2020高考数学二轮复习难点12推理与新定义问题教学案文

1、【2019最新】精选高考数学二轮复习难点2-12推理与新定义问题教学案文随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了 以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型脱 颖而出，为高考试题增添了活力.纵观近年各地高考的创新题型，不难发现，推理与“新定义”型这种题目是高考试题的一大热点. 所谓“新定义”型问题，主要是指在 问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、 新运算、新符号，要求学生读懂题 意并结合已有的知识、能力进行理解， 并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种 题型.这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧

2、妙，题 意新颖，是考察学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而它受到命题者 的青睐.一.新定义以新课标内容为背景，这种类型的问题很多，一般是以新课标教材内容为背景，给出 某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过 推理、运算等寻求问题解决.纵观这几年的高考试题，可以发现，“新定义”型问题 按其命题背景可分为三种类型：以新课标内容为背景、以高等数学为背景、以跨学科 为背景.现就相关类型作探讨：1 .新定义集合所谓“新定义集合”，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较

3、高的抽象思维和逻辑推理能力.由于此类题目编制角度新颖，突出能力立意，突出学 生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟 试题和高考试题中出现频繁出现.下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集 合元素的三要素：确定性，互异性，无序性.例1.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“理想集合”.给出下列4个集合：；.其中所有“理想集合”的序号是() 1、M (x,y)|y f(x)(Xi,yi) M(x2,y2) Mx? y. 0 M M (x, y) | y XxM ( x, y)| y sin x M ( x, y) | y e 2 M ( x, y

4、) | y Ig xA.B. C.D.【答案】B【解析】由题意得，设盘/a上现布小。，又巧巧叱可知53,55,对于项，='是以工了轴 X为日丽线的双曲柒，渐近的夹角为9。口所以当点,九8在同一支上时J44Q8V9Q，当点B不 在同一支上时，乙皿孙，不存在至一方，的不正确j喷，逋过对图象的分析发现对于任意的点都能找到对应的点，使得成立，故正确；项由图象可得，直角始终存在，故正确;项，由图象可知，点在曲线上不存在另外一个点，使得成立，故错误；综合正uuu uuu uuu uuu确，所以选 B. A BOA OB(1,0)OA OB点评：本题主要考查的是平面向量数量积的应用，元素与集合的关系

5、，数形结合的思想，推理分析与综合运算能力，属于难题，此类新定义问题最主要是弄明白问题的实 质是什么，对于此题而言，通过可得出就是在函数的曲线上找任意一个点都能找到一个点，使得成立，找到新定义的含义了，剩余的选项中都是我们所熟知的基本初等函数，可通过数形结合分析即可求解，所以对新定义的转化能力是解这类问题的关uuu uuu键.xix2 y1y2 0 A B OA OB2 .新定义函数例2.12018湖南株洲两校联考】设函数f (x)的定义域为D,若f (x)满足条件:110,1 %0，4存在a, b? D （a b）,使f （x）在a , b上的值域也是a, b,则称为“优美函 数”，若函数为“

6、优美函数”，则t的取值范围是（）f x 10g2 4x tA. B. C, D.【解析】x）=1嗥代+才）为增留她 存在，间匚间"）横"M在卜上的值域也为k同，则 1 ,即7 /5是方程4止-尸十T二0的两个不等的根设丁 =加，1哈（4韦）=合炉+ "2-'一 / /十=。有两个不等的实根，且两根都大于0% 0 I解得J故答案选。评：定义新函数的定义域与值域相同， 先判定函数的单调性，然后转化为函数方程根的情况，本题的关键也是能否转化为函数根的问题，然后求解.例3.若函数在区间上，均可为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函 数”.已知函数在区间上是“三

7、角形函数”，则实数的取值范围为一、. 1A.1 e2 22(一，)(一,e e ef(x) A a b c A f (a) f (b) f (c) f (x) f (x) xln x m ,e m e、e2 2)(，)e【答案】A【解析根据三角形星幽r的定义可知，若任）在区间工上的,'三角影谶r.则/（工）在凡上的最大值和最小值应篇足加2小，由八同=1口什1=0可得工=%所以（»在上单调递斌在上单调递增，二明一1A =f（a=阳+z，所以回心琢2哂一1）0,解得晒的取值范围为（L 5）,故选工占J '、评：本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查考生应用所

8、学知识解决问题的能力，属于中档题.解答本题首先通过给出的定义把问题转化为函数的最值 问题，通过导数研究其单调性，得到最小值，通过比较区间端点的函数值求出最大值， 列出关于参数的不等式，进而求得其范围.m3 .新定义数列例4.【XX市XX区2018届质检】设数列满足：；所有项；.设集合，将集合中的元素的最大值记为.换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值.我们称数列为数列的伴随数列.例如，数列 1,3,5的伴随数列为一*，一*1,1,2,2,3. an ai1 anN 1 aia?ana-Amn | anm,m NAm bm bm&an m 4 an(1)若数列的伴随数列为1,

9、1,1,2,2,2,3,请写出数列；an an(2)设，求数列的彳随数列的前100之和；an 3n 1 为 b.(3)若数列的前项和(其中常数)，试求数列的伴随数列前项和. an n Sn 3 n2 1 n c c an bn m Tm 22思路分析：(1)根据伴随数列的定义求出数列；(2)根据伴随数列的定义得：，由 对数的运算对分类讨论求出伴随数列的前 100项以及它们的和；(3)由题意和与的关 系式求出，代入得，并求出伴随数列的各项，再对分类讨论，分别求出伴随数列的前项和.ann 1log3mm N m bnan Sn ananm nm_2m Nb1mbim Tm3试题解析:1A7.(2)

10、由/ =m j得科Ml + lcg产| m C 2V* J】当M M 2而E用*时，4=4=1当 3 £明 E&陶 E .V* 时 j?当 9 £ w? K 2® wi W.V* 时 j %=电=3当27 VwiVEO：出亡A广时, 区彳:4公二二石2=4 ,当El M祐4100：步曰V时,与=与；=4工,=5 / ，. + 与 +-+ %=1乂2+2x 6+ 3乂丈51+£火20 = 384(3)，当时,由得：，二.使得成立的的最大值为,当时：，当时:aiS110 n 2 an S1 3n 2 an3n_ _ * _ _N an 3n 23tT

11、mTmTm1 t t 3 t2 t点评:m n bm bi2t3t2 t本题考查数列的应用,b2b3 1,b4bs3t2 tbe2,3t6mm3b3t 2b3t 1b3t3t3t3t,t3t ,t着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题.4 .定义新运算型例5.【四川省xx市2018届12月月考】定义一种运算，若，当有 5个不同的零点日寸，则实数的取值范围是（）aba,abfx 2x x2 4x 3 g x f x m mb,a bA. B. C, D,0,1 0,1 1,3 1,3【答案】A点评：已知函数零点（方程根）的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：

12、（1）直接 法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.一 是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.y g x ,y h x y a, y g x5 .定义新法则型例6. 一个二元码是由0和1组成的数字串，其中 称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由 0变为1,或者由1变为 0）,已知

13、某种二元码 的码元满足如下校验方程组： 其中运算 定义为：.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了 1101101,那么利用上述校验方程组可判定等X4 X5 X6 X70,于.KX2LXnn NXkk 1,2,L ,n kX1X2LX7X2X3X6X70,X1 X3 X5 X70,0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0 k k思路分析：根据二元码及新定义，分析新定义的特点，按照所给的数学规则和要求进 行逻辑推理和计算求得.【答案5【解析】由题意得相同数字经过运算后为不同救字运算后为L由马5%£%£二0可判断后4个数字出错；由为9匹蚀/S毛=0可

14、判断后2个数字没错，艮咄错的是第4个或第5个事由为日丐国葺3尤=。可判断出错的是第5个综上，第4位发生码元错误.点评：本题以二元码为背景考查新定义问题， 解决时候要耐心读题，并分析新定义的 特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目 的.对于新法则，关键在于找到元素之间的对应关系， 我们可以借助图表等方法寻找 它们之间的对应关系，利用对应关系列方程.6 .以高等数学为背景.本类型的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中.此类问题的设计虽来源于高等数学， 但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识

15、和基本技能.这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题.例7.对于使成立的所有常数 M中，我们把M的最大值-1,称为函数的“下确界”，若的“下确界”为x2 2xA、822yM x 2x x, y, z R , x y 2z 0, xz【思路分析】根据“下确界”的定义，将问题转化为求的最小值2 yxz【解析】由且，即，从而,由“下确界”的定义得“下确界”为8 . x, y, z R x y 2z 0 y2x 2z 2.2xz y 2 2 8 xz xzC、 4 D 、12 yxz点评：本题要充分理解题意，准确把握“下确界”的实质是什么？从而转化求的最小 值的

16、问题，运用学过的知识，便能求出相应函数的最值.3以跨学科为背景本类型的题目，主要是介绍数学知识在其他学科或领域的运用，一般都会介绍运用时的知识背景、数学模型，因而题中文字、信息较多.学生必须准确地把握题意、理顺 线索、分析相应数学模型与数学知识的内在联系， 结合学生已有的知识和能力进行推 理、运算.例8.设数列A: , ,().如果对小于()的每个正整数都有 < ,则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.ai a2aN N n 2 n N k ak an n G(A)(1)对数列A: -2, 2,-1 ,1, 3,写出的所有元素；G(A)(2)证明：若数列A

17、中存在使得 >,则；an an a1 G(A)(3)证明：若数列A满足-<l(n=2,3,N),则的元素个数不小于-.aa01 G(A) aN 4思路分析：（1）关键是理解G时刻的定义，根据定义即可写出的所有元素；（2）要证, 即证中含有一元素即可；（3）当时，结论成立.只要证明当时仍然成立即 可.G(A)G(A) G(A) aN ai 3n ai试题解析：GG）的元素为2和5因为存在与使得41A %所以十W叼2, Wh记掰=mill（! eA7*|2 <r<Ar=j.且对在首止整数代科生。/门寸因此所亡仃，从而仃5）*0一（3）当内 £%时，结论成立以下设小

18、 >勺由<11 ）知GM），0设=卜1：打23一.内尸.打1«打工< -记苗s =1则4 v4 <厘的 < 一4凡 对f=QL记。二上三入叫vkMM? 一如果母工0,取个=min % 则对任何】三立 < 加"v% 一从而mt 6改用且叫=3.又因为,是。中的最大元素，所以=打，从而对任意勾0 k *打， 心特别地，口、。月对，= Ol-p-Ldf 的,因此门口 二口* J3*"七 讨所以P心一/ < &.一6= 2（小 一口 >Sp -f-L评：数列的实际应用题要注意分析题意， 将实际问题转化为常用的数列模型

19、， 数列的 综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想（如：求最值或基本量）、转化与化归思 想（如：求和或应用）、特殊到一般思想（如：求通项公式）、分类讨论思想（如：等比 数列求和，或）等.q 1 q 1由上各例可见，“新定义”型的问题，通常是选取合适的数学背景，把新定义、新运算、新符号等巧妙的融入高考试题中来，虽然它的构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强， 到处都体现出新意，但是，它考查的还是基本知识和基本技能， 解题的关键在于全面准确理解题意，科学合理的推理运算.因此，“新题”不一定是“难题”，只有夯实2019 年 基础，掌握好双基，以不变应万变才是我们取胜的法宝.二.推理问题最近几年，在高考数学命

20、题中，在考查考生对基础知识掌握情况的同时,也逐渐加大了 对学生综合应用能力的考查.合情推理创新题型的考查力度增大，要求考生在推理过 程中具备独特的方法和技巧.这类题型在高考试题中的位置较为特殊，尤其是“类比 推理”和“归纳推理”题型.1.类比推理类比推理是由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.类比推理在具体实施过程中，关键是找到两类对象之 间可以确切表述的相似特征.然后，用一类对象的已知特征，去推测另一类对象的特 征，从而得到一个猜想，最后检验这个猜想.它是数学的重要方法之一.要找到类比， 往往需要一点想象力和创新精神，在高中阶段类比方向主

21、要集中在等差数列与等比数 列，平面几何与立体几何，平面向量与空间向量等 例9.已知是的三边，若满足，即，为直角三角形，类比此结论：若满足时，的形状为.(填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形“).a,b,c ABCa2 b2 c2 (-)2 (-)2 1 ABC an bn cn (n N,n 3) ABC c c22naba b2,22-1 a b cc c c c思路分析：本题考查解三角形、类比推理，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化 化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较 难题型.首先判断得最大，则角最大， nncC an bn cn (n

22、N,n 3) a -1c ccosC a b c 00 C ,故该三角形为锐角三角形2ab22.22【答案】锐角三角形【解析】易得最大，则C龟最大J优一方叱3)n _； + _： =1、, 、 j ,kcJ ,故该三角形为锐角三角22nn2.22abab222abc.1 a2 b2 c2 cosC 00 C -c c c c2ab2点评：类比推理是合情推理中的一类重要推理， 强调的是两类事物之间的相似性，有 共同要素是产生类比迁移的客观因素， 类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差 数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起.当然首先是在某些方面有 一定的共性，才能有方法上的类比.一般来说