信号与系统王明泉第二章习题解答

1、第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应；（4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应；（5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况；（7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。；2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立；（

2、2）用时域经典法求系统的响应；（3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是函数形式与其它信号的卷积；（5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。2.3 本章的知识结构2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻： 电感： 电容： 2.4.2 系统微分方程的求解齐次解和特解。齐次解为满足齐次方程 当特征根有重根时，如有重根，则响应于的重根部分将有项，形如 当特征根有一对单复根，即，则微分方程的齐次解 当特征根有一对重复根，即共有重的复根，则微分方程的齐次解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。激励函数响应函数的特解(常数)注:(1)表中、是待定系数。 (

3、2)若由几种激励组合而成，则特解也为其相应的组合。 (3)若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：倍乘表中特解。假如这种重复形式有次（特征为次），则依次增加倍乘，诸项。2.4.3起始点的跳变-从到状态的转换在系统分析中，定义响应区间为确定激励信号加入后系统的状态变化区间。一般激励都是从时刻加入，此时系统的响应区间定义为。当系统用微分方程表示时，系统从到状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含及其各阶导数项。如果包含有及其各阶导数项，说明相应的到状态发生了跳变，即或等等。这时为确定、等状态，可以用冲激函数匹配法。2.4.4系统的零输入响应与零状态响应（1）零输入响应系统的零输入响

4、应是当系统没有外加激励信号时的响应。零输入响应是满足及起始状态的解,它是齐次解的一部分 由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发生跳变，所以中的常数可由确定。（2）零状态响应所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的起始状态为零，即这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应。零状态响应由起始状态为零时的方程 所确定。系统的零状态响应为 其中和分别为齐次解和特解。系统的线性：条件1 系统响应可以分解为零输入响应与零状态响应之和。 条件2 零输入线性，即零输入响应与初始状态或之间满足线性特性。条件3 零状态线性，即零状态响应与激励之间满足线性特性。 2.2.5连续时间系统的冲激响应与阶跃响应

5、（1）冲激响应系统在单位冲激信号作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，用表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。因果系统的冲激响应为 （2）阶跃响应一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数时，系统的零状态响应阶跃响应与冲激响应之间的关系为 或 2.2.6 卷积积分（1）卷积积分的概念一般情况下，如有两个信号和做运算 此运算定义为和的卷积(Convolution)，简记为 或 （2）卷积积分的图解法用图

6、解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。两个信号和的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：第一步，画出和波形，将波形图中的轴改换成轴，分别得到和的波形。第二步，将)波形以纵轴为中心轴翻转180，得到波形。 第三步，给定一个值，将波形沿轴平移。在时，波形往左移，在时，波形往右移，这样就得到了的波形。 第四步，将和相乘，得到卷积积分式中的被积函数。 第五步，计算乘积信号波形与轴之间包含的净面积。第六步，令变量在范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号。（3）卷积运算的性质性质1 乘法运算中的交换律、结合律和结合律适应于卷积运算交换律 结合律 分配律性质2 信号与奇异信号

7、的卷积信号与冲激信号的卷积等于信号本身，即 信号与冲激偶的卷积等于的导函数，即 信号与阶跃信号的卷积等于信号的积分,即 性质3 卷积的微分与积分如果，则有 如果，则。设，则有 2.2.7 用卷积积分法求系统的零状态响应对于任一时刻系统的零状态响应为 2.2.8 相关如果和是两个能量有限的信号，且均为实函数，则它们之间的相关函数（又称为互相关函数）定义为和 互相关性质：。当和是同一个信号时，即，则它们之间的相关函数（又称为自相关函数）定义为自相关函数性质：（1）（2）时，相关性最强，最大。如果和是功率有限信号，且均为实函数，那么互相关函数定义为 和 自相关函数定义为 2.2.9用算子符号表示微分

8、方程（1）算子符号的基本性质如果把经常出现的微分和积分用下述算子符号表示 式中，称为微分算子，称为微分逆算子或积分算子。这样，可以应用微分或积分算子简化表示微分和积分运算。例如 对于微分方程式(2-4)则可表示为 性质1 以的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。性质2 设A(p)和B(p)是的正幂多项式，则 性质3 微分算子方程等号两边的公因式不能随便消去。性质4 算子的乘除顺序不可以随意颠倒。（2）用算子符号建立微分方程 对于LTI连续系统，其输入输出方程是线性、常系数微分方程，用输入-输出法描述系统时，由式(2-62)可得出输入激励与输出响应之间的关系是

9、 其中 令，代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称为响应对激励的传输算子或系统的传输算子。 2.5典型考试试题解析题1、 已知系统微分方程为，若，解得全响应为，t0。全响应中为（ ）（a）零输入响应分量(b)零状态响应分量 (c)自由响应分量 (d)稳态响应分量答案：（d）分析：响应中不含齐次解，所以答案(a)(b)(c)都不是题2、两线性时不变系统分别为S1和S2，初始状态均为零。将激励信号先通过S1再通过S2，得到响应；将激励信号先通过S2再通过S1，得到响应。则与的关系为_。答案：分析：该题是考查级联系统的交换率：两级联系统交换保持不变题3、计算，其中“*”表示卷

10、积。解： 题4、已知信号和如图4所示 图4试计算，并画出的波形。解： 波形如下图：题5、 已知，可以求得（ ） (a) (b) (c) (d) 答案(c)分析：采用卷积的定义，直接积分求得题6、_。答案：分析：采用卷积的微分性质：题7、 一起始储能为零的系统，当输入为时，系统响应为，则当输入为时，系统的响应为 。答案：分析：线性系统的微分特性的题8、一线性时不变系统在相同的初始状态下，当激励为时，其全响应为；当激励为时，其全响应为。试求在同样初始条件下，激励为时系统的全响应。解： （1） （2），两种输入的初始条件一样， （3）根据（1）（2）（3）式，可得，初始条件不变，2.6本章习题全解2

11、.1如题图2-1所示机械位移系统，质量为的刚体一端由弹簧牵引，弹簧的另一端固定在壁上，弹簧的刚度系数为。刚体与地面间的摩擦系数为，外加牵引力为，求外加牵引力与刚体运动速度间的关系。题图2-1解：由机械系统元件特性，拉力与位移成正比，即又所以，刚体在光滑表面滑动，摩擦力与速度成正比，即根据牛顿第二定律以及整个系统力平衡的达朗贝尔原理，可得整理得2.2题图2-2所示电路，输入激励是电流源，试列出电流及上电压为输出响应变量的方程式。题图2-2解：由电路的基尔霍夫电流定律可得： （1）根据电容特性， （2）由电路的基尔霍夫电压定律可得： （3）将代入（2）得（4）代入（4）得，整理得， （5）将，即代

12、入（5）得整理得，2.3某连续系统的输入输出方程为 已知，,，试计算和值。解：将输入代入系统方程可得采用冲激函数匹配法求和方程右端的冲激函数项最高阶数为，设，则有：，将其代入原系方程，得所以2.4 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程如下， ，,试求其完全响应。解：（1）求齐次解特征方程为：特征根为：所以，（2）求特解（3）全响应将代入系统方程得 （1）将初始条件代入得：所以全响应为：2.5 已知描述某线性时不变连续系统的微分方程为，当激励为时，系统的完全响应为，。试求其零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。解：由全响应得初始条件，（1）求零输入响应特征方程为，特征根为，所以代入初始条

13、件，解得，所以， （2）求零状态响应（3）2.6 已知某线性时不变系统的方程式为试求系统的冲激响应h(t)。 解：方程右端的冲激函数项最高阶数为，设，则有：，将其代入原系方程，得2.7若描述系统的微分方程为试求系统的阶跃响应。解：由题可知：阶跃响应：2.8已知某线性时不变(LTI)系统如题图2.8所示。已知图中，,试求该系统的冲激响应。 题图2.8解：利用系统串联与系统并联的冲激响应求解2.9 设系统的微分方程表示为，求使完全响应为时的系统起始状态和，并确定常数。解：引入微分算子，则原微分方程可变换为：又由原微分方程知特征根为：所以：2.10 已知某连续系统的微分方程为 若系统的初始条件和，输

14、入信号，求系统的零输入响应，零状态响应和完全响应。（1）零输入响应满足方程其值方程特征根，故零输入响应将初始值代入上式及其导数，得由上式解得，所以（2）零状态响应是初始状态为零，且时，原微分方程的解，即满足方程即 及初始状态。先求和，由于上式等号右端含有，令积分(从到)得将、和代入微分方程可求得。对以上三式等号两端从到积分，并考虑到，可求得解上式，得，。对于,微分方程可写为不难求得其齐次解为，其特解为。于是有将初始值代入上式及其导数，得由上式可求得，所以系统的零状态响应为（3）全响应2.11已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为时，其全响应为 ；当激励为时，其全响应为 求：(1)初始

15、条件不变，当激励为 时的全响应，为大于零的实常数。 (2)初始条件增大1倍，当激励为时的全响应。解：系统的全响应是由零输入响应和零状态响应组成的，零输入响应与系统的状态呈线性关系，零状态响应与系统的输入呈线性时不变关系。设 （1）则根据零状态响应线性可得 （2）联立（1）、（2）得（1）初始条件不变，激励为 时，则（2）初始条件增大1倍，当激励为时2.12 求下列各函数和的卷积（1） 和 （2） 和 （3） 和 （4） 和 （5） 和 （6）,解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）当即时，当即时，故有2.13已知某线性时不变系统数学模型为且，试用卷积积分法求当输入激励为的零状态响应。解：冲激

16、响应满足不难求得其值分别为特征方程为其特征根，。故系统的冲激响应将初始条件，代入上式，得，所以，由此，故不含。零状态响应是冲激响应与激励的卷积积分，即2.14某LTI连续系统有A、B、C三部分组成，如题图2.14所示。已知子系统A的冲激响应 子系统B和C的阶跃响应分别为，系统输入试求系统的冲激响应、阶跃响应和零状态响应。 题图2.14解：根据LTI系统的微分特性，可得所以系统的单位冲激响应根据LTI系统的积分特性，系统的阶跃响应零状态响应2.15已知某LTI连续系统的冲激响应，输入。 若以为初始观察时刻，试求系统的零输入响应和零状态响应，并画出波形。解：（1）由系统零输入响应的定义可知在之前的激励为可知零输入响应为（2）由系统零输入响应的定义可知在开始的激励为可知零状态响应为2.16已知线性时不变系统的一对激励和响应波形如题图2.16所示，求该系统对激励的零状态响应。题图2.16解：对激励和响应分别微分一次，得当激励为响应为即当激励为时的零状态响应为2.17