转换为机械能，都不是直接的，中间必须通过磁场作为媒介。7-5 在半径为R的长直螺线管中有的磁场，如图（a）所示，直导线。求导线ac上的感生电动势。分析 导线ac的ab段处在变化的磁场中，bc段在变化的磁

9、场外，要求导线ac上的感生电动势，可以构造一个闭合回路，使回路上除ac之外，其它部分的感生电动势为零，由法拉第电场感应定律求解。也可先求得空间的有旋电场的分布，进而由直接求解。解法一 用法拉第电磁感应定律求解。如图（a）所示。取闭合回路，其中、均沿半径方向，与有旋电场的方向始终垂直，所以，由法拉第电磁感应定律知其中故，所以其方向与求时的绕行方向相反，即感应电动势由a指向c。解法二 用感生电场力作功的方法求解由于磁场分布具有对称性，因此螺线管内、外的有旋电场线都是以螺线管轴线的点为圆心的同心圆线，且同一个同心圆线上各点的大小相等。在管内，即区域，在垂直于管轴的平面内取以为半径，圆心在管轴上的圆形

10、闭合路径，按逆时针方向进行积分，则由知沿逆时针方向。在管外，即区域，同理可得沿逆时针方向。所以导线ac上的感生电动势为如图（b）所示，对于ab段，设其到螺线管轴线O的距离为h，则其中，所以方向由a指向于b。将，代入上式得令所以方向由指向于。所以，所以其方向为由指向。说明 感生电动势的方向也可由楞次定律判定。7-6 测铁磁质中的磁感应强度。如图所示，在铁磁试样做的环上绕上两组线圈。一组线圈匝数为，与电池相连。另一组线圈匝数为，与一个“冲击电流计”相连（这种电流计的最大偏转与通过它的电量成正比）。设铁环原来没有磁化。当合上电键使中电流从零增大到时，冲击电流计测出通过它的电量为。求与电流相应的铁环中

11、的磁感应强度是多大？分析 将线圈绕在铁环上，铁环会使中的电流产生的磁场大大增强，而且磁场基本上集中在铁芯内部，这时整个铁环就相当于一个由束缚电流组成的螺绕环。中的电流变化，必使铁环中的磁场发生变化，因而线圈中有感生电动势产生。解 以S表示环的截面积，以B表示环内磁感应强度，中的感生电动势的大小为以R表示回路的总电阻，则中的电流为设中的电流增大到需要的时间为，则在同一时间内通过回路的电量为由此得这样，根据冲击电流计测出的电量，就可以算出与相对应的铁环中的磁感应强度。说明 这是常用的一种测量磁介质中的磁感应强度的方法。不同的是，若测量的是顺磁质或抗磁中的磁感应强度时，需在介质圆环上密绕且绕满整个圆

12、环，以防漏磁，从而保证整个圆环内建立的磁场大致均匀。7-7 如图，一长直导线通以交变电流，式中表示瞬时电流，而表示最大电流，是圆频率，和都是常量，在此导线平行地放一长为，宽为的长方形线圈，靠近导线的一边与导线相距为。周围介质的磁导率为。求任一时刻线圈中的感应电动势。分析 导线中电流随时间变化，它激发的磁场也随时间而变化，因此通过线圈的磁通量也随而变化，线圈中有感生电动势，用法拉第电磁感应定律求解。解 先求这一时刻通过线圈的磁通量。由于线圈处于一非均匀场中，所以在线圈上取一面积微元，如图所示，则通过面积元的磁通量为在该时刻通过整个线圈面积的磁通量为故线圈内的感生电动势为即感生电动势随时间按余弦变

13、化。说明 由计算结果可以看出，感生电动势的方向是随时间变化的，每隔时间方向改变一次。7-8 设长为的导体棒在导线框上以速度匀速向右滑动，空间分布均匀的随时间变化的磁场垂直于回路平面，如图所示，且变化率。求导体棒与导线框构成的闭合回路中产生的感应电动势。分析 导体在磁场中运动，导体中的自由电子受洛仑兹力作用，导体中会产生动生电动势，同时由于磁场是变化的，导体中的自由电子又会受到有旋电场的作用而使导体中产生感生电动势。对此情况，可直接用法拉第电磁感应定律求解。解 先规定回路的正回转方向为，则任意时刻通过回路所围面积的磁通量为则由法拉第电磁感应定律知因为，所以，感应电动势沿逆时针方向。说明 从计算结

14、果可以看出，当导体回路在变化磁场中运动时，总的感应电动势等于动生电动势与感生电动势之和。利用这一结论对此题计算，也可得到同样的结论。实际上，上述结果的第一项即为感生电动势，第二项即为动生电动势。7-9 一同轴传输线由两个半径分别为和的薄金属圆筒组成，电流由内筒一端流入，从外筒的另一端流回，如图(a)所示。如果筒间充满相对磁导率为的磁介质，试求这传输线长度的自感。分析 由于电流分布具有轴对称性，所以可以利用安培环路定理很容易求得磁场分布，进而求得长度的磁通量，利用可求得；也可以先求出传输线长度的磁场能量，利用求出。解法一 设电流强度为，由安培环路定理不难知道，磁场仅分布在两金属圆筒之间，且其间的

15、磁感应强度为图(b)中面积的磁通量为因此，自感系数为解法二 由安培环路定理可求得两筒间任一点的磁场强度为式中为该点离轴线的垂直距离。同一点的磁感应强度为则任一点的磁能密度为可以看出只与有关，因此在如图(a)的半径为、厚为、长为的薄金属圆筒状体积内，其是一样的。在此薄层内的磁场能量为这样在长度为的传输线内磁场的能量为由知说明 从计算结果可以看出，自感是一个与电流无关，仅由回路的几何形状和大小以及周围介质的磁导率决定的物理量（无铁磁质存在时）。7-10 一对同轴无限长直空心薄壁圆筒，电流沿内筒流去，沿外筒流回，已知同轴空心圆筒单位长度的自感系数为。（1）求同轴空心圆筒内外半径之比？（2）若电流随时

16、间变化，即，求圆筒单位长度产生的感应电动势。分析 因为圆筒的自感系数与圆筒的大小和形状有关，即必与、有关，找出其关系，即可求得。第二问由自感电动势易得。解 （1）因为而所以故（2）说明 由此题可以推知，若已知电流随时间的变化率，可由求得，这是求自感系数的另一种方法。7-11 如图所示，截面积为，单位长度上匝数为的螺绕环上套一边长为的正方形线圈。现在正方形线圈中通以交变电流，螺绕环两端为开路，试求螺绕环两端的互感电动势。分析 正方形线圈中通以随时间变化的电流，使螺绕环处在变化的磁场之中，螺绕环两端必有互感电动势产生，所以可用互感电动势定义求解。解 设方线圈为线圈（1）、螺绕环为线圈（2）。若在方

17、线圈中通电流，则方线圈中电流的变化在螺线环中引起的互感电动势的大小但是求方线圈对螺线环的互感系数很困难，因方线圈在空中产生的磁感应强度的分布不易确定。但螺线环对方线圈的互感系数很容易求得，若在螺线环中通电流，则螺线环在方线圈中引起的磁通量所以利用可知说明 计算互感系数时，可灵活利用，选择容易求解的一方计算，此题即为一例。7-12 截面为矩形的螺绕环共匝，尺寸如图所示，图中下半部分两矩形表示螺绕环的截面。在螺绕环的轴线上另有一无限长直导线。（1）求螺绕环的自感系数；（2）求长直导线和螺绕环的互感系数；（3）若在螺绕环内通以稳恒电流，求螺绕环内储存的磁能。分析 可用其定义式求解，即先假设螺绕环通有

18、电流，求出螺绕环的磁通量，代入即可。而M也可直接用其定义式求解，即假设长直导线通电I1而求出螺绕环中的磁通量，利用即可求得。（3）中的磁能即为螺绕环的自感磁能。解 （1）设螺绕环中通以电流，由安培环路定理可知在螺绕环内距其中心为处的磁感应强度为通过磁介质截面的磁通量故自感系数（2）当长直导线通以电流时，则由安培环路定理知在距直导线为处的磁感应强度为通过线框的总磁通为故互感系数（3）在螺绕环内通以稳定电流时，其环内储存的磁能为说明 从上面的计算结果可以看出，自感系数和互感系数是与通入的电流无关的物理量（仅对顺磁值和抗磁质而言）。7-13 一无限长的同轴电缆由中心导体圆柱和外层导体薄圆筒组成，二者

19、半径分别为和，筒与圆柱之间充以电介质，电介质与导体的均可取作1，求此电缆通过电流I（由中心圆柱流出，由圆筒流回，电流均匀分布）时：（1）单位长度电缆内储存的磁能；（2）单位长度电缆的自感系数。分析 因为电流分布具有轴对称性，所以很容易用安培环路定理求得磁场分布，进而利用磁场能量公式求得磁能；由于载流系统的能量与自感系数有关，所以也可利用磁能求出自感系数。解 （1）由安培环路定理可求得磁场强度的大小分布为由磁场分布的特点可知，在距轴线为远处磁场大小相同，因而这些位置的磁能密度相同。所以可在圆柱体内取一个长为，半径为和的同轴圆柱薄筒作为体积元，长为的一段电缆中储存的磁场能量为其中所以单位长度内储存

20、的磁场能量为（2）由自感磁能表达式得单位长度电缆中的自感系数为说明 求解磁场能量的一般步骤是先求出磁场强度（或磁感应强度）分布，再求出磁能密度，进而合理选择体积元，利用求出整个磁场的能量。7-14 在真空中有半径的两场圆形金属板，构成平行板电容器，若对电容器匀速充电，使两板间电场的变化率为，忽略边缘效应，试求：两板间的位移电流及电容器内与两板中心连线相距为处的磁感应强度，如图所示。分析 在忽略边缘效应时，平行板间电场可看成是均匀分布的，由这变化的均匀电场产生的位移电流相当于均匀分布的圆柱电流。解 由位移电流及知由于位移电流的分布在两极板间是对称的，磁场具有对称性，可由全电流安培环路定理求解。取

21、垂直于轴线的平面内的以轴为圆心、为半径的圆为积分路径，则的方向与成右手螺旋。说明 当时，此结果表明位移电流产生的磁场是相当弱的。一般只是在超高频的情况下，需要考虑位移电流产生的磁场。7-15 电阻为，电感为的电感器与无感电阻串联后接到恒定电位差上。（1）断开、闭合后任一时刻电感器上电压的表达式是什么？（2）电流稳定后再将闭合，经过秒时通过的电流的大小和方向？分析 断开，闭合后为典型的电路，由其暂态过程的随t变化关系很容易求得电感器两端的电压。而（2）中闭合后，回路是典型的电路暂态过程两种情形中的撤掉电源的情况。解 （1）断开，闭合后，电路中的总电阻为，关系为电感器上的电压为（2）闭合后，一方面

22、是电压V经、的电流；另一方面是电感器、经的放电电流，二者在上的方向相反，有当时，得因前者总比后者数值大，因此通过的电流的方向总与方向相同。在如图的情况，经过的电流为自左至右。说明 在（2）中闭合时，即时，回路中的电流为，即为（1）中在趋于无穷大时的稳定值。而回路中的电阻为，所以。7-16 如图所示电路，求开关接通后60ms时，下列各量：（1）电容器端电压；（2）电容器上电荷增加的速率；（3）电容器内贮存能量的速率；（4）电阻上所消耗的功率；（5）电源所供给的功率。分析 接通后为典型的电路的充电过程。解 因为在电路的充电过程电容器上电量随时间的变化关系为所以（1）毫秒秒，所以（V）（2）由知电容

23、器上电荷增加速率 （C/s）（3）任一时刻电容器内贮存能量为所以其贮存能量的速率为（J/s）（4）电阻上消耗功率 （J/s）（5）电源所供给的功率 （J/s）说明 对有关电路（或电路）的暂态过程的问题，首先是根据基尔霍夫定律列出电量q对时间t（或电流i对时间t）的微分方程，再代入初始条件求解，进而可求出其它各量。但一般情况下只需直接应用已推导出的结论即可。7-17 如图所示电路，电容器已充电，端电压为，当开关接通时，（1）证明电容器中所贮存的能量完全转变为电阻中的焦耳热；（2）说明时间常数的物理意义。分析 此电路为典型的电路的放电过程。解 开关接通，电容器经放电，由基尔霍夫定律知即或解微分方程

24、，代入初始条件，得（1）在时间，电流I经电阻，发热量为电容器放电完毕后，电阻上总的发热量为即放电时，电容器原先所贮存的能量全部转变为电阻上的焦耳热。（2）令时，电路中电流，则时，电路中电流为所以时间常数是电容放电时，电路中电流（或电容端电压）衰减为原来值的38.6%所需的时间。说明 通过上面两道题的计算，可以进一步理解电路的充电和放电过程的物理量是按指数规律变化的，充放电过程的快慢由时间常的大小决定，越大，充电和放电过程越慢。四、习题7.1 如图，设在铁棒上套有两个线圈、，当原线圈中的电流变化时，铁芯中的磁通量也变化，磁力线的正方向如图所示，副线圈有400匝。当铁芯中磁通量在0.1s内增加Wb

25、时，求线圈中平均感应电动势的大小和指向。如线圈的总电阻为，求平均感应电流。7.2 一长直导线，通电流为，在它旁边有一矩形金属框，边长分别为与，电阻为，如图所示，当线圈绕轴转过时，流过的感应电量是多少？7.3 为了探测海洋中水的运动，海洋学家有时依靠水流通过地磁场中产生的动生电动势。假设在某处地磁场的竖直分量为，两个电极垂直插入被测的相距200m的水流中，如果与两极相连的灵敏伏特计指示的电势差，问水流速率多大。7.4 如图所示，在一载流长直导线旁，有一矩形金属框，且以速度向右运动，求线框中图示瞬时位置时的电动势。7.5 如图所示为利用高频感应加热方法加热电子管的阳极，用以清除其中气体的原理求意图。阳极是一个柱形薄壁导体壳，半径为，高为，电阻为，放在匝数为，长为的密绕螺线管的中部，且。当螺线管中通以交变电流时，（1）试求阳极中产生的感应电流；（2）问：怎样提高感应电流产生的焦耳热？7.6 矩形导体回路与无限直导线共面，且