PCA降维方法(主成分分析降维)_第1页
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文档简介

1、一、简介        PCA(Principal Components Analysis)即主成分分析,是图像处理中经常用到的降维方法,大家知道,我们在处理有关数字图像处理方面的问题时,比如经常用的图像的查询问题,在一个几万或者几百万甚至更大的数据库中查询一幅相近的图像。这时,我们通常的方法是对图像库中的图片提取响应的特征,如颜色,纹理,sift,surf,vlad等等特征,然后将其保存,建立响应的数据索引,然后对要查询的图像提取相应的特征,与数据库中的图像特征对比,找出与之最近的图片。这里,如果我们为了提高查询的准确率,通常会提取一些较为复

2、杂的特征,如sift,surf等,一幅图像有很多个这种特征点,每个特征点又有一个相应的描述该特征点的128维的向量,设想如果一幅图像有300个这种特征点,那么该幅图像就有300*vector(128维)个,如果我们数据库中有一百万张图片,这个存储量是相当大的,建立索引也很耗时,如果我们对每个向量进行PCA处理,将其降维为64维,是不是很节约存储空间啊?对于学习图像处理的人来说,都知道PCA是降维的,但是,很多人不知道具体的原理,为此,我写这篇文章,来详细阐述一下PCA及其具体计算过程:二、PCA原理1、原始数据:为了方便,我们假定数据是二维的,借助网络上的一组数据,如下:x=2.5, 0.5,

3、 2.2, 1.9, 3.1, 2.3, 2, 1,1.5, 1.1Ty=2.4, 0.7, 2.9, 2.2, 3.0, 2.7, 1.6, 1.1, 1.6, 0.9T2、计算协方差矩阵什么是协方差矩阵?相信看这篇文章的人都学过数理统计,一些基本的常识都知道,但是,也许你很长时间不看了,都忘差不多了,为了方便大家更好的理解,这里先简单的回顾一下数理统计的相关知识,当然如果你知道协方差矩阵的求法你可以跳过这里。(1)协方差矩阵:首先我们给你一个含有n个样本的集合,依次给出数理统计中的一些相关概念:均值:            标准差

4、:    方差:     既然我们都有这么多描述数据之间关系的统计量,为什么我们还要用协方差呢?我们应该注意到,标准差和方差一般是用来描述一维数据的,但现实生活我们常常遇到含有多维数据的数据集,最简单的大家上学时免不了要统计多个学科的考试成绩。面对这样的数据集,我们当然可以按照每一维独立的计算其方差,但是通常我们还想了解这几科成绩之间的关系,这时,我们就要用协方差,协方差就是一种用来度量两个随机变量关系的统计量,其定义为:                 

5、                                                                     从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质,如: 需要注意的是,协方差也只能处理二维问题,那维数

6、多了自然就需要计算多个协方差,比如n维的数据集就需要计算CN2【此乃组合数基本公式】个协方差,那自然而然的我们会想到使用矩阵来组织这些数据。给出协方差矩阵的定义:                                 这个定义还是很容易理解的,我们可以举一个简单的三维的例子,假设数据集有三个维度x,y,z,则协方差矩阵为             

7、            可见,协方差矩阵是一个对称的矩阵,而且对角线是各个维度上的方差。(2)协方差矩阵的求法:协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差,而不是不同样本之间的。下面我们将在matlab中用一个例子进行详细说明:首先,随机产生一个10*3维的整数矩阵作为样本集,10为样本的个数,3为样本的维数。cpp view plaincopy1. MySample = fix(rand(10,3)*50)   根据公式,计算协方差需要计算均值,那是按行计算均值还是按

8、列呢,我一开始就老是困扰这个问题。前面我们也特别强调了,协方差矩阵是计算不同维度间的协方差,要时刻牢记这一点。样本矩阵的每行是一个样本,每列为一个维度,所以我们要按列计算均值。为了描述方便,我们先将三个维度的数据分别赋值:cpp view plaincopy1. dim1 = MySample(:,1);  2. dim2 = MySample(:,2);  3. dim3 = MySample(:,3);  4. %计算dim1与dim2,dim1与dim3,di

9、m2与dim3的协方差:  5. sum( (dim1-mean(dim1) .*(dim2-mean(dim2) ) / ( size(MySample,1)-1 ) %得到  74.5333  6. sum( (dim1-mean(dim1) .* (dim3-mean(dim3) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到 

10、; -10.0889  7. sum( (dim2-mean(dim2) .* (dim3-mean(dim3) ) / ( size(MySample,1)-1 ) % 得到  -10*000  8. %搞清楚了这个后面就容易多了,协方差矩阵的对角线就是各个维度上的方差,下面我们依次计算:  9. std(dim1)2 % 得到   108.3222

11、60; 10. std(dim2)2 % 得到   260.6222  11. std(dim3)2 % 得到  94.1778  12. %这样,我们就得到了计算协方差矩阵所需要的所有数据,调用Matlab自带的cov函数进行验证:  13. cov(MySample)   可以看到跟我们计算的结果是一样的,说明我们的计算是正确的。但是通常我们不用这种方法,而是用下面简化的方法进行计算:先让样本矩阵中心化

12、,即每一维度减去该维度的均值,然后直接用新的到的样本矩阵乘上它的转置,然后除以(N-1)即可。其实这种方法也是由前面的公式通道而来,只不过理解起来不是很直观而已。大家可以自己写个小的矩阵看一下就明白了。其Matlab代码实现如下:cpp view plaincopy1. X = MySample repmat(mean(MySample),10,1);    %中心化样本矩阵  2. C = (X*X)./(size(X,1)-1)  3. %为方便对ma

13、tlab不太明白的人,小小说明一下各个函数,同样,对matlab有一定基础的人直接跳过:  4. %B = repmat(A,m,n )   %将矩阵 A复制 m×n块,即把 A 作为 B的元素,B由 m×n个 A平铺而成。B的维数是 size(A,1)*m, (size(A,2)*n   5. %B = mean(A)的说明:  6.

14、%如果你有这样一个矩阵:A = 1 2 3; 3 36; 4 6 8; 4 7 7;  7. %用mean(A)(默认dim=1)就会求每一列的均值  8. % ans =  9. %    3.0000    4.5000    6.0000  10. %&

15、#160;用mean(A,2)就会求每一行的均值   11. % ans =  12. %     2.0000  13. %     4.0000  14. %     6.0000  15. %     6.0000  16. size(A,n)

16、% 如果在size函数的输入参数中再添加一项n,并用1或2为n赋值,则 size将返回矩阵的行数或列数。其中r=size(A,1)该语句返回的是矩阵A的行数, %c=size(A,2)该语句返回的是矩阵A的列数  上面我们简单说了一下协方差矩阵及其求法,言归正传,我们用上面简化求法,求出样本的协方差矩阵为:                                  &#

17、160;                        3、计算协方差矩阵的特征向量和特征值因为协方差矩阵为方阵,我们可以计算它的特征向量和特征值,如下:cpp view plaincopy1. eigenvectors,eigenvalues = eig(cov)             我们可以看到这些矢量都是单位矢量,也就是它们的长度为1,这

18、对PCA来说是很重要的。4、选择成分组成模式矢量求出协方差矩阵的特征值及特征向量之后,按照特征值由大到小进行排列,这将给出成分的重要性级别。现在,如果你喜欢,可以忽略那些重要性很小的成分,当然这会丢失一些信息,但是如果对应的特征值很小,你不会丢失很多信息。如果你已经忽略了一些成分,那么最后的数据集将有更少的维数,精确地说,如果你的原始数据是n维的,你选择了前p个主要成分,那么你现在的数据将仅有p维。现在我们要做的是组成一个模式矢量,这只是几个矢量组成的矩阵的一个有意思的名字而已,它由你保持的所有特征矢量构成,每一个特征矢量是这个矩阵的一列。对于我们的数据集,因为有两个特征矢量,因此我们有两个选

19、择。我们可以用两个特征矢量组成模式矢量:                                  我们也可以忽略其中较小特征值的一个特征矢量,从而得到如下模式矢量:                                 

20、                           5、得到降维后的数据                                          其中rowFeatureVector是由模式矢量作为列组成的矩阵的转置,因此它的行就是原来的模式矢量,而且对应最大特征值的特征矢量在该矩阵的最上一行。rowdataAdjust是每一维数据减去均值后,所组成矩阵的转置,即数据

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