第22章一元二次方程学案

1、第二十二章 一元二次方程第一课时 一元二次方程的概念第 周星期 班别 姓名 学号 （一）学习目标：理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。（二）新知探索1、回顾与思考：观察方程：2x=1；3x+2=x-4; 2(x+2)-3(x-1)=0它们都含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的整式方程叫做一元一次方程.2、下列方程哪些是一元一次方程（）（1）5x30，（2）2xy3，（3）， （4）（5）x2+2x-403、请观察上题（5）x2+2x-40方程中，它含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的整式方程叫做

2、 。4、形如a x2+bx+c=0 ( a0 )的方程叫 ，其中a是 ，b是 ，c是 。5、请任意写出一个一元二次方程 。（三）课堂练习1、请直接写出下列方程的二次项系数、一次项系数以及常数项 2 x2+3x+5=0 x2-3x+4=0 x2-4x-9=0 9 x2-81=0 4 x2+5x=0 -2 x2-7=02、把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数以及常数项 3x2+x=5 7x-1= x2 x(x+4)=0 (x-2) 2-5=0 2x(x+1)+3(x-3)=1 （2x-1）（x+2）=03、典型问题：若关于x的方程（k3）x2kx10是一元二次方

3、程，求k的取值范围。(四)课堂小结1、一元二次方程的一般形式是 。2、一元二次方程定义的三个条件是： 必须是 方程 只含有 个未知数 未知数的最高次数是 。3、在回答“项或系数”时一定要连同它前面的 。第二课时 一元二次方程的解法直接开平方法第 周星期 班别 姓名 学号 （一）学习目标：理解什么是一元二次方程的根，什么是一元二次方程的“降次”？并且会用直接开平方法来解一元二次方程（二）课前小测：（1）请写出一元二次方程的一般形式 。（2）一元二次方程5x2=2x中，a= , b= , c= 。(3) 若关于x的方程（2-a）x2x-10是一元二次方程，求a的取值范围（三）温故知新：1、解方程：

4、3x=2(x+5) 2试说出什么是方程的解？3、下列各数是方程解的是（ ）A、6B、2C、4D、0（四）探求新知：1、下面哪些数是方程x2-x-2=0的根？-3、-2、-1、0、1、2、3、2、若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？3、求出或表示出下列各数的平方根。（1）25 （2）0 （4）7 （5）4、根据平方根定义求出下列各式中的x.（1）x2=25 (2) x2=7 (3) 9x2=16 (4) x2=96、用直接开平方法解下列一元二次方程（1）（x+2）2=9 （2）x2-1=0（3）y2-6=1 （4）16x2-25=0 7、拓展与提高-解方程：12（2-x）2-9

5、=0(五)课堂小结1、一元二次方程的解也称为它的 。2、这节课所学的解一元二次方程的方法叫做 。3、解一元二次方程实际上就是把方程进行 ，把未知数次数降为1。第三课时 一元二次方程的解法配方法第 周星期 班别 姓名 学号 （一）学习目标：能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤；知道“配方法”是一种常用的数学方法。（二）课前小测：解下列方程（1）x2=9 （2）（x-1）2 =1（三）知识回顾：1、填空 a2+2ab+ b2= a2-2ab+ b2= （x+2）2 = （x-1）2 = x2+4x+4= x2-6x+9= 2、填上适当的数，使下列各式成立，并总结其中的规律。（1）x2+ 6x+

6、=(x+3)2 (2) x2+8x+ =(x+ )2 （3）x2-12x+ =(x- )2 (4) x2-+ =(x- )2(5) a2+3a+ =(a+ )2 (6)a2-a+ =(a- )23、用直接开平方法解方程：x2+6x+9=2（四）探求新知：（认真解下列2组方程，看看你能否发现规律）（1） (x+1)2=4 （2） (x-2)2=9 x2+2x+1=4 x2-4x+4=9 x2+2x-3=0 x2-4x-5=0（3）用配方法解下列一元二次方程 x2+8x-2=0 x2+5x-6=0 x2-6x=0 x2-x-2=0 4x2+8x-1=0 -3x2-2x+3=0（4）你会用配方法来解

7、方程ax2+bx+c=0( a0 )吗？(五)课堂小结用配方法解一元二次方程的步骤：(4个)先把方程中的二次项系数化为 ，移项，使方程左边只含有 项和 项，右边为 项，配方，方程左右两边都同时加上一次项系数一半的 ，原方程变为(x+k)2=a的形式，如果右边是非负数，就可用 方法来求方程的解。第四课时 一元二次方程的解法公式法第 周星期 班别 姓名 学号 （一）学习目标：经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。会用公式法解简单系数的一元二次方程。（二）课前小测：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？（口答）2、用适当的方法解下列方程（1）x2-16=0 （2）x2-6x+5=0（三）知识

8、回顾1、写出下列方程的二次项系数、一次项系数以及常数项 x2-3x+5=0 x2=3x 2+6x=x2 -9x2-81=0（四）探求新知：1、你会用配方法来解方程ax2+bx+c=0( a0 )吗？得出求根公式 2、对于二次根式，我们知道数a必须满足要求a0,所以要方程有解，我们必须先确定b2-4ac ，3、用公式法解下列一元二次方程 2x2+x-6=0 x2+4x=2 5x2-12=4x 4x2+4x+10=1-8x 4、3x（x-3）=2(x-1)(x+1)(五)课堂小结1、这节课所学的解一元二次方程的方法叫做 。求根公式是 。2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化成 形式

9、，确定a、b、c的值，（2）再求出 的值，确定方程有解后再进行解方程。第五课时 一元二次方程跟的判别式第 周星期 班别 姓名 学号 （一）学习目标：会用根的判别式b2-4ac去判定一元二次方程根的情况（二）知识回顾1、请写出一元二次方程的求根公式 。2、用求根公式解下列一元二次方程 x2+4x-5=0 x2-2x+1=0 x2+3x+6=03、仔细观察上题三个方程的解，你发现什么？一元二次方程的根的情况与什么有关系？4、我们可以发现：当b2-4ac ，方程有两个不相等的实数根当b2-4ac ，方程有两个 的实数根当b2-4ac ，方程 实数根当b2-4ac ，方程有实数根（三）典型例题1、不解

10、方程，判断下列一元二次方程根的情况 3x2+2x-5=0 x2-7=4x x2+4x+4=0 2x2=x2、（典型问题）已知关于x的一元二次方程kx2-6x-2=0有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围。3、当m为何值时，关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有实数根？4、试说明不论m为何值，关于x的一元二次方程x2+mx+m-1=0必定有实数根（四）课堂小结1、我们可以用 来判断一元二次方程根的情况？2、一元二次方程的根有3种情况，分别是有两个 的实数根，有两个 的实数根， 的实数根第六课时 一元二次方程的解法因式分解法第 周星期 班别 姓名 学号 （一）学习目标：了解用因式分解法解方程的

11、根据是：“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因式中一个等于0，它们的积就等于0.”（二）知识回顾1、什么叫因式分解？因式分解的方法都是有哪几种？（口答）2、平方差公式a2-b2= 2、在实数范围内因式分解。（1）x2-12x (2) x2-9 (3) 2x2-8 (4) (2x-1)2-(x-3)23、判断正误。（1）若ab=0； 则 a=0或b=0 ( )（2）若a=0或b=0； 则ab=0 ( )（3）若(x+2)(x-5)=0； 则x-2=0或x-5=0 ( )（4）若x-2=0或x-5=0； 则(x+2)(x-5)=0 ( )（三）新知探索1、解

12、方程 (x+2)(x-5)=0 x(x-3)=02、：用因式分解法解下列方程 3x2-8x=0 x2=3x x2- 4=0 （x+1）2- 4=045- x2=0 3（x+2）=x(x+2) （典型例题） 2x2-18=0 2(x-5)-x(5-x)=03、请用最适当的方法解下列方程 x2=25 2 x2- x=0 x2- 4x=1 3x2- 2x-3=0（四）课堂小结这章书我们一共学习了4种解一元二次方程的方法，分别是 ， ， ， 。解方程练习课一、 总结解一元二次方程的方法 二、 观察下列方程特点，归纳方法（1） 选用 解法（2） 选用 解法（3） 选用 解法（4） 选用 解法三、练习解方

13、程1、用适当的方法解方程（1） （2）（3） （4） （5） （6）（7） （8）三、 作业1、解方程（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）2、已知方程有两个不相等的实数根，求K的取值范围。根与系数的关系第 周星期 班别 姓名 学号 （一）学习目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，运用根与系数的关系解决相关待定系数的值.（二）课前小测：1.方程 的根的情况是( ) A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根C有一个实数根 D 没有实数根2. 一元二次方程有两个不相等的实数根,那么K的取值范围是 （三）新知探索：1、解方程 你能找出这两个根的和与积同原来方程的系数a、b、

14、c的关系吗？ 我们试着推导一下： 那么， 练习：1、已知方程的两根是，则： ，= ，已知方程的两根是，则： ，= 。2、已知方程，则下列说中，正确的是 （ ）（A）方程两根和是1 （B）方程两根积是2（C）方程两根和是 （D）方程两根积是两根和的2倍 4、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 1 、3 ，则 b= ，,c= .（四）典型问题：问题一：已知方程5X2+kX-6=0的一个根是2,求它的另一根及k的值.练习： 1、 已知方程的一个根是1，则另一个根是 ，的值是 .问题二：已知关于x的方程3x2+6x-2=0的两根为x1 ，x2，求（1） （2）的值.练习：

15、 1、已知关于x的方程3x2-mx-2=0的两根为x1 ，x2，且 ，求 m的值；求的值.2、已知、是方程的两个实数根，则+的值是 *拓展与提高：已知关于x的方程的两根为x1 ，x2，且x1-x2=4，求m的值。（五）小结与提高：1、一元二次方程根与系数的关系: 2、常见应用形式:平方和= 倒数和=一元二次方程应用(1):循环问题第 周星期 班别 姓名 学号 （一）学习目标：1、学会列一元二次方程解循环问题的应用题。2、掌握列一元二次方程解应用题的步骤。（二）课前小测：1、方程3X2-7X+2=0的两根为X1、X2， 则X1+X2= ，X1X2= 2、已知方程3X2-19X+m=0的一个根是1

16、,求它的另一个根及m的值.（三）新知探索：1、即将毕业，三个好友将自己的照片向其余两个好友各赠送一张，三人之间共互赠了 张；若是四个好友，四人之间共互赠了 张。问题一：即将毕业，九（1）班的学生将自己的照片向本班同学各赠送一张，全班共互赠了182张，若全班有x名学生，则根据题意列出的方程是（ ）A、x（x1）182； B、x（x1）182；C、2x（x1）182； D、0.5x（x1）1822、三人见面,互相握手,总共握了 次手.四人互相握手, 总共握了 次手.问题二：参加一次聚会的每两个人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加聚会？ 列方程解应用题的步骤:第一步:设X 第二步:找相等

17、关系列方程 第三步:解方程 第四步:验根 第五步:答题 归纳: 单循环问题公式： 双循环问题公式： 四、再次比较：1、 要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程要排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（分析： 循环问题）2、要组织一次排球邀请赛，分主客场比赛（即参赛的每两个队之间都要比赛2场）。根据场地和时间等条件，赛程要排14天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？（分析： 循环问题）练习：参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一分合同，所以公司共签定了45份合同，共有多少公司参加商品交易会？（分析： 循环问题）列方程解

18、应用题的步骤:第一步:设X 第二步:找相等关系列方程 第三步:解方程 第四步:验根 第五步:答题 （五）小结与提高：1、列方程解应用题的步骤 2、单循环公式： 双循环公式： （六）作业：课本第48页第6题，第53页第7题一元二次方程应用(2): 传染问题第 周星期 班别 姓名 学号 （一）学习目标：1、学会列一元二次方程解传染问题的应用题。2、掌握列一元二次方程解应用题的步骤。（二）课前小测：某市组织一次足球比赛，参赛的每个队之间都要比赛一场。共比赛了15场，共有多少个队参赛？（分析： 循环问题）（三）新知探索：1、经调查，有1人患了流感后会传染10人，此时共有 人患了流感，如果这批人再次传染

19、，将会有 人被传染，此时共有 人患了流感。问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析:（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感。（2）在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感。归纳：传染问题公式： 四、练习1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中平均一人传染X人数，则可列方程 2、一台电脑被病毒感染，经过两轮传染后共有121台电脑中毒，求平均每轮传染中有多少台电脑中毒？猜想

20、经过三轮传染之后，中毒的电脑是否超过1000台？3、2010年亚运会在广州举办，组委会决定对志愿者进行分批培训。某高校学生李红已受训及格，成为该校唯一的一名合格志愿者，并由她负责培训本校的第一批志愿者，再由李红和参加第一批培训且合格的志愿者培训第二批志愿者。已知参加两批培训的志愿者全部合格，经两批培训后，该校共有100名合格志愿者，求每批培训中每个志愿者平均培训多少人？（五）小结与提高：1、列方程解应用题的步骤 2、传染问题公式： （六）作业：有1人患了红眼病，经过两轮传染后共有64人患了红眼病，每轮传染中平均一个人传染了几个人？四轮传染后共有多少人感染了红眼病？一元二次方程应用(3): 增长

21、率问题第 周星期 班别 姓名 学号 （一）学习目标：学会列一元二次方程解增长率问题的应用题。（三）新知探索：（1）爸爸说：“这学期我第一个月给100元零用钱，你表现好的话以后每个月都在前一个月的基础上多给10%。(即月平均增长10%)”你知道第二个月你得到多少零用钱吗 ，第三个月呢 ，第四个月 ，第n个月 （2）爸爸说：“这学期我第一个月给100元零用钱，你表现好的话以后每个月平均增长百分率为X。”到了第三个月爸爸给了144元，你知道月平均增长率是多少吗？第四个月你的零用钱有 元。小结：增长率公式 （四）典型问题：问题一：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到72万册求这两年的年

22、平均增长率练习：某禽肉加工企业一月份的产量为10万公斤，受禽流感的影响，二月份的产量比一月份下降了70%，到四月份基本恢复到一月份的产量。若三、四月份的月平均增长率为X，则可列方程为 问题二：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，产1吨乙种药品的成本是3600元。那种药品成本平均下降率较大？问题三：某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的第一季度营业额1000万元（即 月的营业额共1000万元），如果平均每月增长率为X，则由题意列方程应为（ ）A. 200（1+X）2=1000 B.

23、 200+200·2·X=1000C. 200+200·3·X=1000 D. 2001+（1+X）+（1+X）2=1000练习：某电脑公司2009年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率。问题四：广州市政府为了办好2010年亚运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）A 19% B 20% C 21% D 22% 问题五：花都区政府计划两年后实现区财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均增长率应

24、为多少？（五）小结与提高：1、增长率公式： （X为增长率/降低率，n为增长次数, n=2最常见。） （六）作业：课本第48页第7题一元二次方程应用(4):几何图形面积问题第 周星期 班别 姓名 学号 （一）学习目标：学会列一元二次方程解几何图形面积问题的应用题。（二）课前小测：某饲料厂一月份生产饲料500吨，三月份生产饲料720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有（ ）（A）500（1+x2）=720 （B）500(1+x)2=720（C）500(1+2x)=720 （D）720(1+x)2=500（三）新知探索：1、已知矩形的宽为2米，长为8米，则矩形的面积为 平方米。2、已知矩形

25、的宽为2米，长比宽多6米，则矩形的面积为 平方米。3、 要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽应各是多少？问题：有一根20米长的绳子，怎样用它来围成一个面积为24米2的矩形？（四）典型问题：问题一：学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏请你设计，如何搭建较合适？*2、活动：用一根120 cm长的绳子，围成满足下列条件的矩形：（1）面积为500 cm2（2）面积为675 cm2（1）面积为900 cm2试一试，能围出面积大于900 cm2的矩形吗？你能解释你的结论吗？典型问题二：学校生物小组

26、有一块长32m，宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道要使种植面积为540，小道的宽应是多少？练习：1、学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽（精确到01米）（五）作业书本53页第8题一元二次方程应用(5):几何图形面积问题（一）学习目标：学会列一元二次方程解几何图形面积问题的应用题。（二）典型问题：问题一：学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片外围镶上一圈等宽的彩纸经试验，彩纸面积为相片面积的时较美

27、观，求彩纸的宽。解：设彩纸条的宽为Xcm，则大长方形的长为 cm，宽为 cm， 练习：学校准备把学生的优秀绘画作品装裱起来，画纸长为40厘米，宽为30厘米，在画的四周装上一圈等宽的木框，使画纸的面积为整个画框面积的四分之三，求木框的宽度。问题二：小明爸爸想利用一块矩形铁板在四个角各剪去一个同样的正方形，做出一个底面积为2平方米的无盖铁盒，已知铁板的长为3米，宽为2米。小明爸爸问小明应该剪去多宽的正方形？你能帮他算一算吗？解：设剪去的正方形的边长为Xcm，则铁盒的底面长为 cm，宽为 cm，练习：1、有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm。在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？解：设切去的正方形的边长为Xcm，则长方体盒子的底面长为 cm，宽为 cm，变式1、小明爸爸利用一块矩形铁板在四个角各剪去一个边长为0.5米的正方形。做好了一个容积为1立方米的无盖蓄水池，已知铁板的长比宽多1米。小明爸爸问小明原来铁板长和宽各是多少？2、有一个长是宽