27.让算理直观起来

1、让 “算 理” 直 观 起 来对小学计算教学中引用直观模型促进算理理解的思考 泰顺县实验小学 郑建锋内容摘要：在以往的计算教学中，我们在课堂上常常将重点放在学生对算法的掌握上，以培养学生数学学习的基本技能；而对于算理的教学则相对弱化。而现在我们老师已经认识到算理的重要作用，也重视算理的教学，但又面临这样的困惑：算理对学生而言，常常很抽象、深奥、费解，这给学生理解和教师的教学带来诸多挑战，教学中怎样有效落实？有没有办法让算理更形象化，直观化，具体化？笔者认为直观模型能有效实现算理直观，是帮助学生理解算理的一种重要方式，在日常教学中应当引起足够的重视。关 键 词：直观模型，算理理解。计算教学在小学

2、阶段占有十分重要的地位，也是数学教学的一个重要领域。但在教学中常常存在这样的现象：1、老师在课堂上常常将重点放在学生对算法的掌握上，力求学生熟练掌握计算方法，达到一定的计算速度和准确度，以培养学生数学学习的基本技能；而对于算理的教学则相对弱化。2、我们老师已经认识到算理的重要作用，也重视算理的教学，但又面临这样的困惑：算理对学生而言，常常很抽象、深奥、费解，课堂教学中怎样才能有效落实？那么，计算教学现状是怎样的？教学中能否找到一个比较直观的依托，使老师对算理的教学和学生对其理解不仅仅只单纯借助语言的描述？有没有办法让算理更形象化，直观化，具体化？怎样为学生理解抽象的、深奥的算理提供一个坚实的支

3、点，有力促进了学生对算理的有效建构？一、学生常常“讲法”不“讲理”。算理是计算的依据，解决的是为什么这样算的问题，算法是计算的方法，解决的是怎样算的问题。算理为计算提供了正确可靠的思维过程，而算法则为计算提供了方便快捷的操作方法。因此，在计算教学中，算理和算法是内在地联系在一起的。我们既要重视算法的教学，还要使学生理解算法背后的道理。不仅要让学生知道该怎么计算，而且还要让学生明白为什么这样计算；使学生不仅知其然，还要知其所以然，要在理解算理的基础上掌握计算方法，形成计算技能。但在实际的教学中，算理的教学常常被“弱化”、“边缘化”、“抽象化”。笔者所在的学校经常会有上级教育主管部门进行教学质量的

4、抽测，检测学 1 4× 1 2 2 8 1 41 6 8生计算素质的试题中经常会有类似下面的题目（图1）： 表示（ ）表示（ ）图1在一次对三年级学生抽测后，笔者随后对其中53名学生的情况进行了统计，结果如下：层次情况人数所占百分比不能解释算理计算错误2人 3.77%不能解释算理但会计算35人 66.04% 能够解释算理并会计算16 人30.19%通过谈话，上表中2名学生的计算错误是由于不知道数位对齐造成的，计算正确的35名学生能比较快的说出数位对齐的方法，即哪位上的数去乘，就写在哪位数下面。但继续追问为什么要这样？写成下面的形式（图2）可以吗？这部分学生却不能进行合理的解释与说明。

5、这不禁引起笔者的思考：在我们的课堂教学过后，到底有多少学生真正理解了“简化”的竖式形式？在他们熟练用竖式算出结果的时候是否真正理解了算法背后所蕴含的算理？ 1 4× 1 22 81 4 01 6 8 这样写可以吗？ 图2而随后笔者与任教参加检测学生班级的4名教师对结果的分析对话中，有一个观点被重复提起,即算理比较抽象、深奥，难以落实。那么，在计算教学中，我们该如何站在学生的视角，根据学生的思维特点，为学生理解抽象的算理提供一个形象的载体？怎样在算理和算法之间架起一座直通的、有效的桥梁？二、教学可以“一图抵百语”。在县里的一次备课会上，安排了一节“两位数乘两位数”的计算课。“如何通过合

6、适的方式促进学生对算理的理解，让学生既理解算理又掌握算法？”这引起了笔者和许多与会教师的思索与关注；而课堂上执教教师引用的一张小图更是引起了大家的兴趣。教师创设了一个“学校举行体操比赛”的情境，然后出示方阵图（图3），让学生了解信息，提问交流后解决“一共多少人？” 的问题。为了便于研究，教师把图片抽象成“圆点”，并给学生提供“点子图”探究两位数乘两位数的算理与算法。在解决上述问题的过程中，学生展示出不同的想法，以下是部分学生的结果：图5图4图3图8图7图6面对新的问题，学生至（图4至图6）都是借助点子图，结合自己对乘法意义的理解，将不会解决的两位数乘两位数的计算转化成了两位数与一位数相乘。学生

7、（图7）虽然也在转化，但转化的方法和前面的算法不同，自然地运用乘法分配律将12拆分成了10和2。学生（图8）写出了正确的乘法竖式，通过教师进一步引导：“48是怎么得到的？在图中表示什么？把120在图中圈出来。”使学生将竖式和点子图一一联系对应起来，从而“轻松”地理解了为什么这样计算背后所蕴含的道理。这节课引发了大家的思考：为什么学生自然地想到了“拆数”的方法？大家觉得课中这张小小的“点子图”功不可没。联系到自己平时计算的教学，学生没有借助类似这样的“点子图”而进行探索算法、研究算理时会有不少的困难。由于找不到一个比较直观的依托，老师对算法、算理的讲解和学生对其理解都只能借助语言进行描述，显然这

8、种单纯靠语言讲道理的描述由于缺少图式的呈现，学生接受起来困难重重也就不足为奇了。上述的课例正是由于“点子图”这个具有一定结构的、具体的、直观的“形”为学生理解抽象的、深奥的“理”架起了一座直通的桥梁，为师生探究算理、算法提供了一个可操作的“直观模型”，从而有力促进了学生对算理的有效建构。三、重视直观模型的应用。1、直观模型是什么？直观模型指的是具有一定结构的操作材料和直观材料，如小棒、计数器、格子图、数直线等。在实际的教学中，我们还会经常引用类似元、角、分等人民币，千米、米、分米等测量单位这些具有一定结构的实物材料，有人将其称之为“实物模型”。但如果站在更广义的角度来看，我们不妨实物模型也看做

9、是直观模型的一种类型。2、直观模型的作用。在计算教学时，学生在探索方法和理解算理过程中所出现的困难能通过直观模型来克服吗？在这一过程中有无直观模型，会造成学生的学习有多大的差异？北京教育学院教师教育数理学院张丹教授专门做了一次深入的调研，这里不妨赘述。对某小学40名的三年级学生进行调查中发现：学生基础没学过两位数乘两位数，但已学过两位数乘一位数给定任务想办法计算14×12提供素材没有给出任何直观模型调查结果40人全部用竖式计算22人基本正确（包括方法正确，但计算时出现错误）18人出现较大困难 随后，对遇到困难的18名学生全部进行了访谈，并提供直观模型（点子图）请他们借助点子图完成以下

10、任务：（1）借助点子图思考如何计算出14×12的结果；（2）如果能够计算出正确结果，再将计算过程写成竖式。通过访谈，对于任务（1），这18名学生都能根据点子图通过“拆数”得到计算结果；在完成任务（2）时，有8人能独立完成，10人虽然遭遇困难，但通过引导可以解决。当问及学生点子图有用吗？学生这样回答，“有用，可以把12拆成10行和2行。”这句话道出了点子图对学生的帮助。因此，对比开始没有直观模型时学生得出结果的困难，直观模型无疑是有用的。四、应用直观模型的策略。1、适时呈现，解释疑惑。借助直观模型帮助学生理解计算的意义和算理，效果明显。但这并不意味着当学生面对计算时我们都要马上“捆绑式

11、”地提供直观模型，有时“给”得太早却不一定能换来好的效果，“给”得早不如给得“巧”。如笔者在教学三年级“口算乘法”一课时也是让直观模型“姗姗来迟”的：先创设“小明和同学3人去游乐园玩”的情境，接着让学生提出并解决玩不同项目需要多少钱的问题。学生列出2×3、8×3、20×3等算式后，引导学生复习表内的乘法的计算方法并对比20×3的算式特点揭题引入。让学生尝试计算20×3，学生想出了“吃0”、“还0”的计算方法（算式）并用加法验证是可靠的。笔者随后书写了几个算式（算式和）让学生用他们所谓的“吃0还0”法快速计算，巩固算法。20 × 3 =

12、 60 200 × 3 = 600 400 × 6 = 2400吃 0 还 0 2 × 3 = 6 2 × 3 = 6 4 × 6 = 24就在学生洋洋得意的时候，老师抛出了问题：“数学是一门科学，是讲道理的，你们能说说这样计算的道理是什么吗？”在学生想用语言表达又表达不清楚之后，老师出示了小棒图、计数器，“看看老师带来的图能不能帮助表达你们的意思？”课件演示捆绑过程（图10）并在计数器上表示（图11）。20个一20个一20个一百十个2个十2个十2个十6个十 就是606个十 就是60图10 图11学生从而联系小棒图和计数器理解了“吃0还0”法计

13、算背后所蕴藏的算理。20 × 3 = 60 200 × 3 = 600 400 × 6 = 2400吃 0 还 0 2个十 × 3 = 6个十 2个百× 3 = 6个百 4个百× 6 = 24个百可见，有时先不提供支撑算理理解的直观模型，让学生直接面对一个算式，看看他们能否联系自己的数学经验尝试解决问题，当他们“欲言不能”的时候再提供也不迟。因为把现成的东西给他们，和他们意识到这个问题的重要性后主动地去借助和联系，这两者显然是有区别的。2、变化对比，凸显结构。在数学教学中，很多老师很注意“变式”的应用，这对于学生建立正确的认识有很重要

14、的意义。我们向学生呈现直观模型时，及时进行变式对比，能加深算理理解，促进学生建构清晰的知识体系。如有位老师在教学“乘法分配律”一课时，为了帮助学生突破难点，理解规律的特定模型，是这样进行教学的：师：（出示图12）谁会列综合算式求出一共摆了多少块？生回答，得到两个算式“3×5+4×5”和“（3+4）×5”。师：分别说说这两种方法先求什么，再求什么？生：第一种是白方块和灰方块分开算，然后再求一共多少块。（根据回答演示图13）3行白方块的个数生：第二种是先求出一共有7行，再求一共多少块。（根据回答演示图14）7行方块总个数总个数4行灰方块的个数 图12 图13 图14师

15、：你觉得这两个算式结果相同吗？为什么？生：相等，因为都是在算方块的总个数。师总结：算式的形式不同但表示的意思相同，都是表示了7个5块。左右相等，我们就可以用等号把两个算式连起来，连接成一组等式。上述片段中直观模型的呈现，唤醒了学生的生活经验，通过让学生用两种方法列式，得到了乘法分配律的研究雏形。在接下来的环节中，该老师及时呈现直观模型进行了变式对比，使学生加深理解规律的特定模型。师：（出示图15）如果是这样摆的，现在还求共有多少块，综合算式怎样列？图15师：还能像刚才一样，合起来算吗？为什么？通过直观模型的变化对比，学生自主发现了不能合起来算的原因，进一步理解了运用乘法分配律进行算式转换的本质

16、原因。3、沟通联系，建立连结。数学知识就像是一张纵横交错的网，每个知识点都是一个节点，一条条知识链连接起了一个个的节点，从而形成了一张密密的“知识网”。我们向学生提供直观模型时不仅要“求全”，还要“求联”。如特级教师丁杭缨“笔算乘法”一课很好地诠释了怎样在直观模型、横式、竖式之间的“求联”：出示6个运动员训练后羽毛球的个数（图16）：赵阳 孙虹（12） （12）王芳 陈圆（21） （21）钱凡 张晴（12） （21） 图16学生提出问题：“训练后一共剩下多少个？”师：你准备怎么解答？生：先算赵、孙、钱共有几个，算式是12×3；再算王、陈、张共有几个，算式是21×3。师：对于

17、21×3你是怎么算出来的？写在草稿本上。2 1× 36 3生展示不同的算法：21+21+21=63；20×3=60,1×3=3,60+3=63；竖式计算，如下：（请学生介绍竖式）师：“3”是怎么来的？为什么写在个位上？“6”是怎么来的？为什么写在十位上？知道每个数表示的意义吗?(生回答)师：“3”在横式中、在图中分别表示哪个部分？“6”在横式中、在图中分别表示哪个部分？(根据学生回答逐步出示图17)王 芳 2 1× 36 320 × 3 = 60（21） 陈 圆 1 × 3 = 3（21） 张 晴 （21） 图17直观模型、

18、横式、竖式之间的“求联”，使学生的认识和思维融会贯通，这样重要且恰到好处的穿梭联系，能触及知识各部分之间的联系，对学生而言，不可或缺。4、组合应用，多元理解。数学课程标准里有关应用意识有这样一句话：面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。可见，当学生面对一个问题，主动联系生活背景思考问题，也是一条直观的途径。清华大学附属小学的张红老师在教学“小数除以小数”时，向学生“打包”提供了生活原型和直观模型：教师在课堂上让学生探索“5.1÷0.3”，当学生出现困难时（图18），教师为学生准备了三道提示题：温馨提示1：铅笔每支0.3元，小红有5.1元，她能买几支铅笔？温馨提示2：一条彩带长5.1米，如果每0.3米剪成一段，可以剪几段？温馨提示3：5.1里面有多少个0.3，你能圈圈看吗？（图1