2020-2021中考数学相似综合经典题含答案

1、2020-2021中考数学相似综合经典题含答案一、相似1.如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移 1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象.函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A.函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点 B,和x轴的交点为点 C, D (点D位于点C的左 侧).(1)求函数y=ax2+bx+c的解析式；(2)从点A, C, D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；(3)若点M是线段BC上的动点，点 N是4ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的RtAAMN , >AAMN的面积

2、为 ABC面积的1 ?若存在，求tan Z MAN的值；若不存在， 请说明理由.【答案】(1)解：y=x2+2x+1= (x+1) 2的图象沿x轴翻折，得y=- (x+1) 2 ,把y=- (x+1) 2向右平移1个单位，再向上平移 4个单位，得y= - x2+4,，所求的函数y=ax，bx+c的解析式为y= - x2+4(2)解：. y=x2+2x+1= (x+1) 2 ,A (-1, 0),当 y=0 时，x2+4=0,解得 x=±2 则 D ( 2, 0) , C (2, 0);当 x=0 时，y=-x2+4=4,贝U B (0, 4),从点A, C, D三个点中任取两个点和点

3、B构造三角形的有：AACB AADB, ACDB,. AC=3, AD=1, CD=4, AB；, BC=2 板,BD=2'W ,.BCD为等腰三角形，I构造的三角形是等腰三角形的概率=J(3)解：存在，I H易得 BC的解析是为 y= - 2x+4, Saabc=工 AC?OB=X3X4=6M 点的坐标为(m, - 2m+4) ( 0< m<)2 ,当N点在AC上，如图1 ,.AMN的面积为 ABC面积的Li、-(m+1) (- 2m+4) =2,解得 mi=0, m2=1,当 m=0 时，M 点的坐标为(0, 4) , N (0, 0),则 AN=1, MN=4 ,MN

4、 4 一1. tan Z MAC=4”=4;当 m=1 时，M 点的坐标为(1,2), N (1, 0),则 AN=2, MN=2 ,MN 11. tan Z MAC=初 二=1;当N点在BC上，如图2,图:？BC=正 Sa amn=2 0 ,2卜 * 4AN?MN=2,. 工 BC?AN=二 AC?BC,解得 AN= 入后 §/ MAC=当N点在AB上，如图3,作 AHLBC于 H,设 AN=t,贝U BN=：-t,阳 I由得AH= 5 ,贝U BH=( / NBG=/ HBA,.BNMsBHA,.MN=用AN?MN=2,7只/17 - 6t即上？( V云-t) ?=2,整理得 3

5、t2- 3 5 t+14=0 , = ( - 3) 2-4X3X14= 15< 0,方程没有实数解,点N在AB上不符合条件, 综上所述，tan / MAN的值为1或4或自【解析】【分析】(1)将y=x2+2x+1配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的 函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。(2)先求出抛物线 y=x2+2x+1的顶点坐标 A,与x轴、y轴的交点 D、C、B的坐标，可得 出从点A, C, D三个点中任取两个点和点 B构造三角形的有： AACB, AADB, ACDEI,再 求出它们的各边的长，得出构造的三角形是等腰三角形可能数，利用概

6、率公式求解即可。(3)利用待定系数法求出直线BC的函数解析式及 ABC的面积、点 M的坐标，再分情况讨论：当N点在 AC上，如图1 ;当N点在BC上，如图2;当N点在AB上，如图3。利用AAMN的面积= ABC面积的J,解直角三角形、相似三角形的判定和性质等相关的知识，就可求出 tan / MAN的值。2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax2+bx+c (a>0)与x轴相交于点 A (-(2)联结AC BC,若4ABC的面积为6,求此抛物线的表达式；(3)在第(2)小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点 G与点C,点F与点A关于点Q成中心对称，当4CGF为直角三角形时，求

7、点Q的坐标.【答案】(1)解：二.抛物线y=ax2+bx+c (a>0)的对称轴为直线 x=1,而抛物线与x轴的一个交点 A的坐标为(-1,0)，抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标为(3, 0)设抛物线解析式为 y=a (x+1) (x-3),即 y=ax2- 2ax- 3a,当 x=0 时，y= - 3a,.C (0, - 3a)(2)解：/A ( 1, 0) , B (3, 0) , C (0, - 3a), .AB=4, OC=3a, .Saacb= - AB?OC=6.1 6a=6,解得 a=1,，抛物线解析式为 y=x2 - 2x- 3(3)解：设点 Q的坐标为(m, 0).过

8、点G作GHI±x轴，垂足为点 H,如图,以G 点G与点C,点F与点A关于点Q成中心对称， .QC=QG, QA=QF=m+1, QO=QH=m, OC=GH=3,.OF=2m+1, HF=1,当/ CGF=90 时, / QGH+Z FGH=90 ,° / QGH+Z GQH=90 ；/ GQH=Z HGF, RtA QGH RtAGFH,班fi，用=办，即3,解得m=9, .Q的坐标为（9,0）;当/ CFG=90 时, / GFH+Z CFO=90 ； / GFH+/ FGH=90 ,°/ CFO=Z FGH, RtA GFH RtA FCO, Gh Fh I

9、 3 i二.产匕=ft,即为一 =J ,解得m=4,.Q的坐标为（4, 0）;Z GCF=90不存在，综上所述，点Q的坐标为（4, 0）或（9, 0）.【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得x=0,把x=0代入解析式即可求得点 C的坐标；（2）由（1）的结论可求得 AB=4, OC=3a,根据三角形 ABC的面积=AB?OC=6可求得a的 值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m, 0）.过点G作GH± x轴，垂足为点H,根据中心对称的性质 可得 QC=QG,

10、QA=QF=m+1, QO=QH=m , OC=GH=& 分两种情况讨论：当 / CGF=90时，由同角的余角相等可得/GQH=/ HGF,于是根据有两个角相等的两个三角形相似可得GH QhRtA QGHsRtGFH,则可得比例式 咫 韵， 代入可求得 m的值，则点 Q的坐标可求 解；当/CFG=90°时，同理可彳#另一个 Q坐标。3.如图，在 4ABC中，/C= 90°, AC= 8, BC= 6。P是AB边上的一个动点（异于 A、B两 点），过点P分别作AC BC边的垂线，垂足为 M、N设AP=x.(1)在 ABC 中，AB= ;(2)当x=时，矩形PMCN的周

11、长是14;(3)是否存在 x的值，使得4PAM的面积、4PBN的面积与矩形 PMCN的面积同时相 等？请说出你的判断，并加以说明。【答案】(1) 105(3)解：PMXAC, PN± BC,/ AMP=/ PNB=/ C=90o. .AC/PN, ZA=Z NPB. AMPs PNBs ABC.当P为AB中点时，可得 AAMPAPNB此时 Samp=Sxpnb=二 X 4X 3=6而 S 矩形 pmcn=PM-MC=3 4=12.所以不存在x的值，能使 AMP的面积、4PNB的面积与矩形 PMCN面积同时相等【解析】【解答】(1)4ABC为直角三角形，且 AC=8, BC=6,AB

12、=4 1 + EC=+ * = "(2 ) PMXAC PN! BC.MP / BC, AC/ PN (垂直于同一条直线的两条直线平行)，"好 PN BF比 AL, AC Ah. AP=x, AB=10, BC=6, AC=8, BP=10-x,BC 'AP 6384(10 - x) 打-(10 - x) = S - xAB1055x=5;.矩形 PMCN 周长=2 (PM+PN) =2 (J x+8- x) =14,解得【分析】在 ABC中，/C=90, AC=8, BC=6根据勾股定理，可求出 AB的长；AP=x,可以得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解

13、方程得到x值.可以证明 AMPs PNBA ABC,只有当 P 为 AB 中 点时，可得 AMP0PNB, 此时 Saamp=Spnb , 分别求出当 P为AB中点时4PAM的面积、4PBN的面积与矩形 PMCN的 面积比较即可.4.综合题(1)【探索发现】如图，是一张直角三角形纸片，/ B=90。，小明想从中剪出一个以 / B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多 少.(2)【拓展应用】如图，在4ABC中，BC=a, BC边上的高 AD=h,矩形PQMN的顶点

14、P、N分别在边 AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形 PQMN面积的最大值为多少.(用含 a, h的代数 式表示)(3)【灵活应用】如图，有一块 缺角矩形'ABCDE AB=32, BC=40, AE=20, CD=16,小明从中剪出了一个 面积最大的矩形(/B为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积.(4)【实际应用】如图，现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量 AB=50cm, BC=108cm, CD=60cm,且M、N在边BC上且面积最大的矩形tanB=tanC= '1 ,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点PQMN,求该矩形的面积.【答案】(1)解：.EF、ED为4A

15、BC中位线,I.ED/AB, EF/I BC, EF= BC, ED= AB,又 / B=90°,四边形FEDB是矩形,5噂呼E如EF*DE2 21s ABC/J Z-B*BC二期 W(2)解:. PN/BC,.APNAABC,PN ALJPN=a-设 PQ=x,当PQ=上时,(3)解：如图H,取BF中点I, FG的中点K,G,延长AE、CD交于点(32+16) =720,H,贝U S矩形pqmn=PQ?PN=x (a-力 x)=-力 x2+ax=J (x-二)cf/j-S矩形pqmn最大值为 1 ,延长 BA、DE交于点F,延长 BC、ED交于点 . AB=32, BC=40, A

16、E=20, CD=16, .EH=20、DH=16, .AE=EH CD=DH, 在 AEF和AHED中，E/ B=ZC,.EB=EQ,. BC=108cm,且 Ehl± BC,.BH=CH= BC=54cm, Eh 4tanB=I.EH= J BH= J X 54=72cm在 RtA BHE 中,BE=、H + 册=90cm , .AB=50cm,AE=40cm,.BE的中点Q在线段AB上, .CD=60cm, .ED=30cm,CE的中点P在线段CD上，中位线PQ的两端点在线段 AB> CD上,由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为B BC?EH=1944cn2 ,答：

17、该矩形的面积为 1944cm2 .【解析】 【分析】（1）由三角形的中位线定理可得ED/ AB, EF/ BC, EF= BC, ED=-FEDB是平行四边形，而AB,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形/B=90；根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形FEDB是矩形，所以torsos 即 * PE-BC *-AB99一 =逑*BCPN Ab(2)因为 PN/ BC,由相似三角形的判定可得APNMABC,则可得比例式 3r 也，即PNh - PQaa:.2 PA 曰一二居 _ _ 曰一二， 日 力，解得力，设 PQ=x ,贝US矩形pqmn=PQ?PN=x( h)a吊 牙助

18、 己H 广 ) |3Jf = 一 f T-Ih”-',因为 工 0,所以函数有最大值，即当 PQ=时，ahS矩形pqmn有最大值为 了 ；(3)延长 BA、DE交于点F,延长BC ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF中点I, FG的中点K,由矩形的判定可得四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得AE=EH、CD=DH,于是 用角边 角可得 AEH HED ,所以 AF=DH=16,同 理可得AB 乖 AN._. 一班 CDGAHDE,则CG=HE=20所以? =24,BI=24v 32,所以中位线 IK的两端点1 1在线段AB和DE上，过点K作KLA BC于点L,由(

19、1)得矩形的最大面积为 工X BG? BF=-X (40+20) 乂 (32+16) =720;(4)延长 BA、CD交于点E,过点E作EHL BC于点H,因为tanB=tanC,所以/ B=/C,1i 4贝U EB=EC由等腰三角形的三线合一可得BH=CH= BC=54cm；由tanB可求得 EH=BH= 3X 54=72cm在 RtBHE中，由勾股定理可得 BE=90cm所以AE=BE-AB=40cm 所以 BE的中点Q在线段AB上，易得CE的中点P在线段CD上，由(2)得矩形PQMN的最大面积为 /B BC?EH=1944cm2 5.已知 A (2,0) , B (6,0) , CB&#

20、177;x 轴于点 B,连接 AC画图操作:(1)在y正半轴上求作点 巳使得/APB=/ ACB (尺规作图，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，1 若tan / APB 士 ,求点P的坐标。当点P的坐标为 时，/APB最大(3)若在直线yJ x+4上存在点P,使得/APB最大，求点P的坐标F/Q ； B ;【答案】(1)解：/APB如图所示；理解应用：(2)解：如图2中,AB=4, y轴于P和/ Ab./APB=/ ACB,tanZ ACB=tanZ APB=2=Bt . .A (2, 0) , B (6, 0)BC=8, .,.0 (6, 8) , ，AC的中点K (4, 4),以K为圆

21、心AK为半径画圆， jlP；易知 P (0, 2) , P' (0, 6) . ; ( 0, 2 拓展延伸：(3)解：如图3中，当经过AB的园与直线相切时，/APB最大.二直线y=-x+4交x轴于M (- 3, 0),交y轴于 N (0, 4) .MP 是切线，.MP2=MA?MB , MP=3 ,作 PKiL OA 于【解析】【解答】解：(1)当。K与y轴相切时，/APB的值最大，此时 AK=PK=4,AC=8,BC="月"一.蛙=4 /，C (6, 4 1,，K(4, 2 4),，P(0, 2J').【分析】(1)因为CB± x轴于点B,所以/

22、 ABC。要使/APB=/ ACB,只需这两个角 是同弧所对的圆周角。所以用尺规左三角形 ABC的外接圆，与y轴相交，其交点即为所求 作的点P;Ab /(2)由(1)知，/APB=/ ACB,所以 tan/ACB=tan/ APB=* =，已知 A (2, 0) , B (6, 0),所以 AB=4, BC=8,则C (6, 8) , AC的中点K (4, 4),以K为圆心 AK为半 径画圆，交y轴于P和P',易得P (0, 2) , P' (0, 6); 当。K与y轴相切时，/APB的值最大，此时 AK=PK=4 AC=8,在直角三角形 ABC中， 由勾股定理可得 BC/&q

23、uot;一碗N3,则C (6, K (4, 2"),而P在y轴上，所以 P (0, 2;(3)由(2)知，当经过 AB两点的圆与直线相切时，/APB最大。设直线y=5x+4交x轴于M交y轴于N,则可得M ( - 3, 0) , N (0, 4),因为MP是切线，所以由切割线定 理可得 MP2=MA?MB,可求得 MP=3,氏 作PK± OA于K.所以ON/ PK,由相似三角形的ON 0M 幽_ 5.象 胞判定定理可得比例式 乃 逃 好,即房网工解得PK=5，MK= 5 ,所以可得OK=岳-3,则 P ( - -3,6.如图，BD是DABCD勺对角线，AB±BD,

24、BD=8cm, AD=10cm,动点 P从点 D出发，以 5cm/s的速度沿 DA运动到终点 A,同时动点 Q从点B出发，沿折线 BD-DC运动到终点 C,在 BD、DC上分别以8cm/s、6cm/s的速度运动.过点Q作QMXAB,交射线 AB于点 M,连接 PQ,以PQ与QM为边作DPQMN设点P的运动时间为 t(s) (t>0) , 口 PQMN与(2)当点N落在边AB上时，求t的值.(3)求S与t之间的函数关系式.(4)连结NQ,当NQ与4ABD的一边平行时，直接写出t的值.【答案】(1) (10-5t)(2)解：如图，当点 N落在边 AB上时，四边形 PNBQ为矩形.,PN/DB

25、, . APNM ADB, ，AP:fl 可 f - HAD=PN: DB,(105t) : 10=8t: 8, 120t=80,(3)解：分三种情况讨论：n Qa)如图，过点P作P已BD于点E,则PE=3t.2。f W -d当J时，3 = JF 8,二%产.b)如图，过点P作PEI BD于点E,则PE=3t，设PN交AB于点F ,则2175 - - X 3tf8 4t + 8t): 6尸+ 12t当3时， J.c)如图 ，当 J ： F W 3 时，PF=8-4t, FB=3t, PN=DB=QM=8, . FN=4t, DQ=6(t-1), .BM=DQ=6(t-1) . ,. /GBM=

26、/A, / DBA=/ GMB , . BGMs ABD, ，GM: BM=DB : 一。、k、 AB,解彳导:GM=8t-8,S=S 平行四边形 pnmq-Safmn-Sabmg=8 (9t-6) J 4 4t(9t-6) 一X(6t-6) (8t-8) = 7户 Jjyr -普.2412 (6 . f W ?, '6产+f 忘 D3综上所述：(4)解：分三种情况讨论.当NQ / AB时，如图5,图5过 P 作 PF,BD 于 F,贝U PF=3t, DF=4t, PN=FQ=BQ=8t> . . BD=8t+8t+4t=8 ,解得:当AD/NQ,且 Q在BD上时，如图6.图6

27、,PNQD 和 PNBQ都是平行四边形， ，PN=DQ=BQ,. 8t+8t=8 ,解得:当AD/NQ,且Q在DC上时，如图7,可以证明当Q与C重合，即直线 NQ与直线BC重合时，满足条件，如图 8, S 6此时 DQ=AB=、；夕 芸=6, t= =2.综上所述：'一 3或或 4.【解析】【解答】解：(1) (10-5t);【分析】(1)由题意可得，DP=5t,所以AP=AD-DP=10-5t;(2)由欧勾股定理的逆定理可得/ABD=形一，所以根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，当点 N落在边AB上时，四边形 PNBQ为矩形；由平行线分线段成比例定理可得 AP BQ比例式：必

28、阈，则可得关于t的方程，解方程即可求解；(3)由(2)知，当DPQMN全部在DABCD中时，运动时间是秒，由已知条件可知，点 Q 在BD边上的运动速度是 8cm/s ,在DC边上的运动速度是 6cm/s ,所以当点 Q运动到C点 时，点P也运动到了点 A,所以分3种情况：a)如图，过点P作P已BD于点E,当0 < t附，S=BQ，PE;W 1b)如图，过点 P作PE± BD于点E,设PN交AB于点F,当 < t w 1 时， S = (PF+BQ) PE;c)如图，当1 < t wa S行四边形PNMQ的面积-三角形FNM的面积-三角形BMG 的面积；(4)由题意N

29、Q与4ABD的一边平行可知，有 3种情况：当 NQ / AB; 当AD / NQ,且 Q在BD上时；当AD/ NQ,且Q在DC上时。分这三种情况根据已知条件即可求解。AE并延7.正方形 ABCD的边长为6cm,点E, M分别是线段 BD, AD上的动点，连接 长，交边 BC于F,过M作MNLAF,垂足为 H,交边AB于点N.(1)如图，若点M与点D重合，求证：AF= MN;E从点B(2)如图，若点M从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，同时点 出发，以 中£ cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts.设BF= ycm,求y关于t的函数表达式； 当BN=2AN时，连接

30、FN,求FN的长.【答案】(1)证明：二四边形ABCD为正方形,1 .AD=AB, /DAN=/FBA= 90：. MN ±AF,3 / NAH+ / ANH=90 :4 / NDA+ ZANH=90 °,/ NAH= / NDA,5 .ABFAMAN,.AF= MN.(2)解：二四边形ABCD为正方形，6 .AD/ BF,/ ADE= / FBE.7 / AED= / BEF,8 .EBFAEDA 即 Bh.二访四边形ABCD为正方形,-.AD= DC= CB= 6cm,1- BD=6 - cm.点E从点B出发，以飞。cm/s的速度沿BD向点D运动，运动时间为ts,BE=

31、f tcm , DE= (6 H - W t)cm ,x-l.四边形ABCD为正方形， / MAN= /FBA= 90 :. MN ±AF,3 / NAH+ / ANH=90 :4 / NMA+ ZANH= 90 °, / NAH= / NMA.5 .ABFAMAN,勺=6 . BN=2AN, AB=6cm, .AN = 2cm.| 2 |6 X：. G t =6 ,7 .t=2,6X2BF=仃 2 = 3(cm).又 BN=4cm,.FN=-#=5(cm).【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出AD=AB, /DAN= / FBA=90°.再根据同角的余角相

32、等得出/NAH=/NDA,进而证出 ABB AMAN即可解答，(2)根据正方形 的性质得出两角 相等证出AEBFAEDA,得出BD的长 度，利用 EBFEDA得出比例式，得出 y和t之间的函数解析式，据正方形的性质得出两角相等证出ABM4MAN,得出比例式，进而解答.8.如图，点A、B的坐标分别为(4, 0)、 ( 0, 8),点C是线段OB上一动点，点 E在 x轴正半轴上，四边形 OEDC是矩形，且 OE=2OC设OE=t (t>0),矩形 OEDC与4AOB 重合部分的面积为 S.根据上述条件，回答下列问题：(2)(3)(4)D在直线AB上时，求t的值;当t=4时，求S的值；直接写出

33、S与t的函数关系式（不必写出解题过程）；若 S=12,贝U t=.【答案】（1）解：由题意可得 /BCD=/ BOA=90 , /CBD=/ OBA,而 CD= OE= t, BC= 8-CO=8- J , OA= 4,8 r 2 t16 II 二则 8-二；84 ,解得 t= J ,76，当点D在直线AB上时，t= 5(2)解：当t=4时，点E与A重合，设CD与AB交于点F,CF QA则由 CBM AOBA得6位，CF J即厅 2 百，解得CF=333S=工 OC(OE+CFB X 2 X 卷+4)161(3)解：当0vt5时，S=E t2161：当 jtw酎,S=-"t2+10t

34、-16Ld 当 4vt W 1时，S=J't2+2t(4) 8【解析】【解答】解：(3)当0<tw时，如图(1), .BCDBOA,16当5<t w时，如图（2）,D G- A (4,0) , B (0,8)直线AB的解析式为y=-2x+8,.U白.DF='t-4,DG=1-8,S=S矩形 COE-SA DFG=t，9-8,17-F + lOt - 1616当4Vt & 1时，如图（3）. CD/ OA,.BCMBOA,BC C1' 丽 一 ai.CF=4-',S S=Sx BOA-Sa BCf="IT（4）由题意可知把 S=12代

35、入S=必t2+2t中，必.t2+2t=12,整理，得 t2-32t+192=0.解得 ti=8,t2=24>16 （舍去）二当S=12时，t=8【分析】（1）首先判断出 BC2 BOA ,根据相似三角形对应边成比例得出 BC : BO=CD : OA ,根据矩形的性质及线段的和差得出 CD= OE= t, BC= 8-CO = 8- , OA= 4,利用比例式即可得出方程，求解得出 t的值；（2）当t=4时，点 E与 A重合，设 CD与AB交于点 F,则由CBD4OBA得 CF : CB=OA : OB ,根据比例式得出方程，求解得出 CF的长，根据梯形的面积公式即可算出答 案；16（3

36、）当0Vt导时，如图（1）,其重叠部分的面积就是矩形的面积，根据矩形的面积公式即可得出函数关系式；当3 <tW4时，如图（2）,利用待定系数法，求出直线的解析式，根据和坐标轴平行的直线上的点的坐标特点及直线上的点的坐标特点分别表示AB出G,F的坐标，进而表示出DF的长，DG的长，根据S=S矩形COED-Sa DFG即可得出函数关系式；当4vtW16时，如图（3）根据矩形的性质得出 直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似得出 应边成比例得出 BC: BO=CF OA,根据比例式表示出 出函数关系式。CD/ OA,根据平行于三角形一边的 BCFBOA,由相似三角形的对CF的长，再根据S

37、=Sboa-S/bcf即可得9.如图1, 一副直角三角板满足 AB= BC, AC= DE,【操作】将三角板点E旋转，并使边DEF的直角顶点E放置于三角板/ABC=/DEF= 90 °, ZEDF= 30 °ABC的斜边AC上，再将三角板 DEF绕DE与边AB交于点P,边EF与边BC于点QF（1）【探究一】在旋转过程中，CE 1r - 1如图2,当EA 时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明. 如图3,当苴一 ,时E P与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由 .CE_ 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当 血”时,EP与EQ满足的数量关系式为，其中/的取值范围是

38、 （直接写出结论，不必证明）CE（2）【探究二】若曰 且AC= 30cm,连续PQ,设 EPQ的面积为S（cm2）,在旋转过 程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由 随着S取不同的值，对应 4EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取彳1范围.CE【答案】（1）解：当EA,时，PE=QE即E为AC中点，理由如下：连接BE, ABC是等腰直角三角形，.BE=CE/ PBE=/ C=45 ；又 / PEB吆 BEQ=90 , / CEQ吆 BEQ=90 ,/ PEB=/ CEQ,在 PEB和4QEC中，ZPEB = /CK 8E = CE“PBE ZC , .

39、PEBAQEC (ASA), .PE=QE.;EP: EQ=EA:EC=1：2 理由如下：作 EM LAB, EN± BC,/ EMP=Z ENQ=90 ；又 / PEN+Z MEP=Z PEN+/ NEQ=90 ,/ MEP=Z NEQ, .MEPANEQ, .EP: EQ=ME:NE,又/ EMA=/ENC=90, /A=/C, .MEAANEC, .ME:NE=EA:ECCE=2EA ,.EP: EQ=EA:EC=1:2.;EP： EQ=1:m； 0Vme 2+ /(2)解：存在.CE 1aHi1aB -Tf由【探究一】中(2)知当EA时，EP: EQ=EA EC=1: 2;1

40、设 EQ=x,则 EP=_ x,I 111S=上 EPEQ=1x上 x=x2 ,当EQ, BC时，EQ与EN重合时，面积取最小，,. AC=30, ABC是等腰直角三角形，.AB=BC=15羽,CE EA , AC=30, .AE=10, CE=20在等腰RtCNE中，.NE=10I当 x=10 "二:时，Smin=50 (cm2)；当EQ=EF时，S取得最大， AC=DE=30, / DEF=90 ,° / EDF=30 ,°在 RtDEF 中，贤 tan30 =°,当LTEF=30 X1' =10.，此时 4EPQ面积最大，. Smax=75

41、 (cm2)；由(1)知 CN=NE=5 V二，BC=15k'E ,.BN=10 非,在 RtBNE 中，.BE=5 V"', 当 x=BE=5X/灰 时，S=62.5cm2 , 当50<S < 625 这样的三角形有 2个；当S=50或62.5<SW75寸，这样的三角形有 1个.【解析】【解答】（1）作EM,AB, ENBC, / B=/PEQ=90 ,° / EPB吆 EQB=180 ,°又 / EPB吆 EPM=180 ,/ EQB=Z EPM, .MEPANEQ, .EP: EQ=ME:NE,又/ EMA=/ENC=90,

42、 /A=/C, .MEAANEC, .ME:NE=EA:EC CE_ 耳；1 , .EP:EQ=EA:EC=1：mEP与EQ满足的数量关系式为 EP: EQ=1:m,，0<mw 2也（当m>2+也时，EF与BC不会相交）.【分析】【探究一】 根据已知条件得 E为AC中点，连接BE,根据等腰直角三角形的性 质可 BE=CE Z PBE=/ C=45,由同角的余角相等得 / PEB=/ CEQ,由全等三角形的判定 ASA可得PEg4QEC,再由全等三角形的性质得 PE=QE.作EMAB, EN± BC,由相似三角形的判定分别证MEPsNEQ, MEAsNEC,再由相似三角形的

43、性质得 EP: EQ=ME:NE=EA:EC从而求得答案.作EMAB, EN± BC,由相似三角形的判定分别证MEPsNEQ, MEAsNEC,再由相似三角形的性质得 EP: EQ=ME:NE=EA:EC从而求得答案.7【探究二】设EQ=x,根据【探究一】（2）中的结论可知则 EP*： x,根据三角形面积公 式得出S的函数关系式，再根据当EQ, BC时，EQ与EN重合时，面积取最小；当 EQ=EF时，S取得最大；代入数值计算即可得出答案.根据（1）中数据求得当EQ与BE重合时，4EPQ的面积，再来分情况讨论即可 .回cos -10.如图：在 9 £中，BC=2,AB=AC点

44、D为AC上的动点，且10 .(1)求AB的长度；(2)求ADAE的值；(3)过 A 点作 AHXBD,求证：BH=CD+DH.【答案】(1)解：作AM ± BC,. AB=AC,BC=2 AM ± BC, 1.BM=CM= BC=1, 在 RtAAMB 中，cosB=,BM=1,y/16a AB=BM + cosB=1 7 乂 =.(2)解：连接CD,.AB=AC,/ ACB=Z ABC, 四边形ABCD内接于圆O, / ADC+/ ABC=180, °又 / ACE叱 ACB=180,/ ADC=Z ACE, Z CAE之 CAD, .EACACAD,A 凶.疝

45、一元, .AD AE=A（2=AE2=（小）2=10.(3)证明：在 BD上取一点N,使得BN=CD,在 ABN和4ACD中AB = AC = N1 . 吼 CD .ABNAACD) (SAS ,.AN=AD, . AHXBD), AN=AD,.NH=DH,又 BN=CD,NH=DH, .BH=BN+NH=CD+DH.【解析】【分析】(1)作AMBC,由等腰三角形三线合一的性质得BM=CM=一 BC=1在16RtA AMB中，根据余弦定义得 cosB=川，由此求出AB.(2)连接CD,根据等腰三角形性质等边对等角得/ACB=/ABC,再由圆内接四边形性质和等角的补角相等得 /ADC=/ ACE

46、由相似三角形的判定得 EA8 4CAD,根据相似三角形的性质得也 AhWO ；从而得 AD AE=Ad=AB2(3)在BD上取一点N,使得BN=CD根据SAS得 ABN AACD,再由全等三角形的性质得AN=AD,根据等腰三角形三线合一的性质得NH=DH,从而得BH=BN+NH=CD+DH.11.如果三角形的两个内角“与3满足2a +3 =90那么我们称这样的三角形为准互余三(2)如图，在RtABC中，/ACB=90, AC=4, BC=5若AD是/ BAC的平分线，不难证明 ABD是 推互余三角形”试问在边BC上是否存在点 E (异于点D),使得 ABE也是 准 互余三角形”？若存在，请求出

47、 BE的长；若不存在，请说明理由.(3)如图，在四边形 ABCD 中，AB=7, CD=12, BD± CD, /ABD=2/BCD,且 ABC 是推互余三角形”，求对角线 AC的长.【答案】(1) 15(2)解：如图中,/ BAC=2Z BAD,在 RtA ABC 中， Z B+/ BAC=90 ,/ B+2/ BAD=90 ； .ABD是 准互余三角形”，.ABE也是 准互余三角形”，. 只有 2 / B+Z BAE=90 ,° / B+/BAE+/ EAC=90 ,° /CAE之 B, ,./C=/C=90； .CAECBA,可得 CA2=CE?CB的.CE= 5 ,16 &BE=5- 5 =/.(3)解：如图 中，将4BCD沿BC翻折得到4BCF.CF=CD=12 /BCF=/ BCD, / CBF=/ CBD, / ABD=2/ BCD, / BCD+Z CBD=90 ,° / ABD+/ DBC+/ CBF=180 , °. A、B、F 共线,. / A+/ACF=90 ° .2/ACB+/ CABw 90 °. 只有 2/BAC+Z ACB=90 ,