力学竞赛试题

1、海南大学土木建筑工程学院、海南省力学学会第二届力学竞赛试题1、如图 1 所示，质量均为 m 的 n（ n 3）个均质圆柱体依次搁置在倾角为30°的斜面上，并用铅垂设置的铰支板挡住。若已知圆柱半径为 R，板长为 l，各圆柱与斜面和挡板之间的摩擦系数 1/3，且不计各圆柱之间的摩擦， 试求维持系统平衡时的最大水平力 P。图 1【解】先设圆柱 On ，由三力平衡汇交定理知其与斜面间摩擦力为零，依次判断，直到圆柱 O2 与斜面间摩擦力均为零。再研究圆柱O2 ,O3 ,.,On 共 n-1 个柱体的整体平衡，由Fx0有N 2n 1 m g2N2 为圆柱 O1 与 O2 间的作用力。再研究 O1

2、 圆柱，受力如图，由mO10有F1 F1设 AOBOa ，由mO 0N1 a m g R 1N a 2 N R当 n3时， N1N1 ，可知 A 处先滑动，且 F1N1 。由mB0N Rc o s 3 0F R1s i n 3 0 m g RNRs i n 3 0112将 N2 代入，得n 33 1N1m g4所以n331F1N112mg由 Fx 0533n339N1 N 2c o s 3 0 F 1c o s 3N0s i n 3 012mg最后研究铰支板的平衡，由mO0P lN 3R1所以RPm a x 4l53 n 3 13 m g2、如图 2 所示，偏心轮质量为 m，偏心距OCe。轮对

3、质心，C 的回转半径为 c置于光滑水平面上。初始时 OC 呈水平，质心 C 有一水平初速 ，轮的角速度为零。求当 C 点运动至最低位置时，水平面对轮的约束反力。图 2【解】取质心平动参考系O1 xy（图 7），它以常速度 v 运动。质心 C 的相对速度 vr沿 y 轴。由动能定理，有图 71 J C21 m v2vr21 mv2m g ec o s222其中 JCm c2 。当质心 C 运动至最低点时，有vr 0 ，0故有2 2 ge2c此时运用相对质心的动量矩定理，有JCMC0故0所以 C 点的加速度向上，为aCe 2所以有NmgmaC即N mg me2 gemg 12e222C3、图 3

4、所示对称桁架， 受载荷 P 作用，己知各杆材料相同， 横截面面积也相同，问有何办法可使各杆同时达到材料的许用应力 ?图 3【解】办法 1：利用装配应力改变内力分配。在准确加工、装配的情况下，桁架中各杆的受力为N 1N2P c o 2s（ 1）1 2 c o 3sN 3P（2）132 c o s因此 N3N1，总是杆 3 先达到。为使各杆的图 8应力同时达到，可采用加装配应力的办法，即预先将杆 3 做长 ，在强制装配以后，杆 3 将具有预应力，而杆 1、2 将具有预拉应力。由图 8 可知，设外载增至P 时，各杆的应力同时到达，节点 A 到达 A1 。在小变形假设的前提下， 叠加原理使用， 与各杆

5、伸长量之间应满足下列协调方程l1l 2l 3c o s(3)各杆的轴力又满足下列物理方程l iN i lil i（ i 1,2,3 ）（4）EAE由方程（ 3）、（4）解得杆 3 长度的过盈量，l2（5）t a nE该桁架的许用载荷为PA 12c o s由式（5）可以看出，这个解答的适用范围有一定的限制，即若 接近时， 就2变得相当大，这时，小变形假设就不适用了，因此所得值也就没意义了。办法 2：对于短暂加载情况，除了上述办法外，还可以采用加热应力的办法来达到相同的目的，若材料的线膨胀系数为，又假设材料的许用应力不随温度的改变而改变，则杆3 所需升高的温度为t2lt a nE4、物块 C 的重

6、量为 G，置于悬臂梁 AB 上（图 4），梁长 L，弯曲刚度 EI，物块与梁间的摩擦系数为 ，求：（1）物块开始滑动时的位置；（2）物块滑离 B 端时的速度。图 4【解】（1）设物块开始滑动时的位置为 s ，如图 9 所示，则 AD 段的挠度曲线方程为Gx2x0x sy3s6EI由此可知DyDGs22EI（ 1）由静力平衡条件，可求得摩擦力为FG c o sD而物块开始滑动的条件为图 9G s i n DF由以上二式易得t a n DD将式 (1)代入上式，即可得到物块开始滑动时的位置为s1 22EIG（2）物块由 D 处滑至 B 处，在此阶段的始、末两处的挠度分别为f DGs3，f BGL

7、33EI3EI设物块滑离 B 端时的速度为 v ，W 为摩擦力 F 在此滑动过程中所作的功，由能量守恒定律可得Gv 2G GL3Gs3W（2）2g3EI这里假定物块很小，其转动动能可忽略不计。由于dWF d s而FG c o s1ds1y 2 2 dx21c o sdx ds1 y2故有1dWG cos1y 2 2 dxG d x积分上式，得WG L s(3)将式（ 3）代入式（ 2），最后得到1v 2g L sGL22Ls s23EI5、下列结构均为等直杆， 各相应载荷为任意分布。 证明图 5 中（ a）杆的轴力图、（ b）圆轴的扭矩图、（c）梁的剪力图、（d）梁的弯矩图，其图形面积代数和均

8、为零（c）梁剪力图在受分布和集中力偶矩时例外） 。图 5【证明】设轴力为N x ，扭矩为 T x ，弯矩为 M x ，剪力为 Q x ，E 为弹性模量， G 为切变性模量， I 和 I P 分别为轴惯性矩和极惯性矩，A 为杆的截面面积。(a)图，受任意分布和集中的轴向力作用。杆的总伸长为l0 。由胡克定律，正应变 xN x，故轴力图面积的代数和为EANll0N x dx EAx dx EA l 00(b) 图 , 受任 意分布和集中 的扭力偶作用 。 圆轴扭转角的边 界条件为0l 0 ，根据圆轴扭转变形基本公式dT x ，故扭矩图面积的代数和dxGI P为lldlT0T x dxGIP 0dxdxGIP 00(c)图，受任意分布和集中的横向载荷作用。对于简支梁，M 0M l0 ，且在无分布力偶矩的情况下，剪力与弯矩的微分关系为dMQ ，故有dxdMllQdx M000dx受到分布和集中力偶矩作用时 ,此值一般不为零， 因为关系式 dMQ 中，未dx考虑分布力偶矩的作用。在这种情况下，应修正为lm x dxM iQ0i其中 m x 与 M i 为分布力偶矩和集中力偶矩，逆时针为正。(d)图，受任意分布和集中的横向载荷及力偶矩作用。两端固支梁，转角边界条件为 0l 0 ，有微分关系为 d 2 ydMdx