第4章_随机变量的数字特征43__协方差及相关系数

1、一、协方一、协方 差与相关系数的概念及性质差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义二、相关系数的意义第三节第三节 协方差及相关系数协方差及相关系数三、小结三、小结1. 问题的提出问题的提出 ,相互独立相互独立和和若随机变量若随机变量YX )(YXD不不相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量YX?)( YXD )(YXD).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、协方差与相关系数的概念及性质一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差协方差那么那么).()(YDXD 22)()(YXEYXE 2.定义定义称称为为随随机机变变量量量量)()(YEYXEXE ),ov(CYX),Cov(YX记为

2、记为.的的协协方方差差与与YX).()(YEYXEXE XY即即而而 )()(),Cov(YDXDYX .的相关系数的相关系数与与称为随机变量称为随机变量YX ),Cov(YX)()(YEYEXEXE . 0 相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量YX)3( )(YXD).()(YDXD 相相互互独独立立和和若若随随机机变变量量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD 3.说明说明 ,)1(协方差协方差的相关系数又称为标准的相关系数又称为标准和和YX)()(2 YEYXEXE )()(YDXD )()(YEYXEXE .个无量纲的量个无量纲的量它是一它是一4. 协方差的计算公式协方差的计

3、算公式 ),Cov()1(YX )()2(YXD证明证明 ),Cov()1(YX)()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE );()()(YEXEXYE ).,Cov(2)()(YXYDXD )()(YEYXEXE )()2(YXD)()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD )()(2YXEYXE 5. 性质性质 ),Cov(YX ),Cov( bYaX ),Cov(21YXX;, 为常数为常数ba , ),Cov(YXab).,Cov(),C

4、ov(21YXYX 2 3 1);,Cov(XY例例1 1 设（设（X，Y）的分布率为）的分布率为, 0)( XE易易知知,25)( YE, 0)( XYE, 0 XY ., 不相关不相关YX., 不存在线性关系不存在线性关系即即YX1, 2 YXP由于由于12 YPXP 0 .,不相互独立不相互独立所以所以YX事实上，事实上，,2XY .的值所确定的值所确定的值完全可由的值完全可由 XYXY41 iXP iYP 212112 1 1204141041410041414141例例2,),(服从二维正态分布服从二维正态分布设设YX它的概率密度它的概率密度为为 ),(yxf 22222121)()

5、(2yyx 21212221)()1(21exp121x.的相关系数的相关系数与与求求YX )(xfX )(yfY解解的边缘概率密度为的边缘概率密度为),(YX,e2121212)(1x , x,e2122222)(2y . y,)(1XE 故故知知,)(2YE .)(22YD ,)(21XD ),Cov(YX而而yxyxfyxdd),()(21 )(12121221yx,1111222 xyt,11xu .ddee2112222121)1(212)(xyxyx 则有则有令令 utututudde )1(212222122122 ),Cov(YX tuutudede22222122 ttuut

6、udede212222122 ,22221 XY )()(),Cov(YDXDYX. 于是于是.),Cov(21YX 即有即有结论结论,)1(中中二维正态分布密度函数二维正态分布密度函数相相关关系系数数为为零零与与二二维维正正态态随随机机变变量量 )2(YX;的的相相关关系系数数与与YX 代表了代表了参数参数.相互独立相互独立与与等价于等价于YX1. 问题的提问题的提出出,应如何选择应如何选择问问ba)(2bXaYEe 设设.的好坏程度的好坏程度近似表达近似表达可用来衡量可用来衡量则则YbXae ,的值越小的值越小当当e, 的的值值确确定定ba二、相关系数的意义二、相关系数的意义?衡衡量量接接

7、近近的的程程度度又又应应如如何何来来?YbaX最接近最接近可使可使 .的的近近似似程程度度越越好好与与表表示示YbXa .达到最小达到最小使使 e)(2)(2)()(2222XabEXYbEaXEbYE , 求偏导数求偏导数分别关于分别关于将将bae 解得解得0b0ae)(2bXaYE ).(2YaE ,并令它们等于零并令它们等于零 得得ae )(2)(22YEXbEa , 0)(2)(2)(22XaEXYEXbE . 0be ,)(),Cov(XDYX .)(),Cov()()(XDYXXEYE ,)(,200中中代代入入将将bXaYEeba eba,min).()1(2YDXY 2. 相关

8、系数的意相关系数的意义义,较较小小较较大大时时当当eXY,较较小小时时当当XY,0时时当当 XY)(200XbaYE 得得.系较紧密系较紧密的线性关系联的线性关系联表明表明YX,.,线性相关的程度较差线性相关的程度较差YX.不不相相关关YX 和和称称)(2bXaYE (1) 不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系3. 注意注意相互独立相互独立不相关不相关(2) 不相关的充要条件不相关的充要条件; 0,1o XYYX不不相相关关; 0),Cov(,2o YXYX不不相相关关).()()(,3oYEXEXYEYX 不不相相关关. 1 XY. 1 bXaYP4. 相关系数的性质相关系数的性质

9、1 2:1的充要条件是的充要条件是 XY使使存在常数存在常数ba,证证. 1 XY亦亦即即 1 2)()(3.4)200YDXbaYE及及式式与与由由 ,的的非非负负性性, 012 XY得得知知式式得得由由若若)4 . 3(1 XY)(200XbaYE . 0 从而从而 0 )(200XbaYE ,)()(20000XbaYEXbaYD 故有故有)(00XbaYD )(00XbaYE . 0 , 0 00XbaYP 0)(00 XbaYP知知又由方差性质又由方差性质 4即即 . 1, 1 ,反之反之使使若存在常数若存在常数 ba ,XbaYP , 1 )(2XbaYE 0)(2 XbaYP0)( XbaYP即即 于是于是即得即得, 1 , 1 . 0 )(min2,bXaYEba )(200XbaYE )(2XbaYE 故有故有0 ).()1(2YDXY . 1 XY即得即得的含义：的含义：XYYXXY,是一个用来表征是一个用来表征 .的量的量之间线性关系紧密程度之间线性关系紧密程度,较大时较大时当当XY;,线性相关的程度较好线性相关的程度较好YX,较小时较小时当当XY.,线性相关的程度较