一元二次方程根的分布测试及答案

1、一元二次方程根的分布元二次方程根的基本分布一一零分布所谓一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方 程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小, 或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程ax2 bx c 0a 0)的两个实根为 , X2 ,且X1X2【定理1】X 0 , X2 0(两个正根)b2 4ac 0推论：X10 , x20 a 0或f(0) c 0 b 0上述推论结合二次函数图象不难得到。【例1】若一i元二次方程(m 1)x2 2(m.2 b 4ac 0b ，Xi X2-0a c X1X20a b2 4ac 0a 0 f(0)

2、c 0 b 01)x m 0有两个正根，求m的取值范围分析：依题意有24(m 1) 4m(m 1) 02(m 1) 00<m<1。m 1【定理2】x1 0 ,m 1b2 4ac 0X20 XX -0 5X1 X20 /a推论：Xi L 0 , X2c -X1X2-0a,22_b 4ac 0 、 b 4ac 0 0 a 0或 a 0f(0) c 0f (0) c 0b 0b 0由二次函数图象易知它的正确性。【例2】若一元二次方程kx2 3kx k 3 0的两根都是负数，求k的取值范围。(k 丝或k>3)5【定理3】x1 0 x2 c 0精心整理【例3】k在何范围内取值，一元二次

3、方程kx2 3kx k 3 0有一个正根和一个负根？分析：依题意有 幺f<0=>0<k<3 k【定理4】xi 0 , X2 0 c 0且B 0；ab 一x10, x20 c 0 且一0。a【例4】若一元二次方程kx2 (2k 1)x k 3 0有一根为零，则另一根是正根还是负分析：由已知k3=0,. k=3,代入原方程得3x2+5x=0,另一根为负。二.一元二次方程的非零分布k分布设一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的两实根为x1，x2,且x x2。k为常数。.2b 4ac 0【定理1】k x1 x2则一元二次方程根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下

4、若干定理。af (k) 0b k2a【定理2 x1x2 kb2 4ac 0af(k) 0b2a【定理3 x1 k x2af (k) 0。推论 1 x1 0 x2ac 0 o推论 2x1 1 x2a(a b c) 0。【定理4】有且仅有k1 x1 (或x2)k2f(k1)f(k2) 0【定理 5】k1x1k2P1X2 P2a 0a 0f (k1)0f (k1)0f(k2)0 或f(k2)0f(P1)0f(g0f(P2)0f(p2)0此定理可直接由定理4推出，请读者自证【定理 6 k1 x1 x2 k2b2 4ac 0 b2 4ac 0a 0a 0f(k1) 0 或 f(k1) 0f(k2) 0f

5、(k2) 0k1b2ak2k1b2ak2三、例题与练习【例5】已知方程x2(129 12 m )4(2)若一元二次方程11x2 mxm 2 0的两实根都大于1 ,(m 1)x 3 0的两个实根都大于求m的取值范围。-1 ,求m的取值范围。(3)若一元二次方程(m 1或m 52【例6】已知方程x22 mx2.6 )(m 1)x 3 0的两实根都小于2,求m的取值范围。围。(2)(3)2已知方程(1m2已知方程2x2)3x2 (m2mx 2m2 3 0有一*根大于二)22)x 2m 1 0有一实根在2,另一根比2小，求m的取值范0和1之间，求m的取值范围。(m 2)x 2m 10的较大实根在0和1

6、之间，求实数m的取值范围。变. / /式：改为较小实根(不可能；1m 2)2(4)若方程x2 (k 2)x k 0的两实根均在区间(1、1)内，求k的取值范围。(4 2V3 k -)2(5)若方程x2 (k 2)x 2k 1 0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围。(1k 2) 23(6)已知关于x的方程(m 1)x2 2mx m2 m 6 0的两根为、且满足01,求m的取值范围。(3m "或2 m V7)【例7】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1, 2)内，求m的 范围.(

7、2)若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函 数性质所具有的意义.技巧与方法：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(一1,0)和(1, 2)内，画出示意图，得f(0)2m10,2mRf( 1)20,Af(1)4m20,m12f(2)6m505m61m(2)据抛物线与X轴交点落在区间f (0) 0(0, 1)内，列不等式组f(1)0 0，0 m 11.提示:2.范围。提示:12，12，1 一 2或 mm 0.若

8、方程4x(这里0<n<1是因为对称轴x=m应在区间(0 , 1)内通过)v2,(m 3)?2x m 0有两个不相同的实根，求m的取值范围令2x=t转化为关于t的一元二次方程有两个不同的正实根。答案:若关于x的方程lg(x2 20x)lg(8x 6a3)0有唯一的实根，求实数o0<m <1a的取值原方程等价于x2 20xx 20x08x即6a 3令 f(X) =x2 + 12x+6a+311 (1)若抛物线 y=f(x)与 x 轴相切，=144 4(6a+3)=0iPa=-2-o将a =U代入式有x=6不满足式，2”(2)若抛物线y=f(x)与x轴相交，注意到称轴为x=6

9、,故交点的横坐标有且一个满足式的充要条件是2.11a2其对 仅有f( 20) 0f(0)当0163a6:时原方程有唯一解。另法:原方程等价于 x2+20x=8x6 a 3(x<20 或 x>0)问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y =8 x 6a3 与抛物线 y= x2+20 x(x< 20 或 只有一个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条精心整理16寸3x >0)有且件下它们有且只有一个公共点却不明显，可将变形为 x2+12 x+3= -6a(x<-20或x>0),再在同一坐标系中分别也作出抛物线 y= x2+12 x+3和直线y = 6a ,如图，显然当3<6aWl63即 唾 a 1时直线y = 6a与抛物线有且只有一个公共点。 623. 已知 f (x) =(xa)(x b)2(a<b),并且， 是方程 f(x) =0 的两根(< ),则实数a , b ,、 的大小关系是()A、<a<b<B、a < <<bC、a<<b<D、<