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1、勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理 主讲教师:宗福琦主讲教师:宗福琦一、勾股定理:一、勾股定理:例1.已知:ABC中,ACB90,以它的各边分别为边在三角形外作三个正方形,S1、S2、S3分别表示它们的面积.若S120,S360,求S2.S S1 1S S2 2S S3 3ABC解:在RtABC中, AB2AC2BC2, AC2AB2BC2602040. 即S240.(一)定理:(一)定理:经过证明被确认正确的命题叫做定理.(二)直角三角形中已学过的知识:(二)直角三角形中已学过的知识: 1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边长 分别为a、b,斜边长为c,那么a+b=c. 或者a=c-b,b
2、=c-a. 2.在直角三角形中,30角所对的边长等于 斜边的一半. 3.面积公式:直角三角形中,若h是斜边c上 的高.1.2ACAB11. .22ABCSabchabchABCacb30oBCAACBabDh例2.在RtABC中,C90o,A、B、C的对边分别为a、b、c.(1)若a:b=3:4,c=75cm,求b及c边上高.解:设a=3x,b=4x. 在RtABC中,a2+b2=c2,9x2+16x2=752, x2=225,x=15(负舍) . a=45,b=60. 即b=60,h=36.(2)若c-a=4,b=16,求a和c.解:在RtABC中,C2=a2+b2, 又c-a=4, c=a
3、+4. c2=(a+4)2. 由、可得,a2+b2=a2+8a+16, 8a=240, a=30. c=30+4=34. 即a=30, c=34为所求.45 6036.75abhc例3.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米.一阵风吹来,红莲吹到一边,花朵齐及水面.已知红莲移动的水平距离为2米,求这里的水深.x1+x12ACB解:设水深为x米. 在RtABC中, BC2=AB2+AC2. (1+x)2=x2+22. 1+2x+x2=x2+4, x=1.5. 即这里的水深1.5米.例4.在一棵树的10米高处有两只猴子,其中一只爬下树,走向离树20米处的池塘,而另一只爬上树顶后直扑池塘.如果两只
4、猴子所经过的距离相等,问这颗树有多高?ABCD1020 xy解:设AB=x,AD=y,则x+y=30. 在RtACD中,AD2=AC2+CD2, y2=(x+10)2+202. 即(30-x)2=(x+10)2+202. 900-60 x+x2=x2+20 x+100+400, 80 x=400, x=5. AC=5+10=15.即这颗树高为15米. 二、勾股定理的逆定理二、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角 三角形.逆定理:逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它 也是一个定理,那么称它为原定理
5、的逆定理.例5.说出下列各命题的逆命题,指出它是否为真命题, 并说明理由.(1)如果几个角是直角,那么这几个角都相等. 如果几个角相等,那么这几个角是直角.(2)如果|a|=|b|,那么a=b. 如果a=b,那么|a|=|b|.(3)角的平分线上的点到角的两边距离相等. 到角两边距离相等的点在角的平分线上.(4)如果三角形有一个角是钝角,那么它的另外 两个角是锐角. 如果三角形有两个角是锐角,那么它的另外 一个角是钝角.假命题假命题真命题真命题真命题真命题假命题假命题例6.已知,如图,四边形ABCD中, ABBC,AB=1,BC=2, CD=2,AD=3. 求:四边形ABCD的面积.解:连AC
6、, 在RtABC中,AC2=AB2+BC2=5.(勾股定理) 在ACD中,AC2+DC2=5+4=9, AD2=9. AD2=AC2+CD2, ACD=90o(勾股定理逆定理) S四=SABC+SACD=1115.22AB BCAC CD ABCD例7.已知,如图,在正方形ABCD中,F 为CD的中点,E为BC的四等分点. 求证:AFEF.ABCDEF证明:连AE, E是BC的四等分点,设CE=a,BE=3a. F是CD的中点,则DF=CF=2a. 在RtADF中,AF2=AD2+DF2=20a2. 在RtEFC中,EF2=CE2+CF2=5a2. AF2+EF2=25a2. 在RtABE中,AE2=AB2+BE2=25a2. AE2=AF2+EF2. AFE=90o. ( ? ) 即AFEF.例8.如图所示,某建筑物一层大厅的楼梯高3m,测得楼梯的斜面长5m,宽
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