高考理科立体几何大题

1、 一，2017·山东济南调研如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)在线段BC1上是否存在点D，使得ADA1B？若存在，试求出的值(1)证明在正方形AA1C1C中，A1AAC.又平面ABC平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1CAC，AA1平面AA1C1C.AA1平面ABC.(2)解由(1)知，AA1AC，AA1AB，由题意知，在ABC中，AC4，AB3，BC5，BC2AC2AB2，ABAC.以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A

2、xyz.A1(0,0,4)，B(0,3,0)，C1(4,0,4)，B1(0,3,4)，于是(4,0,0)，(0,3，4)，(4，3,0)，(0,0,4)设平面A1BC1的法向量n1(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2(x2，y2，z2)取向量n1(0,4,3)由取向量n2(3,4,0)cos .由题图可判断二面角A1BC1B1为锐角，故二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)解假设存在点D(x，y，z)是线段BC1上一点，使ADA1B，且，(x，y3，z)(4，3,4)，解得x4，y33，z4，(4，33，4)又ADA1B，03(33)160，解得，0,1，在线段BC1上存在点D，使

3、得ADA1B，此时.二，如图，在四棱锥PABCD中，已知PA平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；(2)点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长解以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)(1)由题意知，AD平面PAB，所以是平面PAB的一个法向量，(0,2,0)因为(1,1，2)，(0,2，2)设平面PCD的法向量为m(x，y，z)，则m·0，m·0，即令y1

4、，解得z1，x1.所以m(1,1,1)是平面PCD的一个法向量从而cos，m，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.(2)因为(1,0,2)，设(，0,2)(01)，又(0，1,0)，则(，1,2)，又(0，2,2)，从而cos，.设12t，t1,3，则cos2，.当且仅当t，即时，|cos，|的最大值为.因为ycos x在上是减函数，所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值又因为BP，所以BQBP.三，2016·浙江卷如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90°，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求二面角BA

5、DF的平面角的余弦值(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示因为平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，又ACCKC，所以BF平面ACFD.(2)解解法一：过点F作FQAK于Q，连接BQ.因为BF平面ACK，所以BFAK，则AK平面BQF，所以BQAK.所以BQF是二面角BAD F的平面角在RtACK中，AC 3，CK2，得AK，FQ.在RtBQF中，FQ，BF，得cos BQF.所以二面角BADF的平面角的余弦值为.解法二：如图，延长

6、AD，BE，CF相交于一点K，则BCK为等边三角形取BC的中点O，连接KO，则KOBC，又平面BCFE平面ABC，所以KO平面ABC.以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意，得B(1,0,0)，C(1,0,0)，K(0,0，)，A(1，3，0) ，E，F.因此，(0,3,0)，(1,3，)，(2,3,0)设平面ACK的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n(x2，y2，z2)由得取m(，0，1)；由得取n(3，2，)于是cosm，n.所以二面角BADF的平面角的余弦值为.四，2016·河南九校联考 (本小题满分

7、15分)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且ADCD2，BC4，PA2，点M在PD上(1)求证：ABPC；(2)若二面角MACD的大小为45°，求BM与平面PAC所成角的正弦值解(1)证明：取BC中点E，连接AE，则ADEC，ADEC，所以四边形AECD为平行四边形，故AEBC，又AEBEEC2，所以ABCACB45°，故ABAC，又ABPA，ACPAA，所以AB平面PAC，(4分)故有ABPC.(6分)(2)如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2，2，0)，C(2，2，0)，P(0,0,2)，D(0,2，0)(7分)设(

8、0,2，2)(01)，易得M(0,2，22)，设平面AMC的一个法向量为n1(x，y，z)，则令y，得x，z，即n1，(9分)又平面ACD的一个法向量为n2(0,0,1)，(10分)|cosn1，n2|cos45°，解得，(12分)即M(0，1)，(2，3，1)，而(2，2，0)是平面PAC的一个法向量，(13分)设直线BM与平面PAC所成的角为，则sin|cos，|.故直线BM与平面PAC所成的角的正弦值为.(15分)五2016·平顶山二调(本小题满分15分)在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AEEBCFFACPPB12，如图1.将AEF沿

9、EF折起到A1EF的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连接A1B、A1P，如图2.(1)求证：A1E平面BEP；(2)求二面角BA1PE的余弦值解不妨设正三角形ABC的边长为3.(1)证明：在图1中，取BE的中点D，连接DF. AEEBCFFA12，AFAD2，而A60°，ADF是正三角形又AEDE1，EFAD. 在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1EFB的平面角(4分)由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE.又BEEFE，A1E平面BEF，即A1E平面BEP.(6分)(2)建立分别以EB、EF、EA1所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0

10、)，A1(0,0,1)，B(2,0,0)，F(0，0)，P(1，0)，则(0,0，1)，(2,0，1)，(1，0)，(1，0)(8分)设平面A1BP的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n1平面A1BP知，n1，n1，即令x1，得y11，z12，n1(，1,2)(10分)设平面A1PE的法向量为n2(x2，y2，z2)由n2平面A1PE知，n2，n2，即可得n2(，1,0)(12分)cosn1，n2，(14分)所以二面角BA1PE的余弦值是.(15分)六2016·江苏高考(本小题满分20分)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正

11、四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解(1)由PO12知O1O4PO18.(1分)因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥·A1B·PO1×62×224(m3)(4分)正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2·O1O62×8288(m3)(7分)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(8分)(2)设A1B1a m，PO

12、1h m，则0<h<6，O1O4h.如图，连接O1B1.(10分)因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以2h236，即a22(36h2)(12分)于是仓库的容积VV柱V锥a2·4ha2·ha2h(36hh3)，0<h<6，(15分)从而V(363h2)26(12h2)(17分)令V0，得h2或h2(舍)当0<h<2时，V>0，V是单调递增函数；当2<h<6时，V<0，V是单调递减函数故h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大(20分)七2016·北京高考(本小题满分20

13、分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，(3分)所以ABPD.又PAPD，所以PD平面PAB.(6分)(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.(8分)因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以CO

14、AD.如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0,0,1)(10分)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2.所以n(1，2,2)(12分)又(1,1，1)，所以cosn，.(14分)所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(15分)(3)设M是棱PA上一点，则存在0,1，使得.因此点M(0,1，)，(16分)(1，)因为BM平面PCD，所以要使BM平面PCD，则·n0，(18分)即(1，)·(1，2,2)0，解得.所以在棱PA上存在点M，使得BM平面PCD，此时.(20

15、分)八2016·天津高考(本小题满分20分)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，C(1，1,0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(0,0,2)，G(1,0,0)(2分)(1)证明：依题意，(2,0,0)

16、，(1，1,2)设n1(x，y，z)为平面ADF的法向量，则即不防设z1，可得n1(0,2,1)，(5分)又(0,1，2)，可得·n10，又直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.(7分)(2)易证，(1,1,0)为平面OEF的一个法向量(8分)依题意，(1,1,0)，(1,1,2)设n2(x，y，z)为平面CEF的法向量，则即不妨设x1，可得n2(1，1,1)(11分)因此有cos，n2，(13分)于是sin，n2.所以二面角OEFC的正弦值为.(14分)(3)由AHHF，得AHAF.因为(1，1,2)，所以，进而有H，(17分)从而，因此cos，n2.(19分)所以，直线BH和平

17、面CEF所成角的正弦值为.(20分)九2017·河北五校联考(本小题满分20分)如图1所示，在四边形ABCD中，ABCD，AB2BC2CD8，CDBC，O为AB的中点将四边形OBCD沿OD折起，使平面OBCD平面ODA，如图2，点E，F分别为CD，OA的中点(1)求证：DF平面AEB；(2)线段AD上是否存在一点M，使BM与平面AEB所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：如图，取AB的中点G，连接FG，EG.又F为OA的中点，所以FGOB，又OBDE，所以FGDE.又FGOB，DEOB，所以FGDE.(3分)所以四边形EDFG为平行四边形，所以DFEG.又EG平面AEB，DF平面AEB，所以DF平面AEB.(7分)(2)依题意知平面OBCD平面ODA，OBOD，平面OBCD平面ODAOD，所以OB平面AOD，得OBOA.又AOOD，故以O为坐标原点，OD，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示