一阶线性微分方程组

1、第4章一阶线性微分方程组内容提要1.基本概念一阶微分方程组：形如dyi dx dy2 dxfi(x,yi,y2, ,yn)f2 (x, yi, y2, yn)()的方程组，(其dyndxfn (x, yi, y2, yn)中yi,y2, ,yn是关于x的未知函数)叫做 一阶微分方程组若存在一组函数yi(x), y2 (x), yn (x)使得在a,b上有恒等式dy'(x)fi(x, yi(x), y2(x), yn(x)(ii,2,n) 成dxyi(x), y2(x), yn (x)称为一阶微分方程组的一个含有n任意常数Ci ,C2, ,Cn的解yiy2i(x,Ci,C2,2(x,Ci

2、,C2,Cn),Cn)yn3(x,Ci,C2,Cn)称为通解。如果通解满方程组i(x, yi, y2,(x, yi, y2,yn,Ci,C：,yn,Ci,C,Cn),Cn)(x, yi, y2, 则称这个方程组为()的,yn,Ci,C2, 通积分。C)满足初始条件yi(x0)yi0 , y2( x0 )y20 ,yn(x0)yn0，的解，叫做初值问题的解。令n维向量函数Y (x) =yi(x)y2 (x),F ( x, Y)=fi (x, yi ,y2,f2 (x,yi,y2,yn ),yn)yn(x)fn (x, yi, y2, ,yn)dY(x) dxdyi dx dy2 x/ dx ，

3、F (x) x0 /xfi(x)dx x0/ xf2(x)dx x0dynxfn(x)dxdx则()可记成向量形式;Y F(x,Y), dx初始条件可记为x0y10丫(X0 )=丫0 淇中 丫0则初值问题为：dX F(x，Y)Y(x0) Y0一阶线性微分方程组y20y nodyi dx dy2 :形如 dxaii(x)yiai2(x)y2a2i(x)yia22(x)y2dynani (x) yi aM2(x)y2 dxain(x) fi(x)a2n (x)f2 (x)ann (x) fn(x)一阶微分方程组，叫做一阶线性微分方程组令aii(x)A(x)=ani(x)ain(x)及 F( x)=

4、ann (x)fi(x)f2(x)fn(x)则的向量形式：墨 A(x)Y F(x)F(x) 0 时 dxA(x)Y称为一阶线性齐次方程组式称为一阶线性非齐次方程组all ai2a2i a22aina2nani an2 anndY dxAYF(x)叫做常系数线性非齐次微分方程组dY dxAY叫做常系数线性齐次微分方程组dYdx2. 一阶线性微分方程组的通解结构 .定理1 (一阶线性微分方程组解存在唯一性定理)：如果线性微分方程组A(x)Y F(x)中的A(x)及F(x)在区间I= a,b上连续，则对于a,b上任一点X0以dY及任意给定的丫0,万程组 A(x)Y F(x)的满足初始条件的解在a,b

5、上存在且唯dx1)向量函数线性相关性及其判别法则定义：设Y(x),Y2(x), Ym(x)是m个定义在区间I上的n维向量函数。如果存在m 个不全为零的常数 Ci,C2,Cm,使彳#CiY(x) C2Y2(x)CmYm(x) 0恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关；否则它们在区间I上线性无关。 判别法则：定义法朗斯基(Wronski )行列式判别法： 对于列向量组成的行列式、yii(x)yin(x)W(x)/yni(x)ynn(x)/通常把它称为n个n维向量函数组Yi(x), Y2 (x), Yn (x)的朗斯基(Wronski )行列式。定理i如果n个n维向量函数组Yi(x),Y2(x

6、), Yn(x)在区间I线性相关，则们的朗斯基(Wronski )行列式 W(x)在I上恒等于零。逆定理未必成立。如：Yi(x)Y2(x)2x朗斯基行列式 W(x)在I上恒等于零，但它们却是线性无关。定理2如果n个n维向量函数组Y1(x),Y2(x), Yn(x)的朗斯基(Wronski)行列式W(x)在区间I上某一点xo处不等于零，即W(xo) 0,则向量函数组Yi(x),Y2(x), Yn(x)在区间I线性无关。逆定理未必成立。同前例。dY 但如果Yi(x),Y2(x), Yn(x)是一阶线性齐次微分方程组 A(x)Y的解，则上述dx两定理及其逆定理均成立。即dY7E理3 一阶线性齐次微分

7、万程组一 A(x)Y的解Yi(x),Y2(x), Yn(x)是线性无dx关的充要条件是它们的朗斯基( Wronski)行列式 W(x)在区间I上任一点x0处不等于零；解Yi(x),Y2(x), Yn(x)是线性相关的充要条件是它们的朗斯基(Wronski )行列式W(x)在区间I上任一点x0处恒等于零2).基本解组及其有关结论定义：一阶线性齐次微分方程组判别：一阶线性齐次微分方程组dY dx dY dxA(x)Y的n个线性无关解称为它的 基本解组A(x)Y 的解 丫 (x),Y2 (x),Yn (x)是一个基本解组的充要条件是它们的朗斯基(Wronski )行列式W(x)在区间I上任一点x0处

8、不等于零。 dY结论：一阶线性齐次微分万程组 A(x)Y必存在基本解组。dx基本解组有无穷多个。人、dY3) 一阶线性齐次微分方程组 A(x)Y通解的结构 dxA(x)Y的基本解dY定理：如果Y1(x),Y2(x), Yn(x)是线性齐次微分方程组dx组，则其线性组合Y (x) OKx) C2丫2(x)CnYn(x)是线性齐次微分方程-dY 组 A(x)Y的通解。dx结论： 线性齐次微分方程组 dY A(x)Y的解的全体构成一 n维线性空间。dx4)解与系数的关系，即刘维尔公式"/dY 定理：如果X(x),Y2(x), Yn(x)是线性齐次微分方程组 A(x)Y的解，则dxdY早.这

9、n个解的朗斯基行列式与线性齐次微分方程组一 A(x)Y的系数的关系dxxail(t) 322 (t)ann(t) dtW(x) W(xo)eX0此式称为刘维尔(Liouville )公式.由此公式可以看出 n个解的朗斯基行列式 W(x)或者恒为零，或者恒不为零akk(x)称为矩阵A(x)的迹。记作trA(x)。k 1一阶线性非齐次方程组的通解结构dY_定理(通解结构定理)：线性非齐次万程组 一 A(x)Y F(x)的通解等于对应的齐 dx次微分方程组dY dxA(x)Y的通解与dY A(x)Y F(x)的一个特解之和。即 dxdY dxAY F(x)的通解为Y(x)CiY(x) C2Y2(x)

10、一 一CnYn(x) Y(x)解,其中CiYi(x) C2Y2J)CnYn(x)为对应的齐次微分方程组、)、 dYY(x)是 A(x)Y F (x)的一个特解。dx求通解的方法一一拉格朗日常数变易法：对应的齐次微分方程组dY A(x)Y 的通 dxdY A(x)Y 的一个 dx基本解组Yi(x),Y2(x), Yn(x)构成基本解矩阵yil(x)yin(x)(x)yni(x)y nn(x) dY A 、，齐次微分方程组A(x)Y的通解为dxCi八C2Y(x) (X)C其中 CdY线性非齐次万程组 AY F(x)的通解为dxx1Y(x) (x)C (x) I(t)F(t)dtoxoX结论：线性非

11、齐次方程组 dY A(x)Y F(x)解的全体并不构成n+i维线性空间。dx3.常系数线性微分方程组的解法基本解组的求解方法）常系数线性齐次微分方程组的解法：若当标准型方法（ 求特征根：即特征方程式aiiai2ain/ a?i a22a2n _det(A- E)0anian2ann的解。根据特征根的情况分别求解：特征根都是单根时，求出每一个根所对应的特征向 量，即可求出基本解组；单复根时，要把复值解实值化；有重根时，用待定系数法求出相应 的解。（详略）常系数线性非齐次微分方程组的解法：求相应的齐次微分方程组的基本解组； 用待定系数法求特解。（详略）'.典型例题及解题方法简介(i)化一阶

12、线性微分方程组：有些高阶线性微分方程或高阶线性微分方程组, 的函数代换，化为一阶线性微分方程组。例1化如下微分方程为一阶线性微分方程组：可以通过合理d2ydxdy p(x)dxq(x)y解：令y原微分方程化为等价的一阶线性微分方程组：yi,dydx丫2则dyidxdyidxdy2dxy2,2.d yidy2,2-dx dxp(x)y2 q(x)yiP(x)y2 q(x)yi 0 dx例2化如下微分方程组为一阶线性微分方程组:d2x dt2 t3电 dt2x 0解：令xxi ,dxx2 , yx3,则有dxidtx2dydtdx3dt原微分方程组化为等价的一阶线性微分方程组:dtdx2dtdx3

13、dtx2x32xit3一般线性微分方程组的求解问题dY对于一般线性齐次微分万程组 A(x)Y ,如何求出基本解组，至今尚无一般 dx方法。一些简单的线性微分方程组可以化为前面两章学过的微分方程来求解。消元法(化方程组为单个方程的方法)例3求解方程组dx t dt虺dt2x解：有前一个方程解出dydtytx dx-zt dtyty并求导，有x 1 dx t2 t dtd2x dt2代入后一方程化简得A0,则有 d 2x/dt20,积分得x C1 C2txdxCiC2t八ccCiy - C22c21t dt tt原方程组的通解为xCiC2t,1 2 (t 0)y Ci t 2c2常系数线性微分方程

14、组在教材中介绍了若当标准型方法，其实两个方程构成的简单dxy1dtdyx1dt解：由前一方程得yx 1yxx 10其通解为xCC2e t从而yx 1C1et常系数线性微分方程组我们还可以用消元法求解。 例4解方程组所以通解为x代入后一方程，得常系数二阶线性方程1C2e t 1x C1eC2e t 1y C1et C2e t 1例5解方程组x3x 8yy x 3y x(0) 6, y(0)2解：由第二式得x 3y yx 3y y代入第一式得y y 0C2e t代入x 3y y得6 4cl 2C22 C1 C2从而可求得y C1etx 4clet 2C2e t将t 0代入上述两式得解得C1C21所

15、以原方程组的解为ttx 4e 2et ty e e（三）常系数线性齐次微分方程组dY AY的通解问题dxdY - 一虽然一般线性齐次微分万程组 A（x）Y，如何求出基本解组，至今尚无一般方法,dxdY但是常系数线性齐次微分万程组 AY通过若当标准型方法，从理论上已经完全解决，dx根据特征根情形分别采取不同的求解方法，教材上都一一作了详细的讲解，在此不再多讲。在此我们介绍一种通用的方法一一待定系数法步骤：解特征方程式det(A- E)a2iai2a22ana2n0,得特征根;an1an 2ann根据根的重数，求出对应于每一个根的解式dY设入是线性齐次微分万程组. AY是k重根（单根为k=1）,则

16、线性齐次微分dxdY .dx万程组 AY对应入的解式为XiX2(C11(C21Cl2tC22tC1ktk1)etC2ktk1)etXn(Cn1Cn2tCnktk 1)et其中 Cij (i 1,2,n, j1,2,、，一,d . 一 dY,k）为待定常数，将此解式代入dXAY中，比较两端同类项的系数，得一关于 Cj的线性代数方程组，解之即可定出Cij °把对应于每一个根的解式相加，即可得到 dY AY的通解。dX例6 （均为单根的情形，教材 170页例3.5.1）解方程组解：特征方程为3xy z5y z3z=0即 3 11 2 36解之得特征根2时令待定解为X1解得362, 23,

17、32t1e，y1（均为一重）2t1e , Z1隹2t代入原方程组，化简得10,C1为任意常数,1C12的解式为:同理对应于X1y1Z1C1e2t0C1e2t23的解式为:X2V2C2eC2e3t3tZ2对应于36的解式为:C2e3t通解为:例7 （特征方程有复根的情形）X3y32x5yZ3C3e6t2c3e6tC3e6tC1e2tC2e3tC3e6tC?e3t 2c 3e6tC1e2tC2e3tC3e6t解方程组：解：特征方程为=0即 290 i,23i都是单根象例6可得对应i 3i的特解:3 itXi5e , yi(i 3i)e3it因为原题是实系数的方程组，所以x2x1 5e 3it, y

18、2 yi (i 3i)e 3it是2 3i的特解且ReXi,Reyi及Im Xi, Im yi为原题的实线性无关解。（注：若z aRez=a,Imz=b）所以复通解为5cle3it 5c2e 3it实通解为:(1 3i )Cie3it(i 3i)C2e 3it5Ci cos3tCi (cos3t5c2 sin3t3sin3t) C2(sin3t 3cos3t)例8 （特征方程有重根的情形）解方程组x 2x yy 4y x._ 、 ,21解：特征万程为=0142即 69 0;解得入=3是两重根 即k=2对应的待定解式为x( iit)e3ty ( 22t)e3t代入原方程并比较两边的同次哥的系数，得3 13 23 13 2解得，2令1C1C2得通解为(C(CC2t)eC2(3tC2t)e3t(四)常系数线性非齐次微分方程组根据常系数线性非齐次方程组dY dx dY dxAY F(x)的通解问题AY F(x)的通解等于对应的常系数齐次微分dY dY dY万程组 dY AY 的通解与dY AY F(x)的一个特解之和。即 " AY F(x) dxdxdx的通解为 Y(x) C1Y