椭圆与双曲线

1、椭圆与双曲线1若直线 x 2y 20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()222222A x y2 1B xy 1C x y21 或 x y 1D 以上答案都不对545545222.设F， F分别是椭圆 C： x2y2P 在椭圆 C 上，若线段PF1的中点在 y12a b 1(ab 0)的左、右焦点，点轴上， PF 1F 2 30°，则椭圆的离心率为 ()A 3B 3C1D13636x2y23. 设 P 是双曲线 1620 1 上一点， F 1，F 2 分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1| 9，则 |PF 2|等于 ()A 1B17C1 或 17D以上答案均不对

2、2 2x y4. 设椭圆 4 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 是椭圆上的一动点， 若 PF 1F2 是直角三角形， 则 PF 1F2的面积为 ()A 33C3D6或 3B3 或22x2y25已知双曲线 a2 b2 1 与直线 y 2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A (1，5)B (1，5C(5， )D 5， )6. 已知 F1， F 2 为椭圆 C： x2 y2 1的左、右焦点，点E 是椭圆 C 上的动点， EF1 ·EF2 的最大值、最小98值分别为 ()A 9,7B 8,7C 9,8D 17,87. 已知两定点 A( 2,0)和 B(2,0)，动点 P(

3、x，y)在直线 l ：y x3 上移动，椭圆 C 以 A，B 为焦点且经过点P，则椭圆 C 的离心率的最大值为()A 2B 4C 2D 4262613138已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF 2 ，则椭圆和双曲线的3离心率的倒数之和的最大值为 ()4323C 3D 2A .3B.39点 P 是椭圆 x2 y2 1 上一点， F 1， F 2 是椭圆的两个焦点，且PF 1F 2 的内切圆半径为1，当 P 在第一2516象限时， P 点的纵坐标为_答案： 8322210. 过双曲线 x2 y2 1 (a>0 ，b>0) 的左焦点 F 作圆 x2

4、y2 a 的切线， 切点为 E，延长 FE 交双曲线的右支a b4于点 P，若 E 为 PF 的中点，则双曲线的离心率为_答案1022211. 已知椭圆C：x y 1，点 M 与 C 的焦点不重合若M 关于 C 的焦点的对称点分别为A， B，线段94MN 的中点在C 上，则 |AN| |BN| _.答案122 212. 已知 F 1，F 2 为双曲线 xa2 yb2 1(a0，b 0 且 a b)的两个焦点， P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点， O 为坐标原点给出下面四个命题： PF 1F2的内切圆的圆心必在直线x a 上； PF 1F2的内切圆的圆心必在直线x b 上； PF 1F2的内

5、切圆的圆心必在直线OP 上； PF 1F2的内切圆必通过点 (a,0)其中所有真命题的序号是 _答案： x2y2 1(a>b>0)的右焦点为 F2(1,0) ，点 H 2,2 10在椭圆上13. 如图，已知椭圆 a2b23(1) 求椭圆的方程；(2) 点 M 在圆 x2 y2 b2 上，且 M 在第一象限，过M 作圆 x2 y2 b2 的切线交椭圆于P， Q 两点，求证： PF 2Q 的周长是定值解： (1) 设椭圆的左焦点为F 1，210根据已知，椭圆的左右焦点分别是F 1( 1,0)， F 2(1,0)， c 1， H 2，在椭圆上， 2a |HF 1| |HF 2|2122

6、102 2 12 210 2 6， a 3， b22，3322故椭圆的方程是 xy 1.9822x1y1(2)证明：设 P(x1， y1)，Q(x2， y2)，则 9 8 1，22x12x12x12，|PF 2| x1 1 y11819 331 0<x1<3， |PF 2|3 3x1，在圆中， M 是切点，2122222x1 |PM |OP|OM | x1 y1 8x1 819 83x1，1 1 |PF 2| |PM| 3 3x1 3x1 3，同理： |QF 2| |QM | 3， |F2P| |F2Q| |PQ |3 3 6，因此 PF 2Q 的周长是定值6.214. 已知椭圆

7、C1的方程为 x y2 1，双曲线 C2 的左、右焦点分别是C1 的左、右顶点，而C2 的左、右顶4点分别是 C1 的左、右焦点，O 为坐标原点(1) 求双曲线 C2 的方程；(2) 若直线 l： y kx2与双曲线 C2恒有两个不同的交点A和B，且· 2，求 k 的取值范围OA OBx22解： (1) 设双曲线C2 的方程为ya22 1(a 0， b 0)，b则 a2 41 3， c2 4，再由 a2b2c2，得 b2 1，2x2故双曲线C2 的方程为y 1.(2)将 y kx 2代入x221，得(1222kx 9 0.3y3k)x 6由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点，1

8、3k20，2121得236 1 3k2 36 1 k2 0，k且 k . 6 2k3设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 62k2， x1x2 92.1 3k1 3k x1x2 y1y2 x1 x2 (kx12)(kx2 2)23k2 7 (k 1)x1x22k(x1 x2) 22.3k 1又 OA ·OB 2，即 x1x2 y1y23k2 7 3k2 92，2 2，即2 0，3k 13k 11212解得 3 k 3.由得 3 k 1，故 k 的取值范围为 1， 3 3，1 .33x2y21(a>b>0) 的一个顶点， C1 的长轴是圆22 4的直

9、径 l 1，15如图， 点 P(0，1)是椭圆 C1： 22C2：x yabl 2 是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中l1 交圆 C2 于 A， B 两点， l 2 交椭圆 C1 于另一点 D.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)求 ABD 面积取最大值时直线 l 1 的方程2解(1) 由题意得 b 1， 所以椭圆 C 的方程为 x y21.14a 2.(2)设 A( x1， y1)， B(x2， y2)， D( x0，y0 )由题意知直线 l1 的斜率存在，不妨设其为k，则直线 l 1 的方程为 y kx1. 又圆 C2： x2 y2 4，故点 O 到直线 l1 的距离 d1，所以 |AB| 24 d2 2k21又 l 2 l1，故直线 l 2 的方程为x ky k 0.x ky k0，由 x2 4y2 4.消去 y，整理得 (4 k2)x28kx 0，故 x0 8k2.所以 |PD|8 k2 14 k2 .4 k设 ABD 的面积为S，