1502黄金分割专项练习30题有答案

1、1.定义：如图中，AB=AC=1(1)求证：点(2)求出线段 ABC黄金分割专项练习30题(有答案)1,点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图 2, ,/ A=36 °, BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D .D是线段AC的黄金分割点；AD的长.2 .如图，用长为 40cm的细铁丝围成一个矩形 ABCD (AB>AD). r(1)若这个矩形的面积等于 99cm2,求AB的长度；(2)这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出 AB的长度，若不能，说明理由；(3)若这个矩形为黄金矩形(AD与AB之比等于黄金比 返二),求该矩形

2、的面积.(结果保留根号)23 .定义：如图1,点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图 2, 4ABC 中，AB=AC=2 , / A=36 °, BD 平分/ ABC 交 AC 于点 D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长.C 014 .作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比.(1)尺规作图并保留作图痕迹；(2)写出你的作法；(3)证明：腰与底之比为黄金比.5 . (1)已知线段 AB的长为2, P是AB的黄金分割点，求 AP的长; (2)求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图，且使 AP>PB.6 .如

3、图，线段AB的长度为1 .(1)线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB ,求线段AC的长度；(选做)(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC,求线段AD的长度;(选做)(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD,求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？(提示：在每一小题中设x和1)LiIAE DCB7 .如图，在 ABC中，AB=AC , Z A=36 °, / 1 = /2,请问点D是不是线段 AC的黄金分割点.请说明理由.8 .在4ABC中，AB=AC=2 , BC= 75 - 1 , Z A=36 °, BD平分/ ABC ,交于 AC于

4、D.试说明点 D是线段AC的黄 金分割点.9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形,如在矩形 ABCD中，当皿上字BC时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD .请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.B10 .如图，设 AB是已知线段，在 AB上作正方形 ABCD ;取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使EF=EB ; 以线段AF为边作正方形 AFGH ,则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说.11 .如图，已知 4ABC 中，D 是 AC 边上一点，/ A=36°, /C=7

5、2°, / ADB=108 °.求证:(1) AD=BD=BC ;(2)点D是线段AC的黄金分割点.12 .已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点 D在AB上，且AD2=BD?AB,求用的值.AC13 .如果一个矩形 ABCD (ABVBC)中，黑手 4.618,那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感. 在BC 2黄金矢I形ABCD内作正方形 CDEF,得到一个小矩形 ABFE (如图)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你 的结论的正确性.14 .五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C, D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm ,求EC+CD的长.

6、£15 .人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段.一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段(保留两位小数)？16 .如图所示，以长为 2的定线段AB为边作正方形 ABCD ,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点 F, 使PF=PD,以AF为边作正方形 AMEF ,点M在AD上.(1)求AM , DM的长；(2)点M是AD的黄金分割点吗？为什么？ F.E，必1c17 .如图，点P是线段AB的黄金分割点，且 AP>BP,设以AP为边长的正方形面积为 S1,以PB为宽和以AB为 长的

7、矩形面积为 S2，试比较Si与S2的大小.S：Vs-i18 .如图，在平行四边形 ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且 D为AE的黄金分割点，即 AD-BE交DC于点F,已知ABr/+1,求CF的长.图319 .图1是一张宽与长之比为 方厂，1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形.同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形 EFDC,那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图 2证明你的结论；若不是，请说明理由.Ada f d(图1 )(Iffl 2)AP RP20 .（如图1）,点P将线段AB分成一条较小线段 AP和一条较大线段

8、 BP,如果鲁丁，那么称点P为线段AB的BP AB黄金分割点，设 期=k,则k就是黄金比，并且 k-0.618.BP ABB（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰4APB （如图2）,等腰4APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足五4.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；腰底+腰（2）如图1,设AB=1，请你说明为什么 k约为0.618;（3）由线段的黄金分割点联想到图形的黄金分割线”，类似地给出 黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的S S图形分成面积为 S1和面积为S2的两部分（设S1VS2）,如果二二，那么称直线l为该图形的黄金分割线.（如图S

9、? S3）,点P是线段AB的黄金分割点，那么直线 CP是4ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的 ABC的黄金分割线有几条？21 .在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618,越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60m,她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22 .已知线段AB ,按照如下的方法作图：以 AB为边作正方形 ABCD ,取AD的中点E,连接EB,延长DA到F, 使EF=EB,以线段AF为边，作正方形 AFGH ,那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由.23 .

10、如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片 ABCD ,先折出BC的中点E,再折出线段AE ,然后通过折叠 使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B；因而EB'=EB.类似地，在 AB上折出点B使AB =AB 这时B 就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.24 .如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为 2的正方形纸片 ABCD ,先折出BC的中点E,再折出线段 AE ,然 后通过折叠使 EB落在线段EA上，折出点B的新位置F,因而EF=EB .类似的，在AB上折出点M使AM=AF ,则 M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由.D、.C25.如图，在4ABC中, （1）

11、求/ B的度数；点 D 在边 AB 上，且 DB=DC=AC ,已知/ ACE=108 °, BC=2 .（2）我们把有一个内角等于 36。的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比） 等于黄金比返二2写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；求AD的长； 在直线AB或BC上是否存在点P （点A、B除外），使4PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点巳说明理由.26 .宽与长的比是 号一的矩形叫黄金矩形.心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方

12、形 ABCD ;第二步：分别取 AD, BC的中点M, N,连接MN ;第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交 BC的延长线于E;第四步：过E作EFXAD ,交AD的延长线于F.请你根据以上作法，证明矩形 DCEF为黄金矩形.27 .在4ABC中，AB=AC , Z A=36 °,把像这样的三角形叫做黄金三角形.(1)请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形(画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要 求证明.分别画在图 1 ,图2,图3中)注：两种分法只要有一条分割线段

13、位置不同，就认为是两种不同的分法.(2)如图4中，BF平分/ ABC交AC于F,取AB的中点E,连接 EF并延长交 BC的延长线于 M.试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明.答：CM与AB之间的数量关系是 .28 .折纸与证明 用纸折出黄金分割点：第一步：如图(1),先将一张正方形纸片 ABCD对折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE的对角线BF.第二步：如图(2),将AB边折到BF上，得到折痕 BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点(AG>GD)29 .三角形中，顶角等于 36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图 1,在4ABC中，已知：AB=AC ,且/

14、 A=36 °.(1)在图1中，用尺规作 AB的垂直平分线交 AC于D,并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)；(2) ABCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(3)设区二仁试求k的值；(4)如图 2,在 AiBiCi 中，已知 AiBi=AiCi, /Ai=108°,且 AiBi=AB ,请直接写出BC的值.30.如图1,点C将线段AB分成两部分，如果黑导，那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行AB AC课题学习时，由黄金分割点联想到黄金分割线”，类似地给出 黄金分割线”的定义：直线1将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分

15、别为Si, S2,如果S1 S2S Si，那么称直线1为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在 4ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图 2),则直线CD是4ABC的黄金分割线.你认为对吗？为什么?(2)请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交 AB于点巳再过点D作直线DF / CE,交AC于点F,连接EF (如图3),则直线EF也是4ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是平行四边形 ABCD的边AB的黄金分割点，过点 E作EF/ AD ,交DC于点F,显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你

16、画一条平行四边形 各边黄金分割点.abcd的黄金分割线，使它不经过平行四边形abcdB黄金分割专项练习30题参考答案：1. (1)证明：.AB=AC=1 ,.Z ABC= ZC=1 (180 - Z A) =1 (180 - 36 ) =72°,22BD平分/ ABC交AC于点D, ./ ABD= ZCBD=1ZABC=36 ,2 ./ BDC=180 - 36 - 72 =72 ,DA=DB , BD=BC ,AD=BD=BC ,易得 ABDCs ABC , oBC: AC=CD : BC,即 BC =CD?AC , 2 AD =CD?AC ,点D是线段AC的黄金分割点；(2)设

17、AD=x ,贝U CD=AC - AD=1 x, 2-AD =CD ?AC,2灰_1_ Vs _ 1x =1 - x,解得 X1=, X2=；,，占占a/c - 1即AD的长为s22 .解：(1)设 AB=xcm ,则 AD= (20 -x) cm,根据题意得x (20-x) =99, 2整理得 x - 20x+99=0 ,解得 xi=9, x2=11,当 x=9 时，20-x=11 ;当 x=11 时，20- 11=9,而 AB > AD,所以x=11 ,即AB的长为11cm；(2)不能.理由如下：设 AB=xcm ,贝U AD= (20 - x) cm,根据题意得x (20-x) =

18、101 ,整理得 x - 20x4-101=0 ,因为 =202 4M01= 4<0,所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm ;(3)设 AB=xcm ,贝U AD= (20 - x) cm,根据题意得20 -L,解得 x=10 (V5- 1),则 20-x=10 (3 - V5),所以矩形的面积=10 (75- D ?10 (3-5) = (40075 - 800) cm2.3 .解：(1) / A=36 , AB=AC ,Z ABC= Z ACB=72 ,BD 平分/ ABC ,Z CBD= Z ABD=36 , Z BDC=72 ,AD=BD , BC=BD ,/

19、.A ABCA BDC ,以'=g?,即 &=旦，AB BC AC ADAD2=AC ?cd.点D是线段AC的黄金分割点.(2)二点D是线段AC的黄金分割点，AD=昱-AC ,2 AC=2 , . AD=二-14.解：(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图,(2)作法：画线段AB作为三角形底边；取AB的一半作 AB的垂线 AC,连接BC ,在BC上取CD=CA .分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为 E;分别连接EA、EB,则4ABE即是所求的三角形.(3)证明：设 AB=2 ,贝U AC=1 , BC=“，AE=BE=BD=BC CD=V 1, AE-V5-1 .A

20、B 25.解：(1)由于P为线段AB=2的黄金分割点,B贝U AP=2一-=遥 T ,2_或 AP=2 - (1) =3 - V5；(2)如图，点P是线段AB的一个黄金分割点.AP B6 .解：（1）设 AC=x ,则 BC=AB - AC=1 x, ac2=bc?ab ,x2=1 x （1 - x）,整理得 x2+x - 1=0 ,_ r Jr - 1- Vb -1解得 x1=, x2=（舍去），所以线段AC的长度为丝；(2)设线段AD的长度为x, AC=I , 2-AD =CD ?AC,X2=| x (I - X),"J 1+4 X2j (舍去)，22线段AD的长度返二IaC ;

21、2(3)同理得到线段 AE的长度返二AD;2上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段 AC和BC (AC > BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB :AC=AC : BC),则C点为AB的黄金分割点7 .解：D是AC的黄金分割点.理由如下： .在 4ABC 中，AB=AC , Z A=36 ,Z ABC= Z ACB= _125_=72 .2Z 1 = Z 2, .Z 1 = Z 2=1/ABC=362 在 ABDC 中，Z BDC=180 - Z 2 - Z C=72 °, ./ C=Z BDC , BC=BD .1 Z A= Z 1 , AD=BC . ABC

22、和 BDC 中，Z 2=ZA, Z C= Z C,ABCA BDC , ,AB BC 丽F又 AB=AC , AD=BC=BD , .AC 二 AD.丽F 2AD =AC ?CD ,即D是AC的黄金分割点8 .证明：: AB=AC , Z A=36 , ./ ABC=1 (180 - 36 ) =72 °,2 BD平分/ ABC ,交于AC于D, ./ DBC= - ABC= -X72 =36 ,22Z A=Z DBC , 又/ c=z c, . BCDA ABC , ,BC CD AB=AC ,BC_CDAC而 AB=AC=2 , BC=/T,(«- 1) 2=2 X (

23、2-AD), 解得 AD=V5, AD : AC=(近 - 1) : 2.点D是线段AC的黄金分割点.9.证明：在 AB上截取 AE=BC , DF=BC ,连接EF. AE=BC , DF=BC , AE=DF=BC=AD ,又. / ADF=90 °,四边形AEFD是正方形.i+Vb Vs - iBE=AB-.二三二-B一B：22BC 2.矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形 BCFE是黄金矩形. ，黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.D F CAE B10.解：设正方形 ABCD的边长为2, 在RtAAEB中，依题意，得 AE=1 , AB=2 , 由勾股定理

24、知 EB=_ =- = .TT= 丁,AH=AF=EF - AE=EB - AE=&T, HB=AB - AH=3 -“； AH2=(巡 一 1) 2=6 - 2遥，AB?HB=2X (3-V5) =6 -2/5, ah2=ab ?HB ,所以点H是线段AB的黄金分割点.11 .证明：(1)A=36°, /C=72°, ./ ABC=180 - 36 - 72 =72 °, . / ADB=108 °, ./ ABD=180 - 36 - 108 =36 °,. ADB是等腰三角形，/ BDC=180 ° - Z ADC=18

25、0 - 108 =72°,. BDC是等腰三角形，AD=BD=BC .(2) DBC= ZA=36 , Z C= Z C, ABCA BDC ,BC: AC=CD : BC , “2BC =AC ?DC ,V BC=AD , 2AD =AC ?DC ,点D是线段AC的黄金分割点.212 .解： D 在 AB 上，且 AD =BD ?AB ,.点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点， . AC=立 二九二&_ 1, AD=AB_AB=-AB=3 -m或 AD=% T , AC=3 -泥,_222.-.cd=V5- 1- (3-V5) =275-4,四 诬 . £

26、; 3 一加或酗2泥- 4后 1AC V5 -12 AC 3-5213 .解：矩形 ABFE是黄金矩形. , AD=BC , DE=AB ,.AE AD-DE BC-AB BC . 2一一代+1 _ .立+1 _ 2_诋-1AB" AB " AB -AB 巫 7222.矩形ABFE是黄金矩形.14.解：: D为AB的黄金分割点(AD > BD ),/Z -AD=AB=1oV5- 10,2 EC+CD=AC+CD=AD ,EC+CD= (10a/5- 10) cm .15 .解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段,根据题意得X： 1.70=0.618,即 x=1

27、.70 X).618M.1 (m).PD=J虹)2 + 财 2="f1 =Vs,答：他的肚脐到脚底的长度为1/m时才是黄金身段.16 .解：(1)在RtAAPD中，AP=1 , AD=2 ,由勾股定理知AM=AF=PF - AP=PD - AP=V5- 1 , DM=AD - AM=3_-VS.故AM的长为泥-1, DM的长为3- V5;(2)点M是AD的黄金分割点.由于AIL 近二AD- 2.点M是AD的黄金分割点.17.解：二.点P是线段AB的黄金分割点，且 AP>BP,. AP2=BP 沿b ,又 Si=AP2, S2=PB 沿B,Si=S2.18.解：二四边形 ABCD

28、为平行四边形, / CBF= / AEB , / BCF= / BAE , . BCFA EAB ,BC 二AE 即CF BA AE AB把AD= 返皿 AB=向+1代入得，返二2 22解得：CF=2.故答案为：2 .19.解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：:四边形 ABEF是正方形，AB=DC=AF ,又= ,'',AD- 2工,AD 2即点F是线段AD的黄金分割点.AF-AD- 2，二DC 2.矩形CDFE是黄金矩形.20.解：(1)满足JaL 氏长一宽+长2618的矩形是黄金矩形;(2)由”二k 得，BP=1>k=k,从而 AP=1 - k,AB由虹二 BP得 bp

29、2=ap >ab ,BP AB即 k2= (1 - k) M ,-1 ± Vs解得k=2k>0,Vs -1k=用.618;AP BPBPAB2(3)因为点P是线段AB的黄金分割点，所以设4ABC的AB上的高为h,则Wc iAFXh AP S眦 iBPXh BPS21BPC lBPXh BP' SAABC lABXh.辽瓯 S.efc AEPC AAEC，直线CP是 ABC的黄金分割线.（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q,则AQ也是黄金分割线，设 AQ与CP交于点W,则过点W的直线均是4ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条.21.解：根据已知条

30、件得下半身长是160>O.6=96cm ,设选择的高跟鞋的高度是 xcm,则根据黄金分割的定义得:96+x160+工=0.618,解得：x勺.5cm.故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美.22.解：设正方形 ABCD的边长为2a,在 RtAAEB 中，依题意，得 AE=a, AB=2a ,由勾股定理知 EB=：'= =a,AH=AF=EF - AE=EB - AE=(旗 T) a,HB=AB - AH= (3-&) a；AH2= (6-2/5) a2,AB?HB=2aX (3-泥)a= (6-2倔 a2, ah2=ab ?HB ,所以点H是线段AB的黄金分割点

31、.23.证明：设正方形 ABCD的边长为2,E为BC的中点，BE=1AE= /研2+加2=、底,又 B E=BE=1 ,AB =AE - BE=V5- 1,.AB'、"二（泥 - 1）士 2点B 是线段AB的黄金分割点.DCA B'r B24.证明：二正方形 ABCD的边长为2, E为BC的中点,BE=1,aeWabJb 产后 EF=BE=1 ,AF=AE - EF=、/T ,AM=AF=巡 1 ,AM : AB=（在-1） : 2,.点M是线段AB的黄金分割点.25.解：（1）BD=DC=AC .则/ B= / DCB , / CDA= / A .设 / B=x ,

32、则/ DCB=x , / CDA= / A=2x . 又/ BOC=108 °,. B+Z A=108 °. x+2x=108, x=36 . ./ B=36 °（2）有三个： ABDC, AADC , ABAC . DB=DC , / B=36 °, . DBC是黄金三角形，（或: CD=CA , / ACD=180 °- / CDA - / A=36 . CDA是黄金三角形.或 : / ACE=108 °, ./ ACB=72 °,又/ A=2x=72 °,/ A= / ACB .BA=BC . . BAC是黄

33、金三角形.ABAC是黄金三角形，二，BC 2 BC=2, AC=V5- 1. BA=BC=2 , BD=AC=J-1,AD=BA - BD=2 -（疾-1） =3-泥，存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3.CD的垂直平分线分别交直线C为圆心，CD为半径作弧与AB、BC 得到点 P1、P2.BC的交点为点 P3.i ）以CD为底边的黄金三角形：作 ii）以CD为腰的黄金三角形：以点26.证明：在正方形 ABCD中，取 AB=2a , N为BC的中点，NC=°BC=a.2在 RtADNCND二办JC?KD 2二6 + (2aD 4/蕊又 NE=ND , .CE=NE-NC=(VTt)a. ' 1 1 - ' -.CD 2a - 2故矩形DCEF为黄金矩形.27.解：(1)(2) CM=AB (4 分)28.证明：如图,连接 GF ,设正方形ABCD的边长为1,则DF=.2在 RtABCF 中,贝U A F=BF BABF= I-'=立-1.2设 AG=A 'G=x,贝U GD=1 x,在 RtA'GF 和 RtA DGF 中，有 A'F 2+A'G2=DF2+DG 2,aJt - 1解得x=-一 2即点G是AD的黄金