圆的一般方程

1、4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程练习练习1。点。点P(5a+1,12a)在圆在圆(x-1)2+y2=1的内部，则的内部，则a的取值的取值 范围是范围是 .2.点点P( )与圆与圆x2+y2=1的位置关系是的位置关系是 ( ) A 在圆内在圆内 在圆外在圆外 C 在圆上在圆上 D与与t有关有关22211,12tttt 3.已知直线已知直线l1:mx-y=0，l2:x+my-m-2=0求证：对于求证：对于mR,l1,l2的交点的交点P在一个定圆上在一个定圆上 知识回顾知识回顾：(1) 圆的圆的 标准方程标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径指出下面圆的圆心和半径：

2、(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a0) 特征：特征：直接看出直接看出圆心圆心与与半径半径 x2 y 2DxEyF0 把把圆的圆的 标准方程标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得展开，得 22222202= = rbabyaxyx由于由于a,b,r均为常数均为常数FrbaEbDa= = = = = = 222,2,2令令结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：任何一个圆方程可以写成下面形式：结论：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：任何一个圆方程可以写成下面形式： x2 y 2DxEyF0问：是不是任何一个形如是

3、不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程表示方程表示 的曲线是圆呢？的曲线是圆呢？请举例请举例配方可得：配方可得：（3）当）当D2+E2-4F0时，方程时，方程（1）无实数解，所以无实数解，所以 不表示任何图形。不表示任何图形。把方程：把方程：x2 y 2DxEyF0（1）当）当D2+E2-4F0时，表示以（时，表示以（ ） 为圆心，以为圆心，以( ) 为半径的圆为半径的圆2,2ED FED42122 （2）当）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解时，方程只有一组解X=-D/2 y=-E/2，表示一个点（，表示一个点（ ）2,2ED 所以形如所以形如x x2 2 y y 2 2Dx

4、DxEyEyF F0 0 （D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）可表示圆的方程可表示圆的方程22224()()224DEDEFxy=圆的一般方程：圆的一般方程：x2 y 2DxEyF0圆的圆的一般方程一般方程与与标准方程标准方程的关系：的关系：（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）（1）a=-D/2，b=-E/2，r= FED42122 没有没有xy这样的二次项这样的二次项（2）标准方程标准方程易于看出易于看出圆心圆心与与半径半径一般方程一般方程突出突出形式上形式上的特点：的特点：x2与与y2系数相同并且不等于系数相同并且不等于0；练习：练习： 判断下列方程能否表示圆的方程判断

5、下列方程能否表示圆的方程, 若能写出圆心与半径若能写出圆心与半径（1）x2+y2-2x+4y-4=0（2）2x2+2y2-12x+4y=0（3）x2+2y2-6x+4y-1=0（4）x2+y2-12x+6y+50=0（5）x2+y2-3xy+5x+2y=0是是圆心（圆心（1 1，-2-2）半径）半径3 3是是圆心（圆心（3 3，-1 -1）半径）半径10不是不是不是不是不是不是1、A C 0 圆的一般方程：圆的一般方程：二元二次方程：二元二次方程：A x2 +BxyCy 2DxEyF0的关系的关系:x2 y 2DxEyF0（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）2、B=03、 D2E24

6、AF0 二元二次方程二元二次方程表示圆的一般方程表示圆的一般方程9. 简单的思考与应用(1)已知圆 的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于(2) 是圆的方程的充要条件是(3)圆 与 轴相切,则这个圆截轴所得的弦长是022=FEyDxyx3 , 6, 4)(A3 , 6 , 4)(B3, 6 , 4)(C3, 6, 4)(D)( D0222=ayaxyx21)(aA21)(aB21)(=aC21)(aDD010822=Fyxyxxy6)(A5)(B4)(C3)(DA(4)点 是圆 的一条弦的中点,则这条弦所在的直线方程是)5 , 3(A0808422=yxyx08 = yx(1

7、)若已知条件涉及圆心和半径若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用我们一般采用圆的标准方程较简单圆的标准方程较简单.)3, 8(),1, 5(的圆的方程圆心为求过点A08622=yxyx故圆的方程为圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较练习：练习：222)3()8(ryx=设圆的方程为,13) 1, 5(2=r代入得把点13)3()8(22=yx(2).若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一我们常采用圆的一般方程用待定系数法求解般方程用待定系数法求解. .)8 , 0(),0 , 6(),0 , 0(的圆的方程求过三点CBA08622

8、=yxyx圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较练习：练习：022=FEyDxyx设圆的方程为把点把点A，B，C的坐标代入得方程组的坐标代入得方程组0=F0662=FD0882=FE. 8, 6=ED所求圆的方程为：所求圆的方程为：注：用待定系数法求圆的方程的步骤：注：用待定系数法求圆的方程的步骤：根据题意设出所求圆的方程为标准式或根据题意设出所求圆的方程为标准式或一般式。一般式。根据条件列出关于，或，根据条件列出关于，或，的方程。的方程。解方程组，求出，或，解方程组，求出，或，的值，代入方程，就得到要求的方程的值，代入方程，就得到要求的方程经验积累：

9、经验积累：变题：变题：ABC的三个顶点坐标为的三个顶点坐标为A(-1,5)、B(-2,-2)、C(5,5)，求其外接圆的方程。，求其外接圆的方程。例例2：已知一曲线是与两定点：已知一曲线是与两定点O(0,0)、P(3,0)距离的比为距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线。并画出曲线。例例3、当、当a取不同的非零实数时，由方程取不同的非零实数时，由方程03322222=aayaxyx可以得到不同的圆：可以得到不同的圆：（1）这些圆的圆心是否都在某一条直线上？）这些圆的圆心是否都在某一条直线上？（2）这些圆是否有公切线？）这些圆是否有公切线？（留后）（留

10、后）例例2 2：已知一曲线是与两个定点已知一曲线是与两个定点O(0O(0，0)0)， A(3A(3，0)0)距离的比为距离的比为 的点的轨迹，的点的轨迹， 求此曲线的方程，并画出曲线。求此曲线的方程，并画出曲线。12直译法直译法yx .O.（-1，0）A(3,0)M(x,y)22230 xyx=圆的方程圆的方程（x-a)2+(y-b)2=r2X2+y2+Dx+Ey+F=0知知D、E、F知知a、b、rD2+E2 4F0配方配方展开展开1A. 1 B. 14mm 11C. D. 144mmm或例题巩固：例题巩固：例方程例方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示表示圆时，圆时，m的取值范围是的取值

11、范围是（）（）10. 课堂小结若知道或涉及圆心和半径若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单我们一般采用圆的标准方程较简单.(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?=0422022FEDFEyDxyx 配方展开(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:若已知三点求圆的方程若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解法求解. 本节课用的数学方法和数学思想方法:数学方法数学方法:数学思想方法数学思想方法:(求圆心和半径求圆心和半径). (原则是不重复原则是不重复,不遗漏不遗漏)配方法配方法 () 问题转化和分类讨论的思想问题转化和分类讨论的思想 (待定系数法待定系数法)()方程的思想方程的思想()数形结合的思想数形结合的思想1.若实数若实数x,y满足等式满足等式(x-2)2+y2=3，那么，那么 的最大值的最大值xy2.已知已知P(2,0),Q(8,0)，点，点M到点到点P的距离是它到点的距离是它到点Q的距离的距离的的1/5，求，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0的最小距离的最小距