第四章相关性及秩

1、第四章第四章 向量组线性向量组线性相关性及秩相关性及秩 n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性 向量组的秩向量组的秩 n维向量维向量 线性相关性线性相关性1 1 n n维向量及其线性相关维向量及其线性相关性性 1 11 1 n n维向量及其线性维向量及其线性相关性相关性 n n维向量及其线性相维向量及其线性相关性关性 1 1 n n维向量及其线性相关性维向量及其线性相关性 定义定义1 1 n个个有次序的数有次序的数 所组所组成的数组称为成的数组称为n维向量，这维向量，这n个数称为该向量的个数称为该向量的n个分量，第个分量，第i个数个数 称为第称为第i个分量个分量. .,12naaaia分量

2、全为实数的向量称为实向量，分量为复数的分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量向量称为复向量. .本书中除特别指明者外，一般本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量只讨论实向量. .一、一、n维向量维向量n 维向量可写成一行，也可写成一列，分别称为行向量和维向量可写成一行，也可写成一列，分别称为行向量和列向量，也分别称为行矩阵和列矩阵。列向量，也分别称为行矩阵和列矩阵。n n 维列向量维列向量n n 维行向量维行向量 12 naaa12,Tnaaa实数域实数域R上全体上全体n维向量组成的集合，记为维向量组成的集合，记为 .也称为也称为n维实维实向量空间向量空间.nR;)();,0

3、;,()0; 容易验证向量的线性运算满足下面的运算规律: (1) 向量加法满足 1) 交换律 2) 结合律 ( 3) 对任一向量有 4) 对任一向量有 (2) 向量的数乘运算满足 1) 1 = ;()()( ) ;(3);2);, , ,k ll kklkklklnk l 2) 向量的线性运算成立分配律 1) k()=k () =上述均为 维向量均为实数.,(, ,)1 2niiR kR im定义定义2 2 设设 ，则向量，则向量 称为向量组称为向量组 在实数域在实数域R上的一个线性上的一个线性组合，组合， 称为该线性组合的系数称为该线性组合的系数. .若记若记 ，则称，则称 可由向可由向量组

4、量组 线性表示线性表示. .向量向量 能由向量组能由向量组 线性表示，也即线性表示，也即方程组方程组 有解有解. .1122mmkkk,12m ,12mk kk1122mmkkk,12m ,12m 1122mmxxx定义定义3 3 若对若对m个个n维向量维向量 ，有，有m个不个不全为零的实数全为零的实数 ，使，使 成立，则称成立，则称 线性相关；否则，称线性相关；否则，称其其线性无关，即没有不全为零的实数线性无关，即没有不全为零的实数 使使 成立，也就是，只有成立，也就是，只有当全为零时，才使当全为零时，才使等式等式成立成立. .,12m ,12mkkk11220mmkkk,12m ,12mk

5、 kk11220mmkkk,12m 定理定理1 1 若若向量组向量组 线性相关的线性相关的充分必要条件是充分必要条件是 中至少有一个向量中至少有一个向量可由其余可由其余m-1-1个向量线性表示个向量线性表示. .,()122mm 定理定理2 2 如果向量组如果向量组 中有一部分向量中有一部分向量线性相关，则这个向量组也线性相关线性相关，则这个向量组也线性相关. .,12m 等价命题：等价命题：如果如果 线性无关，则任一线性无关，则任一部分都线性无关部分都线性无关. .,12m 定理定理3 3 设设n维向量组维向量组 ，其中，其中则向量组则向量组 线性相关的充分必要条件线性相关的充分必要条件是齐

6、次线性方程组是齐次线性方程组 （4.14.1）有非零解，有非零解，其中其中 ， . .,12r (,) ,(,) ,(,)TTTnnrrrnraaaaaaaaa11121121222212,12r 0Ax (,)12rA (,)12Trxx xx向量组向量组 线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组（齐次线性方程组（4.14.1）只有零解）只有零解. .,12r 定理定理4 4 若向量组若向量组 线性无关，而线性无关，而 线性相关，则线性相关，则 可由可由线性表示，且表示法唯一线性表示，且表示法唯一. . ,12r ,12r ,12r 推论推论 如果如果 中的中的n个向量

7、个向量 线性无关，线性无关，则则 中的任一向量中的任一向量 可由可由 线性表示，线性表示，且表示法唯一且表示法唯一. .,n 12nRnR,n 12例例1 1 设设问：（问：（1 1） 是否线性相关？（是否线性相关？（2 2） 是是否由否由 线性表示？如能表示求其表示式线性表示？如能表示求其表示式. .1234(1, 1,1),(1,2,0),(1,0,3),(2, 3,7).123, 123, 4解解（1 1）作矩阵作矩阵由由 ，得，得A可逆，从而得方程组可逆，从而得方程组 只有零解，只有零解，故故 线性无关线性无关. .123111(,)120103TTTA7A 0Ax 123, 解解（2

8、 2）根据推论，根据推论， 可由可由 线性表示，且表示线性表示，且表示法唯一，设法唯一，设123, 41122334xxx即即123(1, 1,1)(1,2,0)(1,0,3)(2, 3,7)xxx于是得于是得1112322331112(,)1 2031037TTTxxxxxx 即即 ，解此方程组得唯一解：，解此方程组得唯一解： ，故故4TAx1231,1,2xxx 41232例例2 2设向量组设向量组 线性无关，又线性无关，又 ， .证明线性相关证明线性相关. .证证 设设 即即解得此方程组有非零解解得此方程组有非零解（-1-1，-1-1，2 2）. .因此，有因此，有不全为零的使成立，故不

9、全为零的使成立，故 线性相关线性相关. .由于由于 线性无关，上式系数必须全为零，于线性无关，上式系数必须全为零，于是得是得123, 112322123131122330 xxx1123212313(2)()()0 xxx1231122133()()(2)0 xxxxxxx123, 12312130020 xxxxxxx123, 2 向量组的秩向量组的秩 定义定义1 1设向量组设向量组A中的一个部分组中的一个部分组 ，满足满足则称则称 是向量组是向量组A的一个最大线性无关的一个最大线性无关向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向向量组（简称最大无关组）；最大无关组所含向量个数量个数 r 称为

10、向量组的秩，记作称为向量组的秩，记作 . .12,r （1 1） 线性无关；线性无关；12,r （2 2）向量组）向量组A中任意中任意r+1+1个向量（如果有）都个向量（如果有）都线性相关线性相关. .12,r ( )R A定义定义2 2 若向量组若向量组 中每一个向量可中每一个向量可由向量组由向量组 线性表示，则称向量组线性表示，则称向量组A可由向量组可由向量组 B 线性表示，若两个向量组可以互线性表示，若两个向量组可以互相相线性表示线性表示，则称这两个向量组是，则称这两个向量组是等价等价的的. .12:,mA 12:,tB 推论推论1 1 若向量组若向量组 的秩为的秩为r，则，则 中中任何

11、任何r+1+1个向量都是线性相关的个向量都是线性相关的. .1,s1,s定理定理1 1 设向量组设向量组 能由向量组能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵的秩等于矩阵 的秩的秩. .12:,tB 12:,sA 12(,)sA 11( , )(,)stA B 推论推论2 2 向量组向量组 与向量组与向量组 等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是 . . 12:,tB 12:,sA ( )( )( ,)R AR BR A B例例1 1 设设 ，证明向量，证明向量b能由向量组能由向量组 线性表示线性表示. .12311111210,21432301b123, 解解 根据定理根据定理1 1，要证矩阵，要证矩阵 与与 的的秩相等秩相等. .为此，把为此，把B化成行最简形：化成行最简形：123(,)A ( , )BA b14122 1231 1111111