关于积分型柯西中值定理“中值 ”的探讨

1、关于积分型柯西中值定理“中值”的探讨施燕 01211179（徐州师范大学 数学系 徐州 221116）摘要 本文巧妙地利用构造函数、消元、分类讨论的思想方法，将已有积分型Cauchy中值定理“中值”的取值范围加强到开区间.同时，在适当的条件下，利用泰勒定理及函数的连续性，讨论了当时积分型Cauchy中值定理“中值”的渐近性，给出了的较为一般性的结论.关键词 积分型Cauchy中值定理；介值性定理；连续性；泰勒定理1 引言中值定理（微分中值定理，积分中值定理）是数学分析中最基本而且最重要的定理之一，鉴于它们在理论上和应用上的重要作用，因此，对中值定理的研究无疑是一件非常有意义的工作.在这一领域，

2、已有许多学者得到了很好的结果（见文献1，文献4，文献7），文献1证明了 “中值”属于闭区间时的积分型Cauchy中值定理，本文在此基础上，证明了“中值”属于开区间时的积分型Cauchy中值定理，并给出了一系列有用的推论.此外，本文还讨论了当时“中值”的渐近性，给出当两个函数高阶导数的阶不一致时“中值”的渐近性的结论，这一结论为我们处理许多问题提供了方便.2 主要结果及其证明 积分型Cauchy中值定理“中值”的取值范围的讨论.定理1（积分型Cauchy中值定理） 设函数在闭区间连续，且保号（恒大于0或恒小于0），则在上至少存在一点，使得=.引理1 设函数在闭区间上连续，对任意,有且则以下结论成

3、立：若，则有；若，则有.证明 构造函数.由条件知在上连续，且，则一定存在点使得.根据连续函数的保号性，存在正数及点的某邻域其中，使得对任意的，有.由，有，所以=+= ，即，从而.同理可证，当时，.引理2 若函数在闭区间上连续，且在上取得最大值和最小值，则对于和之间的任意一个数，在开区间内至少存在一点，使得.证明 设， 且.考虑函数在以为端点的闭区间，由介值性定理知，存在，使，即 ，.定理2 设函数在闭区间连续，且保号（恒大于0或恒小于0），则至少存在一点，使得 . 证明 令，则在上连续，故在上取得最大值和最小值，于是，有， 即 .若在上恒为常数，则开区间内任一点均可作为，定理显然成立.若在上不

4、恒为常数，那么.设，由引理1，有，将不等式两边同除以，有，由引理2知，在开区间内至少存在一点，使得.设，由引理1，有，将不等式两边同除以，有，同上可证得结论成立.定理2中，在式中令，有推论1 若函数在闭区间连续，则在开区间上至少存在一点，使得.定理2中，在式中令，有推论2 若函数在闭区间连续，函数在上可积且不变号，则在开区间上至少存在一点，使得. 当区间的端点时，积分型Cauchy中值定理“中值”的渐近性的讨论.定理3 设函数满足 在上连续，在可导，且导数在点右连续； ； ，则积分型Cauchy中值定理中值满足.定理4 设函数满足 在有直到二阶导数，且二阶导数在点右连续； ； ，且，则积分型C

5、auchy中值定理中值满足.证明 设分别为的原函数，则有，.由条件及泰勒定理知，可在点泰勒展开，从而有，因为 ，所以 ， ， ， ， ， 其中 显然满足积分型Cauchy中值定理的条件，于是将式代入式中，有，化简，得 ， 当时， 且.从而对式两边取极限可得 ，即 .定理5 设函数满足 在上有直到阶导数，且阶导数在点右连续； ； ，且，则积分型Cauchy中值定理中值满足.证明 设分别为的原函数，则有 ， .由条件及泰勒定理知，可在点泰勒展开，从而有因为 ，所以 ， 其中 显然满足积分型Cauchy中值定理的条件，于是将式代入式中，有，化简，得 ， 当时，且.从而对式两边取极限可得， 即 .显然

6、，当分别取1，2时，定理5就是定理3和定理4.由此可见，定理3和定理4是定理5的特例.观察定理5中的条件，可以发现两函数的高阶导数的阶是一致的，很自然的提出以下问题：若两函数的高阶导数的阶不一致，那么结论又将怎样？在这里适当加强条件，给出更一般的的结论.定理6 设函数满足 在上有直到阶导数，且在点右连续，； 在上有直到阶导数，且在点右连续，； ，则积分型Cauchy中值定理中值满足.证明 设分别为的原函数，则有，.由条件及泰勒定理知，可在点泰勒展开，又 ， ，从而有， ， ， ， 其中 满足积分型Cauchy中值定理的条件，于是将式代入式中，有，化简，得 ， 当时，从而对式两边取极限可得 ，

7、即 .3 应用举例例1 设函数在上连续，证明至少存在一点使得.证明 因为所以 令则在上连续，由推论1知，在开区间内至少存在一点，使得，即.例2 函数在上连续，函数在上连续，试证对于任一，存在，使得成立，且.证明 因为在上连续，且恒大于，由定理2知，至少存在一点，使得，整理，得.由条件知函数在上二阶连续可导，则有，； ，； ,； ,且对，故由定理4可得.参考文献 阴东升，丛翠英.牛顿莱布尼茨公式的应用J.曲阜师范大学学报（自然科学版），1995，21（1）：79-82.2 华东师范大学数学系.数学分析（上册）M.北京：高等教育出版社，1991.94-176.3 同济大学数学系.高等数学（第五版）

8、（上册）M.北京：高等教育出版社，2002.71-72.4 张凤芝.积分型Cauchy中值定理的一个注记J.鞍山钢铁学院学报，2002，25（1）：50-52.5 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（上册）M.北京：高等教育出版社，1992.342-343.6 方耀.关于积分中值定理中的点取值范围的探讨J.河北工业大学成人教育学院学报，2003，18（3）：5-6.7 游学民.关于Cauchy中值定理“中值点”的渐近性的讨论J.长春师范学院学报，2004，23（2）：16-18.A Discussion On “The Mean Value ” In Cauchy MeanValue Theorem

9、 Of Integral FormShi Yan(Department of Mathematics，Xuzhou Normal University，Xuzhou 221116)Abstract This paper utilized the way of thinking of constructing function、elimination、classification and discussion ingeniously，strengthed the range of “the mean value ” in Cauchy mean value theorem of integral form to the open interval. Meanwhile，under the proper conditions，we also discussed the asymptotic property of “ the mean value ” in Cauchy mean value theorem of integral form as with Taylor theorem and continuity of function，and provide