直线与圆知识点总结及例题

1、.直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角 ：（ 1）定义 ：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线 l ，如果把 x 轴绕着交点按 逆时针方向转 到和直线 l 重合 时所转的 最小正角 记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线l 与 x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（ 2）倾斜角的范围0, 。如（1）直线 x cos3 y 2 0 的倾斜角的范围是_（答：0 ， 5 ， )）；66倾斜角的取值范围是0° 180° . 倾斜角不是 90°的直线， 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示 . 倾斜角是 90°的直线没有斜率 .（2）过点 P(3

2、,1), Q (0,m) 的直线的倾斜角的范围, 2, 那么 m 值的范围是_（答： m2或 m4 ）332、直线的斜率 ：（ 1）定义 ：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ，即 k tan (90° ) ；倾斜角为 90°的直线没有斜率； （ 2）斜率公式 ：y1y2经过两点 P1(x1, y1 ) 、 P2(x2, y2 ) 的直线的斜率为 kx1x2x1x2 ；（ 3）直线的方向向量 a(1,k) ，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（kABkBC 。 如 (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的充分也不必要） ；（ 2）

3、实数 x, y 满足 3x 2 y 5 0 (1分别为 _（答： 2, 1）34）应用 ：证明三点共线：_ 条件（答：既不x 3 )，则 y 的最大值、最小值x3 、 直 线 的 方 程 ：（ 1 ） 点 斜 式 ：已 知 直 线 过 点 ( x0 , y0 ) 斜 率 为 k ， 则 直 线方 程 为yy0k ( xx0 ) , 它不包括垂直于x 轴的直线。直线的斜率k0 时，直线方程为yy1 ；当直线的斜率k 不存在时， 不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为xx1 .（ 2）斜截式 ：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率 k ，则直线方程为ykxb , 它不包括垂直于 x 轴的直线。（

4、 3）两点式 ：已知直线经过P1 ( x1, y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) 两点，则直线方程为yy1xx1 ，它不包括垂直于坐标轴的直线。若要包含倾斜角为00 或 900 的y2y1x2x1直线，两点式应变为 ( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 ) 的形式 . （ 4 ）截距式 ：已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a, b , 则直线方程为 x y 1，它不包括垂直于坐标轴的直线ab和过原点的直线。 （ 5）一般式 ：任何直线均可写成AxByC0 (A,B 不同时为 0) 的形;.式。如（ 1）经过点（ 2，1）且方向向量为 v =( 1,3

5、 ) 的直线的点斜式方程是 _（答： y 13( x2) ）；（ 2）直线 (m2) x(2m 1) y(3m4)0 ，不管 m 怎样变化恒过点 _（答： (1, 2) ）；（3）若曲线 ya | x | 与 y xa(a0)有两个公共点，则 a 的取值范围是 _（答： a1）提醒 ： (1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？） ；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.直线两截距相等直线的斜率为 -1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为 1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。 如过点 A(1,4)，且

6、纵横截距的绝对值相等的直线共有_条（答： 3）4. 设直线方程的一些常用技巧：（ 1）知直线纵截距 b ，常设其方程为y kxb ；（ 2）知直线横截距x0 ，常设其方程为x my x0 (它不适用于斜率为0 的直线 )；（3）知直线过点 ( x0 , y0 ) ，当斜率 k 存在时，常设其方程为yk( x x0 ) y0 ，当斜率 k 不存在时，则其方程为 xx0 ；（ 4）与直线 l : Ax By C0 平行的直线可表示为Ax ByC10 ；（ 5）与直线 l : AxBy C 0 垂直的直线可表示为 BxAyC10 .提醒 ：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数

7、法求解。5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：（ 1）点 P( x0 , y0 ) 到直线 AxByC0 的距离 dAx0 By0 C；A2B2（ 2）两平行线 l1 : AxByC10, l2 : AxBy C20 间的距离为 dC1C2。A2B26、直线 l1 : A1 xB1 yC10 与直线 l2 : A2 xB2 yC20 的位置关系 ：（ 1）平行A1B2A2 B10（斜率）且 B1C 2 B2C10（在 y 轴上截距）；（ 2）相交A1B2A2 B10 ；（ 3）重合A1B2A2 B10且 B1C2B2C10 。提醒 ：（ 1） A1B1C1、 A1B1、 A1B1C1仅是两直

8、线平行、相交、重A2B2C2A2B2A2B2C2合的充分不必要条件！为什么？（ 2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（ 3）直线l1 : A1x B1 yC10 与直线 l 2 : A2 x B2 yC20 垂直A1 A2B1 B20 。如（ 1）设直线 l1 : x my60 和 l 2 : (m2) x3 y2m0 ，当 m _时 l1 l 2 ；当 m _时 l1l2 ；当 m _时 l1 与 l2 相交；当 m _时 l1 与 l2 重合（答： 1； 1 ； m3且m1； 3）；（ 2）已知直线 l 的方

9、程为 3x4 y120 ，则与 l 平行，2且过点（ 1，3）的直线方程是 _（答： 3x 4y 90 ）；（ 3）两条直线 axy4 0与 x y 20 相交于第一象限，则实数a 的取值范围是（答：1a2）；（4）设_;.a,b,c 分别是 ABC中 A 、 B 、 C 所对边的边长，则直线sin A x ayc 0 与bx sin B ysin C0的位置关系是 _ （答：垂直） ；（ 5）已知点P ( x , y )是直线1 11l : f ( x, y)0上一点， P2 (x2 , y2 ) 是直线 l外一点，则方程 f (x, y)f (x1, y1 )f ( x2 , y2 ) 0

10、 所表示的直线与l的关系是 _（答：平行）；（ 6）直线 l 过点（，） ，且被两平行直线 3xy6 0和3xy3 0所截得的线段长为9，则直线 l的方程是 _（答：4x 3 y40和 x1）7、特殊情况下的两直线平行与垂直: 当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1) 当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2) 当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直8、对称 （中心对称和轴对称）问题代入法 ：如（ 1）已知点 M (a, b) 与点 N 关于 x 轴对称，点 P 与点 N 关

11、于 y 轴对称，点 Q 与点 P 关于直线 xy 0对称，则点 Q 的坐标为_ （答： (b, a) ）；（ 3）点（，）关于直线l 的对称点为 ( 2,7)，则 l的方程是 _（答： y=3x3）；（ 4）已知一束光线通过点（，），经直线 l :3x4y+4=0 反射。如果反射光线通过点（， 15），则反射光线所在直线的方程是_（答： 18x y 510）；（5）已知ABC 顶点 A(3 ， )，边上的中线所在直线的方程为 6x+10y 59=0， B 的平分线所在的方程为x 4y+10=0 ，求边所在的直线方程（答：2x9 y650 ）；（6）直线 2x y 4=0 上有一点，它与两定点（

12、4, 1）、（ 3,4 ）的距离之差最大，则的坐标是_（答：（ 5,6）；（ 7 ）已知 Ax 轴，B l : y x， C（2， 1），ABC 周长的最小值为 _（答：10 ）。提醒 ：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。9. （ 1）直线过定点。 如直线 （ 3m+4）x+(5-2m)y+7m-6=0, 不论 m 取 何值恒过定点 （ -1，2）（ 2）直线系方程（1）与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法:Ax+By+m=0 (m C)( 2 ) 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法: Bx-Ay+m=0（ 3）经过直线l1 A1 x+ B1 y+ C1 =

13、0， l 2 A2 x+ B2 y+ C2 =0 交点的直线设法：A1 x+ B1 y+ C1 + （ A2 x+ B2 y+ C2 ） =0（ 为参数，不包括l2 ）（ 3）关于对称（ 1）点关于点对称（中点坐标公式）（ 2）线关于点对称（转化为点关于点对称，或代入法，两条直线平行）（ 3）点关于线对称（点和对称点的连线被线垂直平分，中点在对称轴上、kk=-1 二个方程）（ 4）线关于线对称（求交点，转化为点关于线对称）10、圆的方程 ：圆的标准方程：x2y2r 2 。ab圆的一般方程：x2y2DxEyF 0(D 2 E24F0) ，特别提醒 ：只有当;.D 2E24F0 时，方程 x2y2

14、DxEy F0 才表示圆心为 (D,E ) ，半径为122D 2E24F 的圆（二元二次方程Ax2BxyCy 2DxEy F0表示圆的充要20且 D2E2条件是什么？（ AC0,且 B4 AF0 ）；圆的参数方程：xar cos（为参数），其中圆心为 (a,b) ，半径为 r 。圆的ybr sin参数方程的主要应用是三角换元：x2y2r 2xr cos, yr sin； x2y2txr cos, yr sin(0rt ) 。 Ax , y, Bx , y2为直径端点的圆方程xxxxyyyy20112121如（ 1）圆 C 与圆 (x1)2y21关于直线 yx 对称，则圆 C 的方程为 _（答：

15、 x2( y1)21）；（ 2）圆心在直线2x y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 _ （答： ( x3)2( y3) 29 或 ( x 1) 2( y1)21 ）；（ 3）已知P(1,3) 是圆x r cos （为参数， 02) 上的点，则圆的普通方程为 _，yr sinP 点对应的值为 _，过 P 点的圆的切线方程是_（答： x2y24 ；2；3x3y40 ）；（ 4）如果直线 l将圆： x2+y 2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l的斜率的取值范围是2 x+y+k=0表示一个圆，则实数k_（答： 0，2）；（ 5）方程 x +y的取值范围为（ 答：1）；（ 6）若M(

16、 x, y) |x3cos （为参数，0) ，k2y3sinN( x, y) | yxb ，若 MN，则 b 的取值范围是 _（答： 3,32）：已知点 Mx0 , y02yb2r 2r011、点与圆的位置关系及圆 C：x-a，（1）点 M 在圆 C外CM rx02y0b22；（2）点 M 在圆 C 内arCM rx0a2y0b2r2 ；（ 3）点 M 在圆 C 上CM rx0a2y0b2y2=1的内部 ,则 a 的取值范围是 _r 2 。 如点 P(5a+1,12a)在圆 (x )（答： | a |1）132212、直线与圆的位置关系：直线 l : AxByC0和圆 C：xay br2r0有

17、相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：（ 1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0相交；0相离；0相切；（ 2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则dr相交； dr相离； dr相切。 提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如（ 1）圆 2x 22 y 21与直线 x siny10(R,k，2;.kz) 的位置关系为 _（答：相离）；（ 2）若直线 axby30 与圆 x2y24x 10切于点P(1,2) ， 则 ab 的 值 _ （ 答 ： 2 ）；（ 3 ） 直 线 x2 y0被曲线x2y26x2 y1 50所截

18、得的弦长等于（答： 45 ）；（4）一束光线从点 A( 1,1) 出发经x 轴反射到圆22（答： 4）；（5）已知C:(x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是M ( a, b)(ab0)是圆 O : x2y2r 2 内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线l : axbyr 2 ，则 A m/ l ，且 l 与圆相交B lm ，且 l 与圆相交C m / l ，且 l 与圆相离D lm ，且 l 与圆相离（答： C）；（ 6）已知圆 C： x2( y 1)25，直线 L ： mxy 1m0。求证：对 mR ，直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点；设 L 与圆 C 交于 A、B 两

19、点，若AB17，求 L 的倾斜角；求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. （答： 60或 120最长： y1，最短： x1）13、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为 O1， O 2 ，半径分别为 r1 ,r2，则（ 1）当 |O1 O2r1r 2 时，两圆外离； （ 2 ）当|O1 O2r1r 2 时，两圆外切；（ 3 ）当 r1r2<|O 1 O2r 1r 2时，两圆相交；（4）当|O1 O2r1r 2 |时，两圆内切； （ 5 ）当 0|O1 O2r1r 2 |时，两圆内含。如 双曲线x2y21的左焦点为F1，顶点为 A 1、 A

20、 2， P 是双曲线右支上任意一点，则分别以线段a2b2PF1、 A 1A2 为直径的两圆位置关系为（答：内切）14、圆的切线与弦长：(1)切线： 过圆 x2y2R2 上一点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程 是： xx0yy0R2 ，过圆( x a)2( y b) 2R2上 一 点 P( x0 , y0 )圆的切线方程是：( x a )( x0a) ( ya)( y0a )R2 ，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的距离等于半径） ；从 圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；过两切点的直线（即“切点弦

21、” ）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的 公 共 弦 就 是 过 两 切 点 的 直 线 方 程 ； 切 线 长 ： 过 圆 x2y2Dx Ey F 0（( x a) 2( y b) 2R2） 外 一 点 P(x0 , y0 )所引圆的切线的长为x0 2y0 2Dx0Ey0F （( x0a) 2( y0b)2R2 ）；如设 A 为圆 (x 1)2 y21上动点，PA 是圆的切线， 且 |PA|=1，则 P 点的轨迹方程为 _（答： (x1)2y22 ）；（ 2）弦长问题 ：圆的弦长的计算： （垂径定理）常用弦心距d ，半弦长1 a 及圆的2半 径 r 所 构

22、成 的 直 角 三 角 形 来 解 ： r 2d 2( 1 a)2 ； 过 两 圆 C1 : f ( x, y)0、21时，方程C2 : g ( x, y) 0 交 点 的 圆 ( 公 共 弦 ) 系 为 f ( x, y)g ( x, y) ，0 当f ( x, y)g (x, y)0 为两圆公共弦所在直线方程.。15. 解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用 ( 如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!16. 圆的切线和圆系方程;.1过圆上一点的切线方程：圆x 2y 2r 2 ，圆上一点为 ( x0 , y0 ) ，则过此点的切线方

23、程为 x0 x+y0 y=r 2(课本命题 )圆 x2y 2r 2 ，圆外一点为 (x0 , y0 )，则过此点的两条切线与圆相切，切点弦方程为 x0 xy0 yr 2 。2圆系方程：设圆C1 x2y2D1 xE1 yF1 0和圆 C2 x 2y2D 2 x E2 y F20若两圆相交，则过交点的圆系方程为x 2y2D1 xE1 y F1 + （ x2y 2D 2 xE2 yF2 ） =0( 为参数，圆系中不包括圆 C2， =-1为两圆的公共弦所在直线方程)设圆 C x2y 2DxEyF0与直线 l ：Ax+By+C=0 ，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x 2y2DxEyF +(Ax+B

24、y+C)=0( 为参数 )例题1 经过点 P(2， m)和 Q(2m， 5)的直线的斜率等于1，则 m 的值是 ( B )2A 4B 3C1或 3D1或 4变： 求经过点 A(2, sin), B(cos,1)的直线 l 的斜率 k 的取值范围2.已知直线l 过 P( 1， 2)，且与以A( 2， 3)、B(3 ， 0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围1点评：要用运动的观点，研究斜率与倾斜角之间的关系！答案：， 2 5 ， )3.已知坐标平面内三点A( 1， 1)， B(1 ，1)， C(2，31) ，若 D 为 ABC 的边 AB 上一动CD 斜率 k 的变化范围答案：， 12 5

25、， )1.求 a 为何值时， 直线 l1：(a 2)x (1 a)y 10 与直线 l2：(a1)x (2a 3)y 20 互相垂直？答案：a=-12.求过点 P(1， 1)，且与直线 l2： 2x3y 1 0 垂直的直线方程答案： 3x2y 5 0. 例 2.求过定点 P(2， 3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程;.例 3.已知 ABC 的顶点 A(1， 1)，线段 BC 的中点为D(3， 3 )2(1) 求 BC 边上的中线所在直线的方程；(2) 若边 BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9，求 BC 所在直线的方程例 4.方程 (m 2 2m 3)x (2m 2 m 1)y2m 6满

26、足下列条件，请根据条件分别确定实数 m 的值 (1)方程能够表示一条直线； （答案： m1）(2) 方程表示一条斜率为 1 的直线（答案： m2 ）例 5.直线 l 的方程为 (a 2)y (3a1)x 1(a R) 1 3(1) 求证：直线 l 必过定点；（答案： (5， 5)）(2) 若直线 l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；（答案： 5x5y 4 0）(3) 若直线 l 不过第二象限，求实数 a 的取值范围（答案：分斜率存在与不存在）例 1：求点 A(-2,3) 到直线l:3x+4y+3=0 的距离d=。例 2：已知点（ a,2）到直线l: x-y+1=0 的距离为2，则 a=。 (a 0)例 3:求直线 y=2x+3 关于直线 l: y=x+1 对称的直线方程。类型一：圆的方程例 1 求过两点A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线y0 上的圆的标准方程并判断点P(2 , 4)与圆的关系变式 1：求过两点A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且被直线 y0 平分的圆的标准方程.变式 2：求过两点A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆上所有的点均关于直线y0 对称的圆的标准方程 .类型二：切线方程