CH2习题课(1)ppt课件

1、CH2随机变量随机变量一维随机变量一维随机变量及其概率分布及其概率分布习题课习题课一、内容小结一、内容小结二、二、习题解答习题解答CH2随机变量随机变量离散型离散型r.v的分布律的分布律连续型连续型r.v的的概率密度概率密度分布函数分布函数的性质的性质 分布律分布律与分布函数与分布函数 的关系的关系概率密度概率密度与分布函数与分布函数的关系的关系r.v及其概率分布及其概率分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布 正态分布正态分布指数分布指数分布均匀分布均匀分布CH2随机变量随机变量1. 重点概念重点概念: 随机变量随机变量, 分布函数分布函数,分布律分布律(离散型离散型),概率密度函数概率密度函数

2、(连续型连续型)。2. 重点公式重点公式:)()( ,)()(xfxFdttfxFx B. 分布函数与概率密度函数之间的转化分布函数与概率密度函数之间的转化(连续型连续型)A. 分布律、概率密度函数的性质：分布律、概率密度函数的性质： .1)(dxxf, 11 kkpCH2随机变量随机变量 A . 二项分布二项分布, X服从服从b(n,p)(), 1 ,0()1(APpnkppCkXPknkkn 其其中中B. Poisson分布分布, X服从服从 ( )(!)1()0(,2,1 ,0,!npkeppCpnkkekXPkknkknk 较较小小：较较大大， 其其它它,0,1)(bxaabxf 0,

3、00,)(xxexfx CH2随机变量随机变量)1 ,0(),(2NXZNX xXPxXPxFX x xexfx,21)(222)( CH2随机变量随机变量)10( ppXp3 3、进行重复独立试验。设每次试验成功的概率为、进行重复独立试验。设每次试验成功的概率为(1)(1)将试验进行到出现一次成功实验为止将试验进行到出现一次成功实验为止, ,以以 的次数的次数, ,此时称此时称服从参数为服从参数为的几何分布。的几何分布。X求求 的分布律。的分布律。X表示所需试验表示所需试验Y次成功为止次成功为止, ,以以的次数，此时称的次数，此时称服从参数为服从参数为的巴斯卡分布。的巴斯卡分布。(2)(2)

4、将试验进行到出现将试验进行到出现r表示所需试验表示所需试验Ypr、求求 的分布律。的分布律。Y ,.2 , 1,)1(1 kppkXPk ,.1,)1(11 rrkppCkXPrkrrk解解:(:(1)1)（k-1k-1次未成功，最后一次成功）次未成功，最后一次成功）(2)(2)（第（第k k次成功，前次成功，前k-1k-1次成功次成功r-1r-1次次. .）CH2随机变量随机变量P70,T5 (2)设设r.vX的分布律为的分布律为: , 2 , 1,32 kbkXPk试确定常数试确定常数b；解：解： kkkkkbkXPP 1113211213232 bb21 b(3)设随机变量设随机变量X的

5、分布律为的分布律为: ;0,2 , 1 , 0,!为为常常数数 kkCkXPkC试试确确定定解：解： 001kkkkXPP!0kCkk 1 eC eC注：不能说因为注：不能说因为X服从泊松分布，所以服从泊松分布，所以 eCCH2随机变量随机变量X 5 , 4 , 3 , 2 , 1,15 kkkXP)(xF;2521)1( XP ;21)2( XP.51)3( F6 6、设随机变量、设随机变量 的分布律为的分布律为其分布函数为其分布函数为，试求：，试求： 212521 XPXPXP51152151 21 XP 21 XPXP51152151 51F051 XP解解: :（1 1）（2 2）（3

6、 3）(2)另解：另解： 21XP 12FF 注：注：如果如果X是连续型随机变量，则是连续型随机变量，则 21XP 12FF 21 XP 1 XPCH2随机变量随机变量8 8、 有甲有甲, ,乙两种味道的酒各乙两种味道的酒各4 4杯杯, ,颜色相同颜色相同. .从中挑从中挑4 4杯便能杯便能将甲种酒全部挑出将甲种酒全部挑出, ,算是试验成功算是试验成功. .(1)(1)某人随机地去挑某人随机地去挑, ,问他试验成功的概率问他试验成功的概率. .(2)(2)某人通过品尝区分两种酒某人通过品尝区分两种酒, ,他连续试验他连续试验1010次次, ,结果成功结果成功3 3次次, ,问此人是否确有品尝区

7、分的能力问此人是否确有品尝区分的能力. .解解: : (1) (1)所求概率为所求概率为:1/ =1/70:1/ =1/7048C(2)(2)假设此人无品尝区分的能力假设此人无品尝区分的能力, ,4733101016.3)7069()701(3 CXP显然显然 X=3X=3是一小概率事件是一小概率事件, ,根据小概率事件根据小概率事件几乎几乎不可不可能发生原理能发生原理, ,可以认为原假设不对可以认为原假设不对, ,故此人有一定品尝故此人有一定品尝区分能力区分能力. .)701,10( bX记记X X为为1010次试验中成功次数次试验中成功次数: :CH2随机变量随机变量1111、有、有101

8、0台机床台机床, ,每台发生故障的概率为每台发生故障的概率为0.08,0.08,而而1010台机床工作台机床工作独立独立, ,每台故障只需一个维修工人排除每台故障只需一个维修工人排除. .问至少要配备几个维修问至少要配备几个维修工人工人, ,才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%5%。)08. 0 ,10( BX个维修工人个维修工人设配备设配备n 100 n解：解：随机变量随机变量X X示发生故障的机床的台数示发生故障的机床的台数, ,则则 则则“有故障而不能及时排除有故障而不能及时排除”事件为事件为: : nX 1011010)92. 0()08

9、. 0(nkkkkCnXP)8 . 0(!1 nkkke 05. 00474. 02 XP 05. 0551. 01 XP2, 31 nn查表查表: : 时时, , 1 n时时, , 所以至少要配备所以至少要配备2 2个维修工人个维修工人. .CH2随机变量随机变量11211)(lim,lim)(limxFAAxxFxxx解法一解法一: (1) 由于连续型随机变量由于连续型随机变量X的分布函数是连续的的分布函数是连续的1 A(2)略略. 111000)(2xxAxxxF求求 : (1)常数常数 A; (2)概率密度函数概率密度函数 ; (3) 20 XPT16T16 设连续型设连续型r.vX的

10、分布函数为的分布函数为: (3) 2020 XPXP 10102 FF 10220211020dxxdxdxxfXP或或AAxdxdxxf 102)(1由由另解：另解：1 A 其其它它,010,2)( )(xAxXFxf注意注意:随机变量的区间与随机变量的区间与f(x)的非零区间的交集才是的非零区间的交集才是有效积分区间有效积分区间.CH2随机变量随机变量T17T17已知已知r.vXr.vX的的概率密度为概率密度为: : 其其它它,0,21,210,)(xxxxxf求其分布函数求其分布函数F(x) .解解: xduufxXPxF)()( 2.1 x0,0 x xxxudu0210,221,)2

11、(110 xduuudux. 2/)2(12x yx12 0CH2随机变量随机变量 0,00,)(xxexfx 解：指数分布的密度函数为解：指数分布的密度函数为X 211818、设随机变量设随机变量服从参数为服从参数为 的的指数分布指数分布, ,确定常数确定常数c,c,使使PXC=PXC= cXPcXP 1 cdxxf)(1 cxdxedx0001 21 ce 2ln cCH2随机变量随机变量X 其他其他, 01000,1000)(2xxxf1919、某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命 ( (以小时计以小时计) )具有以下概率密度具有以下概率密度从中任取从中任取5 5只只, ,求至少取得求至

12、少取得2 2只其寿命大于只其寿命大于15001500小时的概率小时的概率. . 现有一大批此种电子元件现有一大批此种电子元件( (是否损坏相互独立是否损坏相互独立),), 1500)(1150011500dxxfXPXP 150010001000)()(1dxxfdxxf 1500100021000100001dxxdx32 解解: :此相当于此相当于5 5重贝努利试验，用重贝努利试验，用Y Y表示寿命大于表示寿命大于15001500小时的只数小时的只数 1012: YPYPYP则则41155005313231321 CC.243232 CH2随机变量随机变量T20T20 设顾客在某银行的窗口

13、等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分布服从指数分布, 其概率密度为其概率密度为 其它0051)(5/xexfx 某顾客的习惯是某顾客的习惯是,等待时间超过等待时间超过10分钟便离开分钟便离开.现知他一个月要到银现知他一个月要到银 行行5次次,求他未受到服务的次数不少于求他未受到服务的次数不少于1的概率的概率. 分析分析: 顾客一个月内顾客一个月内未受到服务未受到服务的次数记为的次数记为Y， 要求的是要求的是PY 1； “未受到服务未受到服务”的事件的事件A为为X10； 10)(10dxxfXP), 5(2 ebY则则011 YPYP2105/51 edxex5167.

14、0)1(152 eCH2随机变量随机变量10,180 2323、某厂生产的某种建筑材料的强度某厂生产的某种建筑材料的强度X X服从参数为服从参数为的正态分布的正态分布. .一购货方在一大批材料中任取了一购货方在一大批材料中任取了1010件件, , 声称有多声称有多于于2 2件的材料强度低于件的材料强度低于160160便拒绝接收便拒绝接收. .问这批材料被接收的概问这批材料被接收的概率是多少率是多少? ? 0228. 02110180160160 XP2 . 00228. 010 np 32 . 031032 . 03! 32 . 01! 32 . 0131eeYP31 YP9989. 0001

15、1. 01 解：解： 用用 表示材料强度低于表示材料强度低于160160的件数，的件数，YY则则服从参数为服从参数为的泊松分布。的泊松分布。查表得查表得: :所求为：所求为：CH2随机变量随机变量P65T25,28,31P65T25,28,31 盒子里装有盒子里装有3只黑球只黑球,2只红球只红球,2只白球只白球.在其中任取在其中任取4 只球只球,以以X表表 示取到黑球的只数示取到黑球的只数,以以Y表示取到红球的只数表示取到红球的只数. 解解: : (1) Y X 0 1 2 3 0 0 0 3/35 2/35 1 0 6/35 12/35 2/35 2 1/35 6/35 3/35 0 (1)

16、求求X,Y的联合分布律的联合分布律 (2)求求(X,Y)的边缘分布律的边缘分布律 (3)X,Y是否相互独立是否相互独立. (2) X 0 1 2 3 1/35 12/35 18/35 4/35kP Y 0 1 2 1/7 4/7 2/7kP(3) PX=2,Y=1=12/35 PX=2=18/35 PY=1=4/7PX=2PY=1=72/245 12/35=84/245 X与与Y不相互独立不相互独立. P74T30P74T30 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为 (1)求边缘概率密度求边缘概率密度 (2)X,Y是否相互独立是否相互独立. 其其它它,0,10,23),

17、(xyxxxyxf解：解： dyyxfxfX),()( xxXdyyxfxf),()( 其其它它,010,3)(2xxxfX时时10 x232/3xdyxxx 232/3),()(xdyxdyyxfxfxxxxX 解：解：这样做对吗？这样做对吗？xy xy 11-1xy为确定积分限为确定积分限,先画出被积函数不为先画出被积函数不为0的区域的区域 积分变量积分变量y的取值范围与的取值范围与x有关，讨论有关，讨论x固固定定x x后后对对y y求求积积分分! !注注意意取取值值范范围围注意积分限注意积分限CH2随机变量随机变量 dxyxfyfY),()(同理同理14323)(21|yxdxyfyY

18、时时11 y 其其它它且且,01110,)1 (49)()(22yxyxyfxfYX 显然显然 其其它它,011,)1(43)(2yyyfY X与与Y不是相互独立的不是相互独立的.),()()(yxfyfxfYX xy xy 11-1xyCH2随机变量随机变量P72,T26 设设r.v（X，Y）的概率密度为）的概率密度为 其其它它, 00, 0,43yxkeyxfyx求求(1)常数常数k；(2)分布函数。分布函数。解：解：(1)由概率密度函数的性质由概率密度函数的性质 ：dxdyyxf得得1, xy0G dxdyyxf ,1 Gdxdyyxf,dykedxyx 004312121 kk 00)

19、,(dyyxfdx 00),(dyyxfdxCH2随机变量随机变量(2)解：解： dudvvufyxFxy ,120043 xyvudvedu 其其它它, 00, 0,1143yxeeyx 注：注：当我们对概率密度函数积分求分布函数时，一定要当我们对概率密度函数积分求分布函数时，一定要 全面考虑被积函数的定义域。如上题，有的同学只全面考虑被积函数的定义域。如上题，有的同学只 考虑考虑x0,y0与与x0,y0 时时 FY(y)=PX lny= (lny)分析：分析：一维连续型一维连续型r.v函数的分布，分布函数法。函数的分布，分布函数法。CH2随机变量随机变量解解: 由由X,Y相互独立相互独立,

20、 易得易得 (X,Y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1) Pij 1/6 1/3 1/8 1/4 1/24 1/12 X+Y 0 1 1 2 2 3 P67T45 X,Y相互独立相互独立, 求求X+Y的分布律的分布律 X 0 1 2 Y 0 1 Pk 1/2 3/8 1/8 Pk 1/3 2/3 X+Y 0 1 2 3 Pk 1/6 11/24 7/24 1/12CH2随机变量随机变量解解: (X,Y)的联合概率密度函数的联合概率密度函数2222/)(221)()(),(yxYXeyfxfyxf )(22zYXPzZPzFZ 0)(,0 zFzZ时时P76

21、T51P76T51 设设X,Y为相互独立的随机变量为相互独立的随机变量,它们都服从它们都服从 分布分布. 证明证明 的概率密度为的概率密度为22YXZ 其其它它00)(222/2zezzfzZ ), 0(2 N )(,0222zYXPzFzZ时时rdredrz222/200221 222/1 ze )(zfZ 222),(zyxdxdyyxf极坐标变换极坐标变换 GGrdrdrrfdxdyyxf )sin,cos(),(CH2随机变量随机变量P75T46设设X和和Y是相互独立的随机变量，其概率密度为是相互独立的随机变量，其概率密度为 000)(xxexfxX 000)(yyeyfyY 其中其中

22、 0, 0 为常数，求为常数，求X+Y的概率密度的概率密度解解:Z=X+Y的的概率密度概率密度被积函数的非零区域为被积函数的非零区域为 00 xzxzx 0即即 zxzzxzxzdxeedxezf0)(0)()( dxxzfxfzfYXZ)()()(积分得：积分得：xz xzG当当 z0时时 00)()(2zzeeezfzzzYX 0 zCH2随机变量随机变量若求若求 Z=X-Y的的概率密度概率密度f(x,x-z)的非零区域为的非零区域为 00zxx zxx0即即 dxzxxfzfz),()( zxzzzxxzdxeedxezf)()()( 当当 z0时时当当 z0时时 0)(0)()(dxe

23、edxezfxzzxxz ze ze 00)(zezezfzzz (X,Y)的联合分布为的联合分布为 其其它它00, 0),(yxeyxfyx xz xzG0CH2随机变量随机变量例例 在在(0,1)上任意取两个点上任意取两个点,试求两点间的距离的分布函数试求两点间的距离的分布函数. 其其它它其其它它, 010, 1)(, 010, 1)(xxfyyfXY (X,Y)的概率密度函数的概率密度函数 其其它它且且, 01010, 1)()(),(yxyfxfyxfYX令令Z=|X-Y|,则所求为则所求为FZ(z),解解: 设设X为第一个点的坐标为第一个点的坐标, Y为第二个点的坐标为第二个点的坐标, X,Y均服从（均服从（0,1)上的均匀分布上的均匀分布,且且X与与Y相互独立相互独立.CH2随机变量随机变量 zyxZdxdyyxfzF),()(2)1(1zdxdyG 0)( zFZ11010 dydx 1,110,)1(10,0)(2zzzzzFz 其其它它且且,01010 ,1),(yxyxf)(zYXPzFZ ,0时时 z,10时时 z,1时时 zzyx zyx xzz11yGzyx zyx 11xyzzG zyxZdxdyyxfzF),()(CH2随机变量