2020届高考数学理大题精练13含答案

1、17 .为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间(x 2s, x 2s)之外,则认为该零件属 不合格”的零件，其中x,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可得s 15 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(1)求样本平均数的大小；(2)若一个零件的尺寸是 100 cm,试判断该零件是否属于不合格”的零件.18 .如图，在三棱柱 ABC ABQ 中， AC BC 1, AB J2, BC 1,BC 平面ABC.S(2)求二面角A BiB C的余弦值.19 . a,b,c分别为 4ABC的内角 A,B,C

2、 的对边.已知 a sin A 4sin B 8sin A.(1)若 b 1,A ,求 sin B ; 6(2)已知c ,当 ABC的面积取得最大值时，求 ABC的周长. 33220 .已知函数 f(x) 2x mx m 1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f (x)在区间0,)上的最小值为3,求m的值.21 .如图，已知抛物线 E:y2=4x与圆M:(x 3)2+y2=r2(r> 0)相交于A,B,C,D四个点.求r的取值范围；(2)设四边形ABCD的面积为S,当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标.22 .在直角坐标系中，已知圆 M :(x a)2 (y 1)2 a2

3、 1,以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 sin J2平分圆M的周长.(1)求圆M的半径和圆 M的极坐标方程；(2)过原点作两条互相垂直的直线 li,l2,其中li与圆M交于O, A两点，12与圆M交 于O, B两点，求VOAB面积的最大值.23 .已知正实数 a, b满足a b 4(1)求一一的最小值.a b22(2)证明:1,125 b - b17.为了检测某种零件的一条生产线的生产过程，从生产线上随机抽取一批零件，根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图，若尺寸落在区间（x 2s, x 2s）之外,则认为该零件属 不合格”的零件，其中x,s分别为样本平均数和样本标准

4、差，计算可得s 15 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(1)求样本平均数的大小；(2)若一个零件的尺寸是 100 cm,试判断该零件是否属于不合格”的零件.【解】(1) X 35 10 0.005 45 10 0.010 55 10 0.015 65 10 0.03075 10 0.020 85 0.015 95 10 0.005 66.5(2) X 2s 66.5 30 96.5, x 2s 66.5 30 36.5,Q 100 96.5所以该零件属于不合格”的零件18 .如图，在三棱柱 ABC AB1C1中,AC BC 1, AB 行，BC 1, BC 平面ABC.A(2)求二面

5、角A BiB C的余弦值.【解】(1)证明：因为BiC 平面ABC,所以BiC AC因为 AC BC i,AB 点.所以 AC2 BC2 AB2.即 AC BC 又BCI BiC C .所以AC 平面BCG B因为AC 平面AACCi .所以平面AACCi平面BCCiBi(2)解：由题可得 BiC,CA,CB两两垂直，所以分别以 CA,CB,BiC所在直线为x轴,y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则uuruuuA(i,0,0), C(0,0,0), B(0,i,0), B(0,0,i),所以 BBi (0, i,i),AB ( i,i,0)ir设平面ABBi的一个法向量为 m

6、(x, y,z),ir uurir uuuy z 0由 m BB 0,m AB 0.得八,x y 0ir令 x i ,得 m (i,i,i)uuur又CA 平面CBBi,所以平面CBBi的一个法向量为CA (i,0,0).r uuui ,3cos m,CA 33所以二面角ABiBC的余弦值为19 . a,b,c分别为 AABC的内角 A,B,C 的对边.已知 a sin A 4sin B 8sin A.(1)若 b 1,A ,求sinB； 6(2)已知C ,当 ABC的面积取得最大值时，求 ABC的周长.3【解】(1)由 a sin A 4sin B 8sin A,得 a a 4b 8a ,即

7、 a 4b 8.因为b 1,所以a 4.由.sin 一61sin B ，得 sin B(2)因为 a 4b 82j4ab 41/ab ,所以ab 4,当且仅当a 4b 4时，等号成立.11因为 4ABC 的面积 S - absin C - 4 sin v3 .223所以当a 4b 4时，AABC的面积取得最大值，此时 c2 42 12 2 4 1 cos- 13,贝Uc 而， 3所以 ABC的周长为5 Ji3.20 .已知函数 f(x) 2x3 mx2 m 1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若函数f (x)在区间0,)上的最小值为3,求m的值.2斛】(1) f (x) 6x 2mx 2x(

8、3x m)若 m 0,当 x (,0) m, 时，f (x) 0；3当 x 0, m 时.f (x) 0 , 3所以f(x)在(,0), m, 上单调递增，在 0,- 上单调递减 33若m 0, f (x)-0.f (x)在R上单调递增若 m 0,当 x , m (0,)时，f (x) 0 ；3m,0 时.f (x) 0 , 3所以f (x)在m ,(0,)上单调递增，在3-,0上单调递减3(2)由(1)可知，当0时，f(x)在0,)上单调递增，则f (X)min f (0) m3 .则m -4不合题意当m 0时,f (x)在0,m上单调递减，在 3上单调递增.则 f (X)min2m3273

9、m .m 193,即3 m27又因为g (m)一 m27单调递增，且g(3)综上，m21.如图，已知抛物线 E:y2=4x与圆M:(x 3)2+y2=r2(r> 0)相交于A,B,C,D四个点.(1)求r的取值范围；(2)设四边形ABCD的面积为S,当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标.【解】(1)联立抛物线与圆的方程4x,(x 3)2 y24 4(9所以 29 r2 0,(2)根据(1)可设方程x22x+ 9 r2=0 的两个根分别为 X1,X2(O<X1<X2),消去 y,得 x2 2x+9 r2=0.由题意可知x2 2x+9 r2=0在(0,+8)上有两个不等

10、的实数根，)0解得 2 乏 <r< 3,即 rC (2&,3).所以S= 1 ( AB2则 A(xi,2 , x ),B(X1,2X1),C(x2,2X2),D(x2,2X2)xi+X2=2,xiX2=9 r2,CD ) x2 X1)= (4 Jx1 + 4.7x2 )(x2 X1)2=2x2 2 Jx1x2 X1 XT4x1x2 =2 2 2.9 r2 ', 4 4(9 r2) .令 t=的 r2 > (0,1)f(t)=S2=4(2+2t)(4 4t2)=32(t3+t2 t 1),f(t)=32(3t2+2t 1)=32(t+1)(3t 1),可得 f(

11、t)在(0,1)上单调递增，在(1 ,1)上单调递33，一.1 .减，即当t=1时,四边形ABCD的面积取得最大值.根据抛物线与圆的对称性，可设P点坐标为(m,0),由P,A,D三点共线，可得2厄 2/x1 =x2x1"1，整理得 m=Jx1x2 = t=-,x1m-3所以点P的坐标为(1,0).322.在直角坐标系中，已知圆M : (x a)2 (y 1)22a2 1,以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 sin J2平分圆M的周长.(1)求圆M的半径和圆 M的极坐标方程；(2)过原点作两条互相垂直的直线1i12,其中1i与圆M交于O, A两点，l2与圆M交于O,

12、B两点，求VOAB面积的最大值.【解】(1)将 sin J2化成直角坐标方程，得 x y 24则 a 1 2 ,故 a 1,则圆 M:(x 1)2 (y 1)2 2 ,即 x2 y2 2x 2y 0,所以圆M的半径为亚.将圆M的方程化成极坐标方程，得 2 2 (sin cos ) 0.即圆M的极坐标方程为2(sin cos ).(2)设 1i,：上：2，|oa|1,|OB| 2,则 1 2(sin cos ),用 一代替.可得2 2(cos sin ), 21 2. 2Q l1 l2, &0HB|OA| |OB | 2 cos sin 2cos2 , 2SVOAB max23.已知正实数 a, b满足a b 4（1）求1 -的最小值.a b22(2)证明：