微分几何初步课后答案桓着北京大学

1、2.1 参数曲线1.将一个半径为r 的圆盘在XY 平面内沿X 轴作无滑动的滚动,写出圆盘上一点的轨迹方程（此曲线称为线,or 摆线）.解：设初始位置时,圆盘中心C(0,r) ,考虑点M(0,0) 的轨迹.设CM 转过的弧度为t , C与M 在X 轴上的投影为C 、 M, M 在CC上的投影为N ,则若设M=(x(t), y(t) ,有x(t) =| OC |-| MC |= MC -| MC |= rt - r sin ty(t) =| CC|-| CN |= r - r cos t所以, M = (rt - r sin t, r - r cos t) .2.证明：曲线的切线与某个确定的方向.

2、rrr1证明： r(t) = (3, 6t, 6t ) ,ur2r * (t) =2(1, 2t, 2t ) ,若 r * (t) 与切1+ 2t2C = (c1 , c2 , c3,则rurrur1cos (r * (t), C) = r * (t) C =(c + 2c t + 2c t1+ 2t 2123) a , a 为2c 2 + c 2 + c 2 = 112322则c1 = c3 = a =, c2 = 0 .r所以, r(t) 的切线与(p4222, 0,) 的方向始终2.3.设平面曲线c 与同一平面的一条曲线l 相交于正则点 P ,且落在直线l 的一侧.证明：l 是曲线c 在

3、点 P 的切线.rr证明：设曲线c ： r = r(t) ,点 P 对应t = t0 .rr,记 l I c = r = r(t) | t = t+Vt , t +在 c 与 l 所在 平面内,作 l1 / /lVt.再 作1011 012rrl / /l ,s.t. dist(l , l ) = dist(l, l ) ,记l I c = r = r(t) | t = t+Vt , t +Vt, i = 2, 3, 4,Li-1 iiii0i1 0i 2这样有, l / /l1 / /l2 / /L / /ln / /L, ln l .rrr(t0 +Vtn 2 ) - r(t0 -Vtn1

4、 ) / /l .Vtn1 +Vtn 2rr-rrr(t +V,0tn 2 )r(t0 -Vt )= r (t )由 P 为正则点,可知 r (tn10Vt +Vt0n1n 2rl / /r (t0 ) ,即l 是c 在点 P 的切线.4.证明：若曲线 r(t) 在点 t0 有 x(t0 ) 0 ,则该曲线在 t0 的一个邻域内可表示成 y = f (x) , z = g(x) .证明：因 x(t0 ) 0 ,不妨设 x(t0 ) 0 ,则t0 的一个邻域(t0 ) ,使得 x = x(t) 在(t0 ) 内连续且严格递增.从而在(t0 ) 内x = x(t) 的反函数,设为t = h(x)

5、.所以,在(t0 ) 内,y = y(t) = y(h(x) f (x) , z = z(t) = z(h(x) g(x) .即曲线在t0 的一个邻域内可表示成 y = f (x) , z = g(x) .x2 + y2 + z2 = 1, z 0 的参数方程.5.求曲线x2 + y2 = x x2 + y2 + z2 = 1x + y + z = 1222 11 (x - )2 + y2 =解： x2 + y2 = x2411111令 y =sin t ,则 x =+cos t , z =-cos t , 0 t 0 ,求曲线在指定范围内的弧长：r（1） r(t) = (acht, asht

6、, at) , 0 t b .x（2）悬链线 y = ach, 0, x .ar（3）曳物线r(t) = (a cos t, a ln(sec t + tan t) - a sin t) , 0, t .rr解：（1） r (t) = (asht, acht, a),| r (t) |=a (sh t + ch t +1) =2222acht.rbb s =| r (t) | dt = 2achtdt =2ashb.00rrttt（2） 令x = t,则y = ach, r(t) = (t, ach ), r (t) = (1, sh ).aaar s =| r (t) | dt =1+ sh

7、2 t dt = ash .xxxaa00r1（3） r (t) = (-a sin t, a(- cos t)cos tr1tt s =| r (t) | dt =a2 sin2 t + a2 (+ cos2 t - 2)dt = - a ln cos t.cos2 t00rdr 2. 求下列曲线的切场：dsr（1） 圆螺旋线 r(t) = (a cos t, a sin t, bt), a 0.r（2） r(t) = (cos3 t, sin3 t, cos 2t).r解：（1） r (t) = (-a sin t, a cos t, b)rrr dr = dr dt = dr r 1=1

8、(-a sin t, a cos t, b). a2 + b2| r(t) |dsdt dsdtr（2） r (t) = (-3cos t sin t, 3sin t cos t, -2 sin 2t)22rr dr = r (t) =1(-3cos2 t sin t, 3sin2 t cos t, -2 sin 2t).rds|5sin t cos t | r (t) |x2y2z3.设曲线c 是下面两个曲面的交线：-= 1, x = ach, a, b 0. 求c 从点(a, 0, 0) 到点a2b2a(x, y, z) 的弧长.tta解：令 z = t ,则 x = ach, y = b

9、sharttc 的参数方程为 r(t) = (ach, bsh, t)aart btr (t) = (sh,ch,1)a aara2 + b2 t zazz s =| r (t) | dt =chdt =aa + b sh22a00rr=rr,使得 r(0) = (1, 0, -5), r (t) = (t 2 , t, et ) .4.求曲线 rr(t) rrr11解：由 r (t) = (t , t, e ) 可得 r(t) = ( t ,t , e ) + c , c 为2t32t.32rr当t = 0 , r(0) = (0, 0,1) + c = (1, 0, -5)rc = (1,

10、 0, -6).r11r(t) = ( t +1,t , e - 6).32t322.3 曲线的曲率和 Frenet 标架1.求曲线的曲率：ra ()（1） r= at, a 2 ln t,. a 0tr（2） r=(3t - t3, 3t 2 , 3t + t3 ).（3） r=(a (t - sin t ), a (1- cos t ), bt ).(a 0)（4） r=(cos3 t, sin3 t, cos 2t ).rrrr 2a 2a 2aa解：（1） r (t) = (a, -), r (t) = 0, -t 2,t3 t 2trr = 2a2 2a4 - 2a2, -r (t)

11、 r (t) ,.t 4t3t 2rr (t) r (t) | =2k = | r2t.ra (t 2 +1)23| r (t) |rr (t) = (-6t, 6, 6t ),（2） r (t) = (3 - 3t , 6t, 3 + 3t ), r22rr r (t) r (t) = 8(t -1, -2t, t +1).22rr (t) r (t) | =k = | r13(t 2 +1)2.r| r (t) |3rr （3） r (t) = (a (1- cos t ), a sin t, b), r (t) = (a sin t, a cos t, 0),rr r (t) r (t)

12、 = (-ab cos t, ab sin t, a (cos t -1).2t2rr a b2 + 4a2 sin4(t) r (t) | =k = | r.r33t 2| r (t) |b + 4a sin2222 r（4） r (t) = (-3cos t sin t, 3sin t cos t, -2 sin 2t),22rr (t) = (6 cos t sin t - 3cos t, 6 sin t cos t - 3sin t, -4 cos 2t ),2323rr r (t) r (t) = (12 sin t cos t, -12 sin t cos t, -9 sin t

13、cos t ).233222rr (t) r (t) | =k = | r3.r25 | sin t cos t |3| r (t) |2.求曲线的密切平面方程：（1） r(t)= (a cos t, a sin t, bt ), a2 + b2 0.（2） r(t)= (a cos t, b sin t, et ) ,在t = 0 处,其中 ab 0 .rrrr (t) = (-a sin t, a cos t, b), r (t)= (-a cos t, -a sin t, 0),解：（1） rrr r (t) r (t) = (ab sin t, -ab cos t, a ).2uurr

14、ruurr rr ()()密切平面 X - r g =0,即 X - r r (t) r (t) =0 ,亦即b sin t x - b cos t y + az - abt = 0 .rr （2） r (t) = (-a sin t, b cos t, e ), r (t)= (-a cos t, -b sin t, e ),ttrr r (t) r (t) = (be(sin t - cos t ), ab).(cos t + sin t ), aettuurrruurr rr ()()密切平面 X - r g =0,即 X - r r (t) r (t) =0 ,rrr 当t=0 时,

15、r = (a, 0,1), r= (b, -a, ab). rxy此时,密切平面为 -+ z = 2 .abx + shx = y + sin y= ( x +1) + ln ( x +1) ,在(0, 0, 0) 处的曲率和 Frenet 标架.3.求曲线z + ez解：设曲线的参数方程为：x = x (s ), y = y (s), z = z (s) ,其中 s 是弧长参数,且 s = 0 对应于点(0, 0, 0) .因此函数 x (s ), y (s ), z (s) 满足下列方程组：LL1LL2LL3x + shx = y + sin y= (x +1) + ln ( x +1)z

16、 + ezx&2 + y& 2 + z&2 = 11,2式关于 s 求导得到,LL4LL5x& + chx x& = y& + cos y yx&z& + ez z& = x& +令 s = 0 ,可得到 x& (0) = y& (0) = z& (0) =x +113.urrg333a (0) = r(0) = (,) .3333,4,5 式再关于 s 求导,得x&x& + y&y& + z&z& = 0LL(*)&x& + shx x& + chx &2x& = &y& - sin y y& + cos y &2y&x&2+1)2&z&+ ez z&2 + ez&z&rgg29 112 (

17、 )令 s = 0 ,得到, r 0 =, -. 9 99 rgg) = 6(k =| r0 |,9rgg( )6 6urrurur r 0 6 2 2( )( )( )( )b 0 =, -,g 0= a 0 b 0= -, 0 .rgg66322| r (0) |x2 +y2 +z2 =9在(2, 2,1) 处的曲率和密切平面方程.4.求曲线x2 - z2 =3解： 设曲线的参数方程是 x = x (s ), y = y (s), z = z (s) ,其中 s 是弧长参数,且 s = 0 对应于点(2, 2,1) .因此函数 x (s ), y (s ), z (s ) 满足：LL1LL

18、2LL3x2 + y2 + z2 = 9x - z = 322x&2 + y& 2 + z&2 = 11,2式关于 s 求导,得LL4LL5xx& + yy& + zz& = 0xx& - zz& = 0令 s = 0 ,得到 x& (0) = 1 , y& (0) =- 2 , z& (0) = 2 .333urrg 12 2( )( )a 0= r 0=, -,.33 3 3,4,5 式再求导,得x&x& + y&y& + z&z& = 0&x&+ y& 2 + y&y& + z&2 + z&z& = 0&x& - z&2 - z&z& = 0rgg1111 令 s = 0 ,得到 &x&

19、(0) = 0, &y&(0) =- , &z&(0) =- ( ) r 0= 0, - , -,3333rgg) = r (0)rur (= - 2 - 2 gg) = 2(k =, b 0| r0 | 0, ,rgg322| r (0) |rurur 22 22g (0) =a (0) b (0) = ， ，-.3662 2262( x - 2) +( y - 2) -( z -1) = 0 ,即4x + y - z - 9 = 0 .密切平面：361-e, t, 0 , t - 120t证明：这是一条正则曲线,且在t = 0 处的曲率为0 t 0 t 0r 2- 1t2证明： t 0,

20、r (t) = 0,1,e3trrrt = 0, r + (0) = (0,1, 0), r - (0) = (0,1, 0), r (0) = (0,1, 0).rt, r (t) 0.这是一条正则曲线.r 46 - 1t2t 0, r (t) = 0, 0,-e64ttrrrt = 0, r + (0) = (0, 0,0), r - (0) = (0, 0, 0), r (0) = (0, 0,0).曲线在t = 0 处的曲率为0 .rurr (t) =1 2 e2- 1t 0 时 a=, (t) 0,1, 3 e4 e- 1t2 t1+t6rg (t) = sgn (4 - 6t 2

21、)(1, 0,0)sgn (4 - 6t 2 )ur 0, -e21- 1b (t) =,1tt2 t34t6- 11+eururrt +0,a = (0,1, 0), b = (0, 0,1),g = (1, 0, 0)t -0,a = (0,1, 0), b = (1, 0, 0),g = (0, 0, -1)ururr2.4 挠率和 Frenet 公式1.计算3 习题 1 中各曲线的挠率.ra ()（1） r= at, a 2 ln t,. a 0tr（2） r=(3t - t3, 3t 2 , 3t + t3 ).（3） r=(a (t - sin t ), a (1- cos t )

22、, bt ).(a 0)（4） r=(cos3 t, sin3 t, cos 2t ).rrrr 2a 2a 2aa解：（1） r (t) = (a, -), r (t) = 0, -t 2,t3 t 2tr2 2a6a r (t)= 0， t3, - t 4 rr r r (t), r (t), r (t) 2t 2a (t 2 +1)2t = =r r | r (t) r (t) |2rr (t) = (-6t, 6, 6t ),（2） r (t) = (3 - 3t , 6t, 3 + 3t ), r22r( )=(-6, 0, 6)rt rr r r (t), r (t), r (t)

23、 13(t 2 +1)2t = =rr | r (t) r (t) |2rr （3） r (t) = (a (1- cos t ), a sin t, b), r (t) = (a sin t, a cos t, 0),r(t)= (a cos t, -a sin t, 0)r rr r r (t), r (t), r (t) -bb2 + a2 (cos t -1)2t = =rr | r (t) r (t) |2r（4） r (t) = (-3cos t sin t, 3sin t cos t, -2sin 2t),22rr (t)= (-6 sin t + 21cos t sin t,

24、6 cos t - 21sin t cos t,8sin 2t )3232 rr r r (t), r (t), r (t) t = =8rr| r(t) r (t) |225sin 2trr (t) = (6 cos t sin t - 3cos t, 6sin t cos t - 3sin t, -4 cos 2t ),23232.求3 习题 3 中的曲线在(0, 0, 0) 处的挠率.x + shx = y + sin y解：曲线z + ez= ( x +1) + ln ( x +1)rgr(0) = (rgg 12 3331), r (0) = , -.9,333 9 9原题中的方程组

25、(*) 再求导,得x + &y&2 + y&y&+ &z&2 + z&z& = 0&x& + chx x& + 3s+ chx &x& = &y& - cos y y&3 - 3sin y y&y& + cos y &y&3 ( + 1)( x +1)4&z&+ ez z&3 + 3ez z&z&+ ez&z& = &x&+( x +1)2grgg3 83令 s = 0 ,得到 r (0) = - 813,81 81 rgrgggrgg r (0), r (0), r (0)t (0) = = 1rgg2| r (0) |2rr3.设曲线 r = r(s) 的挠率是非零1 urr,求曲线 r

26、= t b (s) - g (s)ds 的曲率和挠率.rr1 urgrk urk& urk urgurur()1解： r =b - g = -a , r=-a -a =-ka + k b ,2&tttttrurururur ururr1 gg1()()=-k&a + k& a + 2kk& b + k 2 b =-k - ka + kk + 2k b + k tg&3&2rt trr3 r r r rkk 5 = t 2 g , r , r , r= - r rt2 r r r rr r , r , r | r r |t 2k =|t |,t = - k .rrr | r r| r|3|2 1

27、 2 1 2 d=+ ds k 4.证明：满足条件的空间挠曲线或是常曲率的曲线或是球面上的k一条曲线.r1 ur 1 r 1 rtd 1 dd1 d证明：r +b +dskt ds k g = k + ds tds k g 1 2 1 2 d=,故两边对 s 求导,+ ds k 因kd 1 d 1 = 0 1 + 2 1 2 ddk ds k t ds k ds t ds k t两边同数乘 ,2t d 1 + 1 d 1 = 0 1 ddk ds k ds k ds t ds k tkd 1 d 1 d 1 0 时,+= 0 ,从而ds kds t ds kr1 ur 1 rd1 dds r

28、+ k b + t ds k g = 0r1 ur 1 rur ur1 dr + k b + tg = r , r 为.ds k00rur| r - r0 |= c , c 为.即曲线是球面上的一条曲线. 1 = 0 时, k 为,即曲线为常曲率的曲线dds k ur5.试求沿曲线定义的场 r(s) ,使得以下各式同时成立：urgurur urgururrgurra (s) = r (s) a (s), b (s) = r (s) b (s),g (s) = r(s) g (s)ururururr解：因 r(s) 沿曲线定义,可设 r (s) = a(s)a (s) + b(s)b (s) +

29、 c(s)g (s) ,则有ur urgururrurrurkb = a (s) = (aa + bb + cg )a (s) = -bg + cburrugrururrurrur-ka +tg = b (s) = (aa + bb + cg ) b (s) = ag - caurrgururrrurur-tb = g (s) = (aa + bb + cg ) g (s) = -ab + ba a = t , b = 0, c = k r(s) = t (s)a (s) + k (s)g (s)ururr6.证明：（1）若曲线在每一点处的切线都经过一个定点,则该曲线必是一条直线；（2） 若曲

30、线在每一点处的密切平面都经过一个定点,则该曲线必是一条平面曲线；（3） 若曲线在每一点处的法平面都经过一个定点,则该曲线必是一条球面曲线.rrrrgrrur()()证明：（1）设定点为c ,则有 r(s) - c r(s) = 0 ,即 r(s) - c a (s) = 0 .rrrggrrur()()对上式求导,有 r(s) - c r(s) = 0 ,即 r(s) - c kb = 0 .ururrrQa b ,故 r(s) - c = 0 或k = 0 ,总有该曲线是一条直线.rrrr()（2）设定点为c ,则有 r - c g = 0 .rrur()对上式求导,得到-t r - c b

31、 = 0 .rrur()t = 0 或 r - c a = 0 （后一种情况为题 1）,总有该曲线是平面曲线.rrrurrrrg()()（3）设定点为c ,则有 r - c a = 0 ,即 r - c r = 0 ,rrrrr()()d也等价于 r - c r - c = 0 ,即| r - c |= c ,该曲线是球面曲线.dsruuruuruur7.设 r(s);a (s),a (s),a (s) 是定义在曲线 r(s) 上的正交标架场,命123uurduuraids3= l a ,1 i 3 ,证明： l + l = 0 .ijjijjij =1uruurda juuruuruurur

32、dai()证明： 0 = a (s) a (s)=a j +ai = lij + l ji .ijdsds (1+s)3 2 (1- s)32rs8.证明：曲线 r(s)= , -1 s 0) 是定倾曲线的充要样的曲线可以看面上与直母线条件是它的挠率与曲率之比是证明： .rrrr设曲线 r = r(s) , s 为弧参,是一定倾曲线.则$a, s.t. a (s) a = const .对上式求导,得kb (s) a = 0 ,即 b (s) a = 0 (k 0) ,即 b (s) 与一固定方向垂直.urrurrr010-k 2 -t 20tt& ur urgugrg 0 = b , b ,

33、 b = -k= kt& -tk&-k& t = t&k -tk&= 0 ,即 t = const . dds k k 2krgurururgt若= c , c 为k,则g = -tb = -ck b = -ca .urr两边对 s 求积分,得g = -ca + a （ a 为）.urur rur rur r数乘a , 0 = a g = -c + a a ,即a a = c , r(s) 为定倾曲线.2.设t = ck ， c 为。写出这条曲线的参数方程。dts证明：令t(s) =k (s)ds ,则= k (s) .ds0ur durgur a= a ds = burgura = k b

34、dtdtururgurr d burrb = -ka +tg= -a + cg dtrgrurg dgurc= -ck b=- b dturd 2urrururururb=- da + c dgdtdt= -(1+ c2 ) b ,b = A cos 1+ c2 t + B sin 1+ c2 t .dt 2urur2ur2ururQ| b |2 = 1cos2 1+ c2 t A + sin2 1+ c2 t B + 2 AB cos 1+ c2 t sin1+ c2 t = 1ur2 A = 1urur,则 b = - cos 1+ c t, -sin 1+ c t, 0)ur(ur2 A = -e1B = 122可取ururururB = -e2 AB = 0urdurur()r a对dt 11+ c2= b 两边关于t 积