第22章《相似形》复习

1、第第22章章 相似形综合复习相似形综合复习平行线分线段平行线分线段 成比例定理成比例定理线段的比线段的比成比例线段成比例线段比例的基本性质比例的基本性质推推 论论 相似三角形相似三角形相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的性质相似三角形的性质位似图形位似图形1.比例线段比例线段如果四条线段如果四条线段a,b,c,d,且且 ，则，则a、b、c、d四条线段四条线段成比例；反之成比例；反之a、b、c、d四条线段成比例，则有四条线段成比例，则有 。注意顺序注意顺序，若，若 ，则是，则是a、c、b、d四条线段成比例。四条线段成比例。):dcbadcba （或):dcbadcba （或):dbcad

2、bca （或如果如果 ，则，则a、b、c、d叫做组成比例的项，叫做组成比例的项，b、c叫做比叫做比例内项，例内项，a、d叫做比例外项，叫做比例外项，d叫做叫做a、b、c的第四比例项的第四比例项.):dcbadcba （或若作为比例内项的是两条相同的线段若作为比例内项的是两条相同的线段.即即 ，那么线段那么线段b叫做线段叫做线段a、c的比例中项的比例中项.):2acbcbbacbba或是（或（一）比例线段（一）比例线段1.1.下列各组线段的长度成比例的是（下列各组线段的长度成比例的是（ ）2, 3, 4, 1 B. 1.5, 2.5, 6.5, 4.5 2, 3, 4, 1 B. 1.5, 2.

3、5, 6.5, 4.5 C. 1.1, 2.2, 3.3, 4.4 D. 1, 2, 2, 4 C. 1.1, 2.2, 3.3, 4.4 D. 1, 2, 2, 4 3. 3. 已知：线段已知：线段a=2a=2，b= b= 4 ，c= c= 3 ， 求求 a a、 c c 、 b b的第四比例项；的第四比例项；请添加一条线段请添加一条线段x x，使这四条线段是成比例线段，使这四条线段是成比例线段, ,求求x.x.2._82._82的的比比例例中中项项是是与与线线段段的的比比例例中中项项是是与与cmcm2.比例的性质：比例的性质：(1)基本性质：如果基本性质：如果 ，那么，那么 反之也成立，即

4、反之也成立，即:如果如果 ，那么，那么 ):dcbadcba （或)0,(dbbcad)0,(dbbcad):dcbadcba （或dcbaddcbba(2)合分比性质合分比性质:如果如果 ，那么，那么 (3)等比性质等比性质:如果如果 = =k（b+d+n0）, 那么那么 =kdcbanmbandbmca.4.4.填空填空: :32bbabaaba（2）已知）已知 , 则则 ； .5. 若若 ,则则 . )0(753acba（1）已知）已知 4a-3b=0 , 则则 ；baabccba2323.黄金分割黄金分割:线线段段黄黄金金分分割割。把把这这条条）的的比比例例中中项项，就就叫叫做做）与与

5、较较短短线线段段（原原线线段段（）是是中中较较长长线线段段（）分分成成两两条条线线段段，使使其其把把一一条条线线段段（BCABACABACB618. 0215较较长长线线段段较较短短线线段段线线段段本本身身较较长长线线段段（黄黄金金比比）618. 0215ACBCABAC(),_.CABACAB=-=是线段的黄金分割点，较长线段251 则6.4.4.平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例L1ABCDEL2L3L2ABCDEL1L37.如图，如图，ABCD,AB=9,EC

6、=4,AC=6,求求CD的长的长A AD DE EB BC C1.相似三角形的定义：相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。 练习：练习：ABCABCABC,ABC,如果如果BC=3,BC=1.5,BC=3,BC=1.5,那么那么ABCABC与与 ABCABC的相似比为的相似比为_._.（二）相似三角形（二）相似三角形3.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法平行法平行法:判定定理判定定理1, 2, 3.

7、（AA, SAS, SSS）直角三角形相似的判定直角三角形相似的判定.(HL)4.相似三角形的性质相似三角形的性质1.对应角相等，对应边成比例对应角相等，对应边成比例。2 .对应高线比，对应中线比，对应高线比，对应中线比，对应角平分线比对应角平分线比等于等于相似比相似比。3.周长比等于周长比等于相似比相似比，面积比等于，面积比等于相似比的平方相似比的平方。ADE绕点A旋转ACBDADEBCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合ACB为直角为直角CDAB相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾：ABCD1.1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点如果两个相似图形的

8、每组对应点所在的直线都交于一点, , 那那么这样的两个图形叫做位似图形么这样的两个图形叫做位似图形, , 这个交点叫做位似中心这个交点叫做位似中心, , 这这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比. .2.2.位似图形有以下性质：位似图形有以下性质： 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比. 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上3.3.位似图形中不经过位似中的对应线段平行或在同一直线上位似图形中不经过位似中的对应线段平行或在同一直线上. .

9、（三）位似图形（三）位似图形ABCABCOCCBBAAO1 1、 如图如图, ,已知已知:DEBC,EF AB,:DEBC,EF AB,则图中共有则图中共有_对三角形相似对三角形相似. .2 2、 如图如图, ,已知已知: :ABCABC中中, ACB=90, ACB=900 0 ,CD AB ,CD AB于于D,DEBCD,DEBC于于E,E,则图中共有则图中共有_个三角形和个三角形和ABCABC相似相似. .ABCDEF图图(1)EABCD图图(2)._3213组组数数为为，则则图图中中相相似似三三角角形形的的、如如图图，4 4、ABCABC中，中，AC=6AC=6，BC=4BC=4，CA

10、=9CA=9，ABCABCABCABC，ABCABC最短为最短为1212，则它的最长边的长度为，则它的最长边的长度为( ) ( ) A.16 B.18 C.27 D.24 A.16 B.18 C.27 D.24 A AD DB BE EC C13 32 2图图(3)6 6、如图，正方形、如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为8 8，E E是是ABAB的中点，点的中点，点M M，N N分别分别在在BCBC，CDCD上，且上，且CM=2CM=2，则当，则当CN=_CN=_时，时，CMNCMN与与ADEADE相似。相似。EABCDMN7 7、在平面直角坐标系，、在平面直角坐标系，B B（1 1

11、，0 0）, A, A（3 3，3 3）, C, C（3 3，0 0）, ,点点P P在在y y轴的正半轴上运动，若以轴的正半轴上运动，若以O O，B B，P P为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABCABC相似，则点相似，则点P P的坐标是的坐标是_._.yABCxOP5 5、如图、如图, , ABCABC中中,AB=5,AC=4,E,AB=5,AC=4,E是是ABAB上一点上一点,AE=2,AE=2,在在ACAC上上取一点取一点F,F,使使A A、E E、F F为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABCABC相似相似, ,那么那么AF=_AF=_E EA AB BC C.A AP PB BC C

12、8 8、若、若ACPACPABCABC，AP=4AP=4，BP=5BP=5，则，则ACAC=_=_，ACPACP与与ABCABC的相似比是的相似比是_，周长之比是，周长之比是_，面积之比是，面积之比是_。ABCDEF1010、四边形、四边形ABCDABCD中，中， ADBCADBC，ACAC、BDBD交于点交于点O O，若，若AODAOD的的面积为面积为4cm4cm2 2, , BOCBOC的面积为的面积为9cm9cm2 2, , 则四边形则四边形ABCDABCD的面积的面积_cm_cm2 2ABCDO9 9、在平行四边形、在平行四边形ABCDABCD中中, ., .若若S SAEFAEF=4

13、cm=4cm2 2, ,则则S SCDF CDF = = cmcm2 232CDAE1111、如图，、如图，ABCABC与与ABCABC是位似图形，且顶点都在是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是格点上，则位似中心的坐标是 ，位似比是，位似比是 . . 1212、在方格纸中、在方格纸中, ,每个小格的顶点叫做格点每个小格的顶点叫做格点, ,以格点为顶点的以格点为顶点的三角形叫做格点三角形三角形叫做格点三角形. .在如图在如图4 44 4的格纸中的格纸中, , ABCABC是一个是一个格点三角形格点三角形(1)(1)在右图中在右图中, ,请你画一个格点三角形请你画一个格点三角形, ,使

14、使它与它与ABCABC相似相似( (相似比不为相似比不为1)1)(2)(2)在右图中在右图中, ,请你再画一个格点三角请你再画一个格点三角形形, ,使它与使它与ABCABC相似相似( (相似比不为相似比不为1),1),但与图但与图1 1中所画的三角形大小不一样中所画的三角形大小不一样. .13.13.如图如图, ,在在ABCABC和和DEFDEF中中, A=D=70, A=D=700 0, B=50, B=500 0, E=30, E=300 0, ,画画直线直线a,a,把把ABCABC分成两个三角形分成两个三角形, ,画画直线直线b b , ,把把DEFDEF分成两个分成两个三角形三角形,

15、,使使ABCABC分成的两个三角形和分成的两个三角形和DEFDEF分成的两个三角形分分成的两个三角形分别相似别相似.(.(要求标注数据要求标注数据) )300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab200200OP1P2D1D2c1c2b1b2桌面桌面1414、如图、如图, ,在水平桌面上的两个在水平桌面上的两个“E”,E”,当点当点P P1 1,P,P2 2,O,O在一条直线上在一条直线上时时, ,在点在点O O处用处用号号“E”E”测得的视力与用测得的视力与用号号“E”E”测得的视力测得的视力相同相同. .图中图中b b1 1,b,b2 2,c

16、,c1 1,c,c2 2应满足怎样的关系应满足怎样的关系? ?若若b b1 1=3.2cm,b=3.2cm,b2 2=2cm, =2cm, 号号“E”E”测试的距离测试的距离c c1 1=8m,=8m,要使测得的要使测得的视力相同视力相同, , 号号“E”E”测试的距离测试的距离c c2 2应为多少应为多少? ?例例1 1、如图，、如图，CDCD是是RtRtABCABC斜边上的高，斜边上的高，E E为为ACAC的中点，的中点，EDED交交CBCB的延长线于的延长线于F F。求证：。求证：BDCF=CDDFBDCF=CDDFC CE EA AD DF FB B例例2 2、如图、如图,DEBC,E

17、FAB,DEBC,EFAB,且且S SADEADE=25,S=25,SCEFCEF=36.=36.求求ABCABC的面积的面积. .A AB BC CD DE EF F25253636例例3 3、ABCABC为锐角三角形，为锐角三角形，BDBD、CECE为高为高 . . 求证：求证： ADE ADE ABC ABC 例例4 4、如图、如图, ,点点C,DC,D在线段在线段ABAB上上, , PCDPCD是等边三角形是等边三角形. .(1)(1)当当AC,CD,DBAC,CD,DB满足什么关系时满足什么关系时, , ACPACPPDB.PDB.(2)(2)当当ACPACPPDBPDB时时, ,求

18、求APBAPB的度数的度数. .ABCDP D D E E F F A A B BC C G G例例5 5、如图、如图, , 在在ABCABC中中,ACB= 90,ACB= 900 0，四边形，四边形BEDCBEDC为正方形为正方形, AE, AE交交BCBC于于F, FGACF, FGAC交交ABAB于于G. G. 求证求证: FC=FG. : FC=FG. 例例6 6、过、过ABCDABCD的一个顶点的一个顶点A A作一直线分别交对角线作一直线分别交对角线BDBD、边边BCBC、边、边DCDC的延长线于的延长线于E E、F F、G. G. 求证：求证：EAEA2 2 = EFEG .= E

19、FEG .ABCDEFG例例7 7、皮皮欲测楼房高度，他借助一长、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m5m的标竿，当楼房顶部、标的标竿，当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时，其他人测出上时，其他人测出AB=4m,AC=12mAB=4m,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面已知皮皮眼睛离地面1.6m.1.6m.请你帮他算出楼房的高度。请你帮他算出楼房的高度。A AB BC CD DEF F D QABCP1 1、如图、如图, ,边长为边长为4 4的正方形的正方形ABCDABCD中中,P,P是边是边BCBC上的一点上的一点,QPAP,QPAP交交 DCDC于于Q,Q,设

20、设BP=x,BP=x,ADQADQ的面积为的面积为y.y.(1) (1) 求求y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式, ,并求自变量并求自变量x x的取值范围的取值范围; ;(2) (2) 问问P P点在何位置时点在何位置时, ,ADQADQ的面积最小的面积最小? ?最小面积是多少最小面积是多少? ? H HP P D D E E F F G GA AB BC C2 2、如图、如图, ADBC, D, ADBC, D为垂足为垂足, AD=8, BC=10, EFGH, AD=8, BC=10, EFGH是是ABCABC内接矩内接矩形形,(H,(H、G G是是BCBC上的两个动点上的两

21、个动点, ,但但H H不到达点不到达点B, GB, G不到达点不到达点C) C) 设设 EH=x,EF=yEH=x,EF=y (1) (1)求求y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式, ,并求自变量并求自变量x x的取值范围的取值范围; ; (2) (2)当当EF+EH=9EF+EH=9时时, ,求矩形求矩形EFGHEFGH的周长和面积的周长和面积. .A AP PB BC CM MD DN N,的面积最大。的面积最大。何处时，何处时，在在的函数解析式，且点的函数解析式，且点与与，求，求面积为面积为高高中，中，如图，如图，PMNMxyyPMNxBCBMACPMABMNADBCABCD

22、 DD D D D,/,/,10,123 3、E EH HF F（2 2）设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量x x的取值范的取值范围，并求出当围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEAE取得最小值取得最小值4 4、如图、如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的边上的一个动点一个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45（1 1）求证：）求证：ABDABDDCE

23、DCE（3 3）当）当ADEADE是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求AEAE的长的长A AB BC CD DE E1 1x xy y 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45（1 1）求证：）求证：ABDABDDCEDCEA AB BC CD DE E（2 2）设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量

24、x x的取值的取值范围，并求出当范围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEAE取得最小值取得最小值. . 如图如图, ,在等腰在等腰ABCABC中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45A AB BC CD DE E1 1x xy y（3 3）当）当ADEADE是等腰三角形时，求是等腰三角形时，求AEAE的长的长AD=AEAD=AEAE=DEAE=DEDE=ADDE=AD 如图如图, ,在等腰在等腰ABCAB

25、C中中, BAC=90, BAC=90,AB=AC=1,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点( (不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=451 y2x分类讨论分类讨论A AB BC CD DE E1 1x xy y5 5、如图、如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,AB,ABCD,CD, A=90A=900 0,AB=2, AD=5,P,AB=2, AD=5,P是是ADAD上一动点上一动点( (不与不与A A、D D重合重合), PEBP), PEBP，PEPE交交DCDC于点于点E E（）（

26、）ABPABP与与DPEDPE是否相似？请说明理由是否相似？请说明理由；（）设（）设APAPx x，DE=yDE=y，求，求y y与与x x之间的函数之间的函数关系式关系式, ,并指出自变量并指出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3 3）请你探索在点）请你探索在点P P运动的过程中，四边形运动的过程中，四边形ABEDABED能否构成矩形？如果能，求出能否构成矩形？如果能，求出APAP的长；如果不能，的长；如果不能，请说明理由；请说明理由；（4 4）请你探索在点）请你探索在点P P运动的过程中，运动的过程中，BPEBPE能否成为等腰三能否成为等腰三角形？如果能，求出角形？如果能，求出APAP

27、的长，如果不能，请说明理由。的长，如果不能，请说明理由。C CA AB BD DP PE E6 6、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD中中 ADBC ADBC ，ABC=90ABC=90，AD=9AD=9，BC=12BC=12，AB=10AB=10，在，在线段线段BCBC上任取一点上任取一点P P，作射线，作射线PEPDPEPD，与，与线段线段ABAB交于点交于点E.E.（1 1）试确定）试确定CP=5CP=5时点时点E E的位置；的位置；（2 2）若设）若设CP=xCP=x，BE=yBE=y，试写出，试写出y y关于自关于自变量变量x x的函数关系式，并求出自变量的函数关系式，并求出自变量x x的的取值范围取值范围. .提示：体会这个图形的提示：体会这个图形的“模型模型”作用，将会助你快速解题！作用，将会助你快速解题！BCADEPHCEPAD7 7、如图，已知抛物线与、如图，已知抛物线与x x轴交于轴交于A A、B B两点，与两点，与y y轴交于轴交于C C点点. .（1 1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2 2）抛物线上有一点）抛物线上有一点P P，满足，满足PBC=90PBC