第九章第7节方向导数与梯度ppt课件

1、第九章第九章 多元函数微分法多元函数微分法 及其应用及其应用 第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则第五节第五节 隐函数的求导公式隐函数的求导公式第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 第九章 第七节第七节方向导数与梯度方向导数与梯度一、问题的提出一、问题的提出二、方向导数的定义二、方向导数的定义三、梯度的概念三、梯度的概念实例：一块长方形的金属板，四

2、个顶点的坐实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在比在(3,2)处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿处有一只蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向即梯度方向爬行向即梯度方向爬行一、问题的提出一、问题的提出l),(zyxP二、方向导数二、方向导数定义

3、定义: : 若函数若函数),(zyxf f 0lim则称则称lf lf ,)()()(222zyx ,cos x,cos y cos z ),(),(lim0zyxfzzyyxxf 在点在点 ),(zyxP处处 ) ) 存在下列极限存在下列极限: : P记作记作 在一些实际问题中，需要研究函数在一些实际问题中，需要研究函数),(zyxfu 在某一点沿任意方向的变化率，因此产生了方向导数。在某一点沿任意方向的变化率，因此产生了方向导数。 ,沿方向沿方向 ( (方向角为方向角为l为函数在点为函数在点 P P 处沿方向处沿方向 的方向导数的方向导数. .l:说明说明在在直直线线上上，且且有有有有约约

4、束束，),(,)1(zzyyxxPzyx coscoscoszyx.0 , 0 , 1),(),(,),()2(1的方向导数的方向导数轴正向轴正向沿着沿着在点在点则是则是存在存在若若 exzyxPzyxfzyxfx.),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf xzyxfzyxxfx ),(),(lim0 ),(),(lim0zyxfzzyyxxf lf xzyxfzyxxfx ),(),(lim0 xf .),(),(,),(),(:32的的方方向向导导数数轴轴正正向向和和轴轴正正向向沿沿着着在在点点则则分分别别是是存存在在若若同同理理ezeyzyxPzyxfzyxfzyxfzy(3)(

5、3)对于二元函数对于二元函数, ),(yxf向角为向角为, , ) ) 的方向导数为的方向导数为方方处处沿沿方方向向在在点点(),(lyxP ),(),(lim0yxfyyxxflf ,)()(22yx )cos.,cos yx:思考思考?,0 , 1),(),(1是是否否存存在在导导数数存存在在的的方方向向轴轴正正向向沿沿在在点点若若xfexyxPyxf 不一定不一定0 , 1)0 , 0(122 eyxz点点处处沿沿在在如如方向导数方向导数, 1)()(lim220 yxlz不存在不存在但但xxxxxzxx 020lim)(limxflf 特别特别: : 有有时时,2,0 有有时时,2,

6、xflf 当当 与与 轴同向轴同向xl 当当 与与 轴反向轴反向lx?:如何求如何求方向导数何时存在方向导数何时存在问题问题,),(),(处处可可微微在在点点若若函函数数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理: : flf 0lim coscoscoszfyfxflf .,的的方方向向角角为为其其中中l 证明证明: : 由函数由函数),(zyxf)( ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf 且有且有)( o 在点在点 P P 可微可微 , ,得得P故故 coscoscoszfyfxf 则函数在该点沿任意方向则函数在该点沿任意方向 的方向导数存在的方向导数存在 , ,l对于二元

7、函数对于二元函数, ),(yxf向角为向角为, , ) ) 的方向导数为的方向导数为方方处处沿沿方方向向在在点点(),(lyxP ),(),(lim0yxfyyxxflf cos),(cos),(yxfyxfyx ,)()(22yx )cos.,cos yxPlxyo sin),(cos),(yxfyxfyx ),(),(lim0yxfyyxxflf 或或,)()(22yx )sin.,cos yx解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向导导数数)4sin(2)4cos( lz.22 解解 sin)1 , 1(cos)1 ,

8、1()1 , 1(yxfflf 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）当当4 时时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当当43 和和47 时时，方向导数等于方向导数等于 0.xd d例例3. 3. 函数函数)ln(22zyxu提示提示: : 31,32,32那那么么cos,cos,cos Axu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0(96(96考研考研) ), ) 1 ,2,2(A

9、B0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21在点在点 处沿点处沿点)1 , 0 , 1(AA指向指向 方向的方向导数是方向的方向导数是 . .)2 , 2, 3( B解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦为：方向余弦为：,142cos ,143cos .141cos ,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuy

10、uxunu)coscoscos( .711 故故三、梯度三、梯度 方向导数公式方向导数公式 coscoscoszfyfxflf 令向量令向量这说明这说明方向：方向：f f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模 : f : f 的最大变化率之值的最大变化率之值方向导数取最大值：方向导数取最大值： zfyfxfG,)cos,cos,(cos0 l),cos(0lGG )1(0 l0lGlf ,0方向一致时方向一致时与与当当Gl:G Glf max一个函数一个函数)y,x(fZ 在点在点),(yxP沿着不同的方向沿着不同的方向l的方向导数是不同的，的方向导数是不同的，1. 1. 定义定义, fadr

11、g即即fadrg同样可定义二元函数同样可定义二元函数),(yxf),(yxP yfxfjyfixff,grad zfyfxf,kzfjyfixf 记作记作(gradient),(gradient),在点在点处的梯度处的梯度 G说明说明: : 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影函数的方向导数为梯度在该方向上的投影. .向量向量2. 2. 梯度的几何意义梯度的几何意义称为函数称为函数 在点在点 处的梯度处的梯度)P(fP函数在一点的梯度垂直于该点等量面函数在一点的梯度垂直于该点等量面( (或等值线或等值线) ,) ,面上的投面上的投在在曲线曲线xoyCzyxfz ),(C)y,x(f:L* 影影

12、称为函数称为函数 f f 的等值线的等值线 . . ,不同时为零不同时为零设设yxff则则L L* *上点上点P P 处的法向量为处的法向量为 Pyxff),(Pfgrad oyx1cf 2cf 3cf )(321ccc 设设P同样同样, , 对应函数对应函数, ),(zyxfu 有等量面有等量面,),(Czyxf 当各偏导数不同时为零时当各偏导数不同时为零时, , 其上其上 点点P P处的法向量为处的法向量为.fgradP, ),(yxfz 对函数对函数指向函数增大的方向指向函数增大的方向. .解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32

13、(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0. 求函数 处的梯度，并问在处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？哪些点处梯度为零？例例5 5 在点在点 yxzyxu2332222 2 , 1 , 1例例6. 6. 函数函数)ln(222zyxu 在点在点)2,2,1( M处的梯度处的梯度 Mugrad)2, 2, 1(,grad zuyuxuuM解解: :,222zyxr 令令那那么么 xu21rx2 注意注意 x , y , z x , y , z 具有轮换对称性具有轮换对称性)2, 2, 1(2222,2,2 rzry

14、rx)2,2,1(92 )2,2,1(92 (92(92考研考研) )例例7 7：求函数：求函数 xzzyyxzyxf ,处的最大方向导数。处的最大方向导数。解：解： 11,0,1 xf 11,0,1 zf 01,0,1 yf kifgrad 1,0, 1在点在点M M1 1，0 0，1 1）处的最大方向导数为：处的最大方向导数为： 21011,0, 1222 fgrad xxf 1,0,同理同理: : xzzyyxzyxf ,在点在点 )1, 0 , 1( M内容小结内容小结1. 1. 方向导数方向导数 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP沿方向沿方向 l (l (方向角方

15、向角), 为为的方向导数为的方向导数为 coscoscoszfyfxflf 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP),的方向导数为的方向导数为 coscosyfxflf 沿方向沿方向 l (l (方向角为方向角为yfxf cos sin2. 2. 梯度梯度 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP处的梯度为处的梯度为 zfyfxff,grad 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP处的梯度为处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx 3. 3. 关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微0gradlflf 梯度在方向梯度在方向

16、 l l 上的投影上的投影. .思考与练习思考与练习1. 1. 设函数设函数zyxzyxf 2),( 12 32tztytx在该点切线正方向对应于在该点切线正方向对应于t t增大的方向的方向导数增大的方向的方向导数; ;的夹角的夹角 . .2. P131 2. P131 题题 1616(1) (1) 求函数在点求函数在点 处沿曲线处沿曲线)1 , 1 , 1(M(2) (2) 求函数在求函数在 处的梯度与处的梯度与(1)(1)中切线方向中切线方向 )1 , 1 , 1(M,yxf(x,y,z)z 2曲线曲线 12 32tztytx1. (1)在点在点),(ttdzd,tdyd,tdxd3411 )1 , 1 , 1(coscoscos zyxMffflf266263026412612 解答提示解答提示:函数沿函数沿 l l 的方