电磁场与电磁波理论(第二版)第6章习题解答

1、第6章习题解答已知空气中存在电磁波的电场强度为r r8 一E eyE0cos6 兀 10 t 2 忆 V / m40 7t试问：此波是否为均匀平面波传播方向是什么求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强&rrrrr度瞬时式可以写成复矢量E&eyE0ejkz。该式的电场幅度为E0,相位和方向均不变，且Eez0Eez,此波为均匀平面波。传播方向为沿着由时间相位 t 6冗108t波的频率f 3 108 Hz波长 红1 mk由于是均匀平面波，因此磁场为z方向。6 冗 108波数k 2几相速 v - 3

2、10 m/sp kl& ( ez E)UkzZwZw有一频率为600 MHz的均匀平面波在无界理想介质(r 4, r初相位为零，且t t0 10 s时，x 1m处的电场强度值为1)中沿 x方向传播。已知电场只有 y分量, 800 kV/ m。试写出E和H的瞬时表达式。解：根据题意，角频率a 212冗108, k 厂匚: 8花，因此r r8 cE eyE0 cos(12兀 108t 8底)由t 10s, x 1m处的电场强度值为 800kV/m,可以得到 E0 800 kV/m r r8E ey 800cos(12 兀 10 t 8 ) kV/m根据电场的瞬时表达式可以写出电场的复矢量为E& e

3、y 800e j8 7a kV/m波阻抗为Zwj8 x.r 40ez 一 e3冗kA/m因此，磁场的瞬时表达式为r r 40 一 8Hez -cos(12 冗 10 t3冗工r .在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为E exEosinr已知介质的r 1,试求其r,并写出H的表达式。解：根据电场的瞬时表达式可以得到2冗108, k 2冗，而k - m -cr r i2 Tzi -电场强度的瞬时式可以写成复矢量为E& exE0e2波阻抗为Zw 40冗Q ,则磁场强度复矢量为8派)2兀 108t 2 它 V/m2kc停十卮昌ZwE0 j2 史errEa因此磁场为Hev-sin(2u108t2贬)

4、40冗无界自由空间传播的电磁波，其电场强度复矢量为rex2兀rj4kzey3eV/m写出磁场强度的复矢量以及平均功率密度。解：首先判断是均匀平面波。该电场幅度为J13,相位和方向均不变，且因此磁场强度复矢量可写成平均功率流密度为ZwrSavr(ez在无界理想介质（r1,试求该平面波的传播方向、解：由该电磁波的波数为电磁波的角频率为1-Re(21207tE/)ez(ex2ey3)ej(Tt/4kz)120冗r(ey2rex3)ej(”4kz)2407trr(ex2ey3)(ey2ex3)3-W/m22407t5）中传播均匀平面波。已知其磁场强度复矢量为H&ez0,5ej2%3x4yA/m电场强度

5、及其坡印廷矢量的平均值，并写出电磁波的瞬时表达式O该电磁波在传播方向上的单位矢量为而该均匀平面波的磁场强度复矢量为Zwr1207tek5rSav解：（1）(2)(3)(4)kxXkyykzZxk2k2kvkc52兀3x4y10冗109HzrekrkxexkrkyeyVezkrrex0.6ey0.8rez0.5rex0.6rey0.8j2兀3x4y1207t.5rex0.4rey0.3j2兀3x4yeRe(EH&*)%ex0.3r-ey0.415冗r,5ekW/m2rex0.4cost2冗3x4yr.ey0.3cost2冗3x4y3qE。sintkzr.eyE0costkz;30E0sintkz

6、r,ey2E0sintkz;3exE0sintkz，r，tt/4eyE0costkz3exE0sintkz，r,4eyE0costkz。卜列表达式中的平面波各是什么极化波如果是圆或椭圆极化波，判断是左旋还是右旋左旋圆极化波（又称为顺时针旋转的圆极化波)四；r1207tE一5一rErErErEX.71234线极化波。线极化波。左旋椭圆极化波（又称为顺时针旋转的圆极化波试证明任意的圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。证明：设圆极化波沿着z方向传播，其磁场强的的瞬时式为rrr,E屯E0cos(tkz0)eyE0Sin(tkz0)对应的复振幅矢量为E(exE0mejE0)ejkzj0根据均匀平面波的

7、传播特性可以得到该圆极化波的磁场强度的复振幅矢量为Zw1Zwrez(exE0 m0jE0)ejkz jZwr(eyE0r exjE0)ejkz透入深度:1 6.6 10 6 m波阻抗：ZwJ一 (1 j) 2.61 10 7(1j) f 2.6110 (1 j)对应的瞬时值为Zwr r，eyE0 cos( tkz、r 0)mexE0Sin(kz0)瞬时坡印廷矢量为r S-ezE(2 cos2( t Zwkz0)ezE(2sin2(kz0)rE2叼wXN由此可见，圆极化波的瞬时坡印廷矢量的值是个常数。已知聚苯乙烯在频率为1GHz时损耗角正切tan e烯的趋肤深度以及电场、磁场之间的相位差。0.0

8、00 3 ,r 2.541 O试求此时电磁波对聚苯乙解：显然聚苯乙烯在频率为1GHz时可以视为一种弱导电媒质，即于是有2k tan etan e2c1318.50.00314而此时电场、磁场之间的相位差仅为1arctan 21arctan0.0003 0.00862铜的电导率 波阻抗:5.8 107S/m , r(1) f 1 MHz ; (2)r 1。试求下列各频率电磁波在铜内传播的相速、波长、透入深度及其100 MHz ; (3) f 10 GHz。解:已知136几10 9 F/m 和 010 7 H/m ,那么1.044 101827 r 0 f(2)当f 1 MHz时,1.044 10

9、121,则铜看作良导体，衰减常数一 15.132., f 15.132和相位常数分别为103相速：vp透入深度:当 f 100 MHz时,4.152 10 4X71 6.6 10 5 m1.044 10100.4152 m/s波长:2兀4一 4.152 10 m波阻抗：Z J一 (1 j) 2.61 10 7(11,则铜仍可以看作为良导体，衰减常数j)； 2.61和相位常数410 (1 j)分别为215.132715.132104相速:vp4.152 10 f4.152 m/s 波长:25 4.15210 5 m3(3)当f10GHz时,1.0441081,则铜看作良导体，衰减常数和相位常数分

10、别为海水的相速：V0p透入深度：15.132f15.132105:24.152104/F41.52m/s波长：红4.152106m-6.6107m波阻抗：Z&WJ(1j)2.61107(1j)J?一一22.6110(1j)4S/m,r81,r1,试求频率为10kHz,10MHz和10GHz时电磁波的波长、衰减常数和波阻抗。解：已知（1）当f136几10kHz时,9109F/m和18T904冗107H/m,那么一-8109。f910981051,则海水可看作良导体，衰减常数9和相位常数分别为、3.97103.f0.397相速透入深度（2）当f10MHz时,相速vp1.582103712.52m波

11、阻抗30.316冗10(115.83mj)j0.099(1j)vp10288.891,海水也可近似看作良导体，衰减常数3.971023,f12.55、2(1j)（3）当f10GHz时,位常数分别为相速透入深度和相位常数分别为1.582103,T5.00106波长0.500m10.080m波阻抗0.316冗103(1j)/T3.139(1j)1-109810100891,海水也可近似看作弱导电媒质，衰减常数f99.和相80冗/rad/m、.2318vp-10m/s波长p3-0.012m波阻抗汽18f600冗m/secc2冗1-m300f1950MHz，试求：（1）波在该媒质平面波在导电媒质（rr

12、1,0.11S/m）中传播，电磁场的频率内的相速和波长；（2）场强经过一个波长的衰减量。解：（1）因为0.112冗108136冗10919.8,所以125.3rad/m1131.8m/sec22（2）场强经过一个波长的衰减量为2010g e 51.88 dB均匀平面波在无界导电媒质 （r 1, r 5,0.01S/m）中沿 z方向传播，电场为y方向。已知z 0处，电r场强度的振幅Em 5 10 3 V/m,初相位为零。若电磁波的频率为108 Hz，试求：（1）空间任意点的E和 rH的瞬时表达式；（1）媒质中传导电流与位移电流之比。解：（1）因为002 冗 1081 36 7t 10 9/50.

13、36 ,所以10.83 rad/m14.76 m / sec其.&: 163.5/5163.5e0.086o于是，空间任意点的E和Hr的瞬时值可以表达成r r 3E ey5 10 3e0.83z cos( t 4.76z)r5ex3.06 10 5e0.83zcos( t 4.76z 0.086)（2）媒质中传导电流与位移电流之比为r JTJ,0.01_892 兀 108136兀 10 9/50.36试证明电磁波在良导体中传播时，场强每经过一个波长衰减55dB。证明：在理想导体中,则场强每经过一个波长衰减为一，.一827t于是有相速Q0.9410m/s波长0.0477mpT2Zw2Zw2 Zw

14、i2 400.19240 120根据题意，已知分界面上 Eo 10V/m,即 TEi0E0。所以有 Ei0 52.1 V/m,Hi0 Ei0 / Zw1 0.14 A/m。L20loge20loge Zw2 40, Zw1120 7t，垂直入射的反射系数为20loge27t55dB均匀平面波由空气向理想介质1,r1）平面垂直入射。已知分界面上E010V/m,H00.25A/m。解：（1）利用波阻抗的表达式Zww01rr0试求：（1）理想介质的r；（2）空气中的驻波比；（3）入射波、反射波和折射波的电磁场。且可以得到Ho20H(120冗0.025)288.8oEZw2ZwiZw2Zw10.808

15、因此驻波比为1.8089.4170.192（3）垂直入射的透射系数为设空气中的传播常数为k1，则理想介质中的传播常数ex42.2ejklzz1ZJk1jkee1452,0/1rarQ,0.11ejkiz2K,因此，入射波、反射波和透射波分别为ex10ejk2ze.,0.25ejk2zrj2kizex10ee.,0.25ej2klz均匀平面波由理想介质(r 1, r 4,0)垂直入射到理想导体表面。 测得距导体表面 m和m处的电场为零,4S/m ,且海面的;(3)海面下m处的电场强度与磁场强度的振幅;(4)单位面积进入海水的平均功率。解：因为角频 2 f 6冗108o2.96,海水不能看作良导体

16、，所以(1)海水波阻抗Zw1 j 4319.276- c12.924 cj2.9658.28 Np/m81.205 rad/m“ ”j35.67o23.67e j81, r 1 ,频率为300MHz的均匀平面波由空气垂直入射到海面。已知海水的3合成波磁场强度Ho510A/m。试求：(1)海面的合成电场强度；(2)空气中的驻波比;海水表面的电场强度为E0ZwH023.67e j35.67oH0.118ej35.67o V/m(2)空气中波阻抗为ZwoZJw120%，则反射系数Zw019.23 13.80j 120 7t357.76ZwZw0因此空气驻波比为19.2313.80j 120 7t39

17、6.22 13.80j”也0.903eG 1 |1.903S| 0.09719.6(3)海面下 m的电场强度和磁场强度为l& &e z 0.118e j357国H0e(4)平均坡印廷矢量为Sav Re(l2，o58.28 0.1ez 5 100.118ej35.67358.28 0.1e单位面积进入海水内的功率等于海表面处的平均坡印廷矢量的大小, Sav ；Re内闻0 2|国0|2ReZw5.828j35.67oe 3.474e V/m_ 51.47 10 A/m2.41 10 4 W/m2均匀平面波由空气垂直入射到理想介质(r 4, r1)平面上。设其电场为ex jey E0e及)试求反射波

18、和透射波的电磁场强度复振幅，并指出它们各是何种极化。若是圆极化或椭圆极化，判断其旋转方向。解：根据已知条件，可求出两媒质的波阻抗分别为 于是有Zw1120 砥 Zw2 120 Tt/J4 60 兀Zw2 Zw1Zw2 Zw12Zw2Zw2Zw1由此可得r r ex jey Eejk0zrjeyj2kozEe入射波和透射波是右旋圆极化波，反射波是左旋圆极化波。且导体表面的合成磁场200 MHz导体表面的合成磁场即H。0.012E&0Zwi由此可得E。HZwi0.3九r。区 r八公一 2水eyj2 E&0 sin k1xeyj0.6 %sin V/myy3,& r 2除rC_2或A,Hi ez c

19、oskx ez0.01cosA/mZw1JS en H&x2Ho ex0.02 A/ms n i x io x试证明均匀平面波由理想介质垂直入射到良导体表面时，进入到良导体内的功率与入射功率之比约为4RS/Zw1 ,其中RS .是良导体的表面阻抗,Zw1是理想介质的波阻抗。证明：对于理想介质垂直入射到良导体的透射系数为式中Zw2ZW1/22Zw22Zw2Zw1Zw1为理想介质的波阻抗。对良导体，存在 Zw2 Zwi ,则透射系数为设入射波电场为exE0e jkz,则磁场序E0ey王eZw1jkz,平均坡印廷矢量为透射波的电磁场为防嘤ez;eyeZw2jk?zHo0.01A/m,初相位为零。试求

20、电磁波的频率以及理想介质中合成电磁场的复矢量和导体表面的面电流密度复矢量。解：因为1.50.750.75m,所以有2理想导体表面有一层厚度为d的理想介质（r 1, r 10,0 ）。均匀平面波由空气垂直入射到理想介质表面。在良导体表面的平均坡印廷矢量为Savt1Re信信ez1|T|2|E0|2Re1-22Zw2单位面积进入良导体内的功率等于良导体表面的平均坡印廷矢量大小，则进入到良导体的功率与入射功率之比为21|T|2Zw1ReZw2|Zwi|24|Zw2|24RsZw1d为何值时，该分界已知电磁波的频率为100MHz，试求空气与理想介质分界处的反射系数和折射系数;面处的电场强度的振幅值最大解

21、：第一区域内eE&1ejk1ZdE&1ejk1Zdr1&jk1zdeyE&1eZw1E&r1ejk1Zd第二区域内r&rH2ey-jk2ZE&2ejk2Zw2第三区域内是理想导体，其电磁场为零。于是在第食呼20而在第1分界面Zd上，应满足的电磁场边界条件2分界面即旦0处，应满足的电磁场边界条件是E&2E&1E&2ejk2dE&2ejk2dZT禽Zw1E&匚r1Zw2E&2ejk2dE&2ejk2d联立解得j2sin k2dE1jZw2tank2dZw1E1jZw2tank2dZw1令11得至ijd/43108/108/Vic/40.237m时分界面处的电场强度的振幅值最大。在玻璃（4,r度及其

22、介电常数。（将Zw30代入公式同样可以得到1和工）1）上涂一层透明的介质膜片，可以消除红外线（00.75Mm）的反射。试求该介质膜片的厚若紫外线（00.42然川）垂直照射时，有多少功率被反射解：为了在第一区域内不存在反射波，即10,必有Zw2,Zw1Zw3Z,Z,wJw1Jw1Zw142即介质膜片的其介电常数r2,而介质膜片的厚度为20d74,-4.20.1325即若紫外线（00.42Mm）垂直照射时d0.1325即，即10。此时Zw2Zw3Zw1jZ：2Zw1Zw3tank2drrrr2Zw2Zw3Zw1jZw2Zw1Zw3tank2dZw2Zw3ZZw2Zw3Zw1jZW2w1Zw1Zw3

23、tank2dZw13 j2、5 0.3499220.13253Zw12匹九jZw1tan220.422.20.349920.1010%60。试求月球表面的相对介电常数由此可得，当紫外线（00.42Mm）垂直照射时，有10%的入射功率被反射。一个月球卫星向月球上发射无线电波，测得布儒斯特角为解：由Barcsin60o和1。解得r312垂直极化波由水中以i20的入射角投射到水与空气的分界面上。若淡水的r1,r81,0,试求反射系数、折射系数以及临界角coc解：垂直极化波斜入射到水与空气的分界面上的临界角为arcsinQ1/r)6.3790显然，题意中入射角ic,将发生全反射,则反射系数和透射系数变

24、成cosi2/1sin2icosicosi2/1sin2icosirr_2sini2sinicosijsin2icosijsin2i1/r1/r0.94j0.1170.0120.94j,0.1170.0120.94j0.3240.94j0.324Tcosi2cosi.2/1sin2i0.994ej190j380jig0-e0.994ej2cosicosi2/1sin2i2cosicosijsin2i1/r频率为3GHz的线极化平面波由空气向理想导体表面斜入射，1V/m,初相位为零，方向与导体表面平行。试写出入射波、求合成波的坡印廷矢量的平均值。1.8790.994ej1901.89e阳入射角i

25、/4,入射电场在导体表面处振幅为反射波和合成波的电磁场强度的复矢量，并解：这是一个垂直极化波斜入射到理想导体表面的问题，即可以得到1。由k1/c20冗，幽1r内由xsinieyi0ezcosirexcosirezsinreyeEibj10.-2ttxzjkxsinizcosireyjk1xsinrzcosE0erexcosrrezsinreZw1rj10加xzeyeF&r0jk1xsinzcoseZw1rr22.j10巨bxzexeze2407trexrezV2j10V2冗xze2407t合成波的电磁场强度的复矢量&rE&E1eyEi0jk1xsinizcosiejkixsinizcosieyj2E&bsink1zcosjkxsinieeyj2sin10-2Tizjio2正H1曳Zw1rexcosr.jk1xsinizcosiezsinie1iiE0rexcosiZw1r-jk