相似三角形模型分析大全(精)

1、第一部分相似三角形知识要点大全知识点1.相似图形的含义把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形）解读：（1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.（2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.（3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.例1 .放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变.解：是相似图形。因为它们的形状相同，大小不一定相同.例2 下列各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；有一个内角80°的两个等腰三角形；两个正五

2、边形；有一个内角是100。的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是 （填序号）.解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为100。的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似.答案：.知识点2比例线段对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-（或b da:b=c:d ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.a c解读：（1）四条线段a,b,c,d 成比例，记作（或a：b=c:d ）,不能写成其他形式，即比例线段b d有顺序性.a c（2） 在比例式（或a

3、:b=c:d ）中，比例的项为 a,b,c,d ，其中a,d为比例外项，b,c为比例内项，db d是第四比例项.a b（3） 如果比例内项是相同的线段，即或a:b=b:c，那么线段b叫做线段和的比例中项。b c 通常四条线段a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等.a例3 .已知线段 a=2cm, b=6mm,求b分析：求a即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比.b3、例4 .已知a,b,c,d 成比例，且 a=6cm,b=3dm,d= dm,求c的长度.2分析：由a,b,c,d 成比例，写出比例式 a

4、:b=c:d，再把所给各线段 a,b,d 统一单位后代入求 c. 知识点3.相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：（1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.（2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.例5.若四边形 ABCD勺四边长分别是 4, 6, 8, 10,与四边形ABCD相似的四边形 A1BGD的最大边长为 30,则四边形 ABCD的最小边长是多少？1分析：四边形 ABCD与四边形ABQD相似，且它们的相似比为对应的最大边长的比，即为1，再根据相似3多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长.知识点4

5、 相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形. 解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种；(2) 应结合相似多边形的性质来理解相似三角形；(3) 相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同；(4) 相似用“s”表示，读作“相似于”；(5) 相似三角形的对应边之比叫做相似比.注意：相似比是有顺序的，比如AB3A AiBiCi，相似比为 k,若厶AiBiCis1ABC则相似比为一。若两个三角形的相似比为i，则这两个三角形全等，全等三k角形是相似三角形的特殊情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等.例6.如图，已知 ADEA ABC

6、 DE=2, BC=4则和的相似比是多少？点D, E注意：解决此类问题应注意两方面:(i)相似比的顺序性，(2)图形的识别.分别是AB AC的中点吗？3DE 2 iBCDEAD AE解：因ADSA ABC所以，因为BCAB ACAD ae i所以，所以D, E分别是AB, AC的中点.AB AC 2知识点5.相似三角的判定方法(1) 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似；(2) 平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3) 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4) 如果一个三角的两条边与另一个

7、三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形 相似.(5) 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.ACD与 ABC相似？试分别加以列举.例7 .如图，点D在厶ABC的边AB上，满足怎样的条件时，分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知，ACD与 ABC已有公共角/ A,要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可.解：当满足以下三个条件之一时，AC3A ABC条件一：型=也 /仁/B;条件二：/ 2=Z ACB条件三：，即ACf=AD AB

8、.AC AB知识点6 .相似三角形的性质(1) 对应角相等，对应边的比相等；(2) 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；(3) 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方.例 8.如图，已知 ADEA ABC AD=8 BD=4, BC=i5 EC=7(1) 求DE AE的长；你还能发现哪些线段成比例.#ACDEBCADABAEAC52 ab例 9.已知 AB3AAiBiC,二一, ABC的周长为 20cm,面积为 40cmf.3 A Bi求（1 ） ABC的周长； 厶ABC的面积.分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解.易求出 A

9、BC的周长为30cm; ABQ的面积90cm第二部分相似三角形模型分析大全、相似三角形判定的基本模型认识（一） A字型、反A字型（斜 A字型）#（二） 8字型、反8字型#（四）一线三等角型:7（六）双垂型:#、相似三角形判定的变化模型#旋转型：由A字型旋转得到1-a h c 8字型拓展#共享性一线三等角的变形#9#第三部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1 :如图，梯形 ABCD中，AD / BC,对角线 AC、BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于 E.求证：OC? =0A OE .#例2 :已知：如图， ABC中，点E在中线AD上，.DEB=/ABC .求证：(1) DB2 二

10、 DE DA ; (2) . DCE=/DAC .例3:已知：如图，等腰 ABC中，AB = AC, AD丄BC于D , CG/ AB, BG分别交 AD、AC于E、F .求证：BE $ = EF EG .相关练习：1如图，已知 AD ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线求证：FD ' = FB FC .2、已知：AD是 Rt ABC中/A的平分线，/ C=90°, EF是AD的垂直平分线交 AD于M EF、BC的延长线 交于一点M求证： AM3A NMD; (2)ND 2 =NC- NBA3、已知：如图，在 ABC中，/ ACB=90 , CDL AB于D, E是AC上

11、一点，CF丄BE于F。 求证：EB- DF=AE- DB11#5. 已知：如图，在 Rt ABC中，/ C=90°, BC=2, AC=4, P是斜边AB上的一个动点，PDLAB交边 AC于点D (点D与点A C都不重合)，E是射线DC上一点, P两点的距离为x，A BEP的面积为y.(1) 求证：AE=2PE(2) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(第 25题图)(3) 当厶BEP-与 ABC相似时，求 BEP的面积.双垂型1、如图，在 ABC中，/ A=60°, BD CE分别是AC AB上的高求证：(ABDA ACE (2) ADEA ABC (3)BC=2

12、ED2、如图，已知锐角 ABC , AD、CE分别是BC、AB边上的高， ABC和厶BDE的面积分别是 27和3,DE=6、2，求：点B到直线AC的距离。13#BDC#共享型相似三角形CE=3 ,求等边三角形的边1 > ABC是等边三角形，D、B C E在一条直线上,/ DAE=I2O，已知bd=1,长15#2、已知：如图，在 Rt ABC 中，AB=AC,Z DAE =45°求证：(1) ABEACD ;(2) BC2 =2BE CD .#一线三等角型相似三角形例1:如图，等边 ABC中，边长为6, D是BC上动点，/ EDF =60(1) 求证： BDE CFD(2) 当

13、BD=1, FC=3 时，求 BE例2: (1)在；ABC中，AB二AC = 5 , BC =8，点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、 点B重合)，且保持.APQ =/ABC. 若点P在线段CB上(如图)，且BP =6，求线段CQ的长； 若BP二x , CQ二y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；C(2)正方形ABCD的边长为5 (如下图)，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持NAPQ=90°当CQ=1时，求出线段BP的长.例 3:已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, ADv BC,且 AD= 5, AB= DC= 2.(1)

14、如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC=Z A. 求证； ABPs DPC 求AP的长.A PDBC(2) 如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/ BPE=Z A, PE交直线BC于 点E,同时交直线DC于点Q,那么 当点Q在线段DC的延长线上时，设 AP=x, CQ= y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的 定义域； 当CE= 1时，写出AP的长.ADAD例4:如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB二CD=BC=6 , AD =3 点M为边BC的中点，以 M为顶点作.EMF = . B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF (1) 求证

15、： MEF BEM ;(2) 若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；(3) 若EF _CD，求BE的长.A17相关练习:1、如图，在 ABC中，AB=AC=8 , BC=10, D是BC边上的一个动点，点 E在AC边上，且ADE C .求证： ABDDCE ;如果BD=x， AE=y，求y与x的函数解析式，并写出自变量当点D是BC的中点时，试说明厶 ADE是什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在厶 ABC中， AB=AC=6, BC=5 , D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结 DE , 并作.DEF二/B，射线EF交线段AC于F.(1)求证： DBEECF ;(2

16、)当F是线段AC中点时，求线段 BE的长；(3) 联结DF，如果 DEF与厶DBE相似，求FC的长.备用图19B EC备用图#3、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点.(1)如图，P为BC上的一点，且2)如果点P在BC边上移动(点同时交直线 AD于点M,那么 当点F在线段CD的延长线上时，设 定义域；9 当S dmfS Bep时，求BP的长.BP=2 .求证： BEPCPD;P与点B、C不重合)，且满足/ EPF = / C, PF交直线CD于点F ,bp= X，DF= y，求y关于X的函数解析式，并写出函数的(

17、第 25题图)(备用图)备用图#备用图#4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF =1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG, FG交直线AC于点M , N ,(1) 写出图中与 BEF相似的三角形；(2) 证明其中一对三角形相似；(3) 设BE =x,MN二y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量(4) 若AE =1，试求GMN的面积.一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE _ CP , 交边AB于点E,设PD =x,AE =y，求y关于x的函数关系式，并写出 x的取值范围。AO 2例2、在 ABC中，.C =90°,AC =4,BC =3,0是AB上的一点，且电二兰，点P是AC上的一个AB 5动点，