矩形脉冲信号频谱分析

1、.小组成员：刘鑫龙宇秦元成王帅薛冬寒梁琼健一、傅里叶分析方法与过程周期信号的分解1、三角形式周期为 T 的周期信号，满足狄里赫利（Dirichlet ）条件（实际中遇到的所有周期信号都符合该条件），便可以展开为傅里叶级数的三角形式，即:f (t)1 aa cosn tb sin n t2 0n 1nn 1n（ 1）2TanT2 f (t) cosn tdtn 1, 2,T2（ 2）2Tb2f (t) sin nt dtn 1, 2,nTT2（3）2a nb n式中：T为基波频率，与为傅里叶系数。其中an 为 n 的偶函数， bn 为 n 的奇函数。将上式中同频率项合并可写成：f (t )1A0

2、A1 cos(t1 )A2 cos( 2 t2) .21A0（tn )2n 1An cos n.式中：A0a0Ana n2bn2 , n 1,2,3.narctan( bn )an(5)a0A0anAn cosnbnAn sinn(6)2.指数形式由于e jxe jxcos x2(7)三角函数形式可以写为f (t)1 A1 A e j ( n tn )e j ( n t n ) 2 0n 1 2n1A1A ejn e jn t1A e j n e jn t22 n 12 n 10nn(8)将上式第三项中的n 用 -n 代换，并考虑到为 n 的偶函数，为 n 的奇函数则上式可写为：f (t)1

3、A1A e j n e jn t1Ae jn e jn t2 02 n1n2 n 1n1 A1A ej n ejn t1A e j n e jn t202 n 1n2 n1n(9)将上式中的AA ej 0 ej 0 t000 写成0(其中），则上式可写为.f (t)1Anej n e jn t2 n1 A e j n| F | e j nFn ，称其为复傅里叶系数，简称傅里令复数量 2nn叶系数，其模为| Fn| ，相角为n ，则得傅里叶级数的指数形式为f tFne jntn将（ 2）（ 3）代入上式得1Tj 1TFn2T f (t ) cos( nt ) dt2T f (t ) cos( n

4、T2T21T2Tf (t ) cos( n t ) dtj sin( nt ) dtT21Tf (t )e jn t dt2TT2(10)(11)t ) dt(12).二、1TA 1TA eF n2Tf (t )e jn t dt2T e jn t dtT2T2T2 A sin( n2)Asin( n2)Tntn22考虑到T，上式也可写成jnt2jnt2sin( nT)F nn, n 0 , 1, 2 .TT令Sa( x)原式可写成sin xxF nSa ( n)Sa ( n)TTT2则该周期性矩形脉冲的指数形式傅里叶级数展开式为.fnFnejn tASa(n)ejn tnT nT三、频谱图形利用 MATLAB 画出频谱图为.四、将周期 T 变为 2T利用 MATLAB 新的频谱图为带宽变化：因为一般脉冲宽度必须小于脉冲周期， 所以周期增大时， 不影响两者关系， 脉宽不变，带宽不变。.五、将周期 T 变为 T/2利