中考数学云南专版总复专项突破汇编（2）分类讨论型问题

1、.备战2019中考初中数学六大题型专项打破专题二:分类讨论型问题【方法指导】分类是按照数学对象的一样点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其本质，对于加深根底知识的理解、进步分析问题、解决问题的才能是非常重要的分类的原那么：1分类中的每一部分是互相独立的；2一次分类按一个标准；3分类讨论应逐级进展分类讨论型问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为假设干不同的情形，然后逐类进展研究和求解。对于因为存在一些不确定因素而无法解答或者结论不能统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为假设干类或者假设干个部分问题来解决。问题类型主要有：由计算化简时，运用法那么、定理和原

2、理的限制引起的讨论；由特殊的三角形形状不确定性引起的讨论，由直线与圆的位置不确定性引起的讨论。【典例解析】类型一： 因计算化简运用法那么、定理和原理的限制引起的讨论【例1】类型二： 由特殊三角形的形状不确定性引起的讨论【例2】2019东营9.00分关于x的方程2x25xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中A是锐角三角形ABC的一个内角1求sinA的值；2假设关于y的方程y210y+k24k+29=0的两个根恰好是ABC的两边长，求ABC的周长【分析】1利用判别式的意义得到=25sin2A16=0，解得sinA=；2利用判别式的意义得到1004k24k+290，那么k220，所以k=2，把k

3、=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，那么ABC是等腰三角形，且腰长为5分两种情况：当A是顶角时：如图，过点B作BDAC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到ABC的周长；当A是底角时：如图，过点B作BDAC于点D，在RtABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到ABC的周长【解答】解：1根据题意得=25sin2A16=0，sin2A=，sinA=或 ，A为锐角，sinA=；2由题意知，方程y210y+k24k+29=0有两个实数根，那么0，1004k24k+290，k220，k220，又k220，k=2，把k=2代入方程，得y210y

4、+25=0，解得y1=y2=5，ABC是等腰三角形，且腰长为5分两种情况：当A是顶角时：如图，过点B作BDAC于点D，在RtABD中，AB=AC=5sinA=，AD=3，BD=4DC=2，BC=ABC的周长为；当A是底角时：如图，过点B作BDAC于点D，在RtABD中，AB=5，sinA=，A D=DC=3，AC=6ABC的周长为16，综合以上讨论可知：ABC的周长为或16【点评】此题考察了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0a0的根与=b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根也考察理解直角三角形类型三： 由直线与圆

5、的位置不确定性引起的讨论【例3】2019上海4.00分如图，POQ=30°，点A、B在射线OQ上点A在点O、B之间，半径长为2的A与直线OP相切，半径长为3的B与A相交，那么OB的取值范围是A5OB9B4OB9C3OB7D2OB7【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认B与A相切时，OB的长，可得结论【解答】解：设A与直线OP相切时切点为D，连接AD，ADOP，O=30°，AD=2，OA=4，当B与A相内切时，设切点为C，如图1，BC=3，OB=OA+AB=4+32=5；当A与B相外切时，设切点为E，如图2，OB=OA+AB=4+2+3=9，半径

6、长为3的B与A相交，那么OB的取值范围是：5OB9，应选：A类型四： 由方程或函数的不确定而引起的讨论【例4】2019内江对于三个数a，b，c，用Ma，b，c表示这三个数的中位数，用maxa，b，c表示这三个数中最大数，例如：M2，1，0=1，max2，1，0=0，max2，1，a=解决问题：1填空：Msin45°，cos60°，tan60°=，假如max3，53x，2x6=3，那么x的取值范围为；2假如2M2，x+2，x+4=max2，x+2，x+4，求x的值；3假如M9，x2，3x2=max9，x2，3x2，求x的值【分析】1根据定义写出sin45°

7、，cos60°，tan60°的值，确定其中位数；根据maxa，b，c表示这三个数中最大数，对于max3，53x，2x6=3，可得不等式组：那么，可得结论；2根据新定义和分情况讨论：2最大时，x+42时，2是中间的数时，x+22x+4，2最小时，x+22，分别解出即可；3不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x2，画出图象，根据M9，x2，3x2=max9，x2，3x2，可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论【解答】解：1sin45°=，cos60°=，tan60°=，Msin45°

8、，cos60°，tan60°=，max3，53x，2x6=3，那么，x的取值范围为：，故答案为：，；22M2，x+2，x+4=max2，x+2，x+4，分三种情况：当x+42时，即x2，原等式变为：2x+4=2，x=3，x+22x+4时，即2x0，原等式变为：2×2=x+4，x=0，当x+22时，即x0，原等式变为：2x+2=x+4，x=0，综上所述，x的值为3或0；3不妨设y1=9，y2=x2，y3=3x2，画出图象，如下图：结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M9，x2，3x2=max9，x2，3x2=yA=yB，此时x2=9，解得x=3或

9、3【真题热身】1. 2019哈尔滨3.00分在ABC中，AB=AC，BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，假设ABD为直角三角形，那么ADC的度数为 2. 2019山东淄博8分如图，直线y1=x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A1，m，这两条直线分别与x轴交于B，C两点1求y与x之间的函数关系式；2直接写出当x0时，不等式x+b的解集；3假设点P在x轴上，连接AP把ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标3. 2019湖北荆州3.00分如图，正方形ABCD的对称中心在坐标原点，ABx轴，AD、BC分别与x轴交于E、F，连接BE、DF，假设正方形ABCD有两个顶点在双

10、曲线y=上，实数a满足a3a=1，那么四边形DEBF的面积是 4. 2019黑龙江龙东3.00分RtABC中，ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，那么这个等腰三角形的面积是 5. 2019黑龙江齐齐哈尔12.00分综合与理论折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步开展空间观念，在经历借助图形考虑问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开场，今天，就让我们带着数

11、学的目光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论理论操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接BD解决向题1在图1中，BD和AC的位置关系为 ；将AEC剪下后展开，得到的图形是 ；2假设图1中的矩形变为平行四边形时ABBC，如图2所示，结论和结论是否成立，假设成立，请挑选其中的一个结论加以证明，假设不成立，请说明理由；3小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，那么小红折叠的矩形纸片的长宽之比为 ；拓展应用4在图2中，假设B=30°，AB

12、=4，当ABD恰好为直角三角形时，BC的长度为 【参考答案】1. 2019哈尔滨3.00分在ABC中，AB=AC，BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，假设ABD为直角三角形，那么ADC的度数为130°或90°【分析】根据题意可以求得B和C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得ADC的度数【解答】解：在ABC中，AB=AC，BAC=100°，B=C=40°，点D在BC边上，ABD为直角三角形，当BAD=90°时，那么ADB=50°，ADC=130°，当ADB=90°时，那么ADC=90°

13、;，故答案为：130°或90°【点评】此题考察等腰三角形的性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答2. 2019山东淄博8分如图，直线y1=x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A1，m，这两条直线分别与x轴交于B，C两点1求y与x之间的函数关系式；2直接写出当x0时，不等式x+b的解集；3假设点P在x轴上，连接AP把ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】1求得A1，3，把A1，3代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；2根据A1，3，可得当x0时，

14、不等式x+b的解集为x1；3分两种情况进展讨论，AP把ABC的面积分成1：3两部分，那么CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3=，或OP=4=，进而得出点P的坐标【解答】解：1把A1，m代入y1=x+4，可得m=1+4=3，A1，3，把A1，3代入双曲线y=，可得m=1×3=3，y与x之间的函数关系式为：y=；2A1，3，当x0时，不等式x+b的解集为：x1；3y1=x+4，令y=0，那么x=4，点B的坐标为4，0，把A1，3代入y2=x+b，可得3=+b，b=，y2=x+，令y=0，那么x=3，即C3，0，BC=7，AP把ABC的面积分成1：3两部分，CP=BC=，或BP=

15、BC=，OP=3=，或OP=4=，P，0或，0【点评】此题考察了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，假设方程组有解那么两者有交点，方程组无解，那么两者无交点3. 2019湖北荆州3.00分如图，正方形ABCD的对称中心在坐标原点，ABx轴，AD、BC分别与x轴交于E、F，连接BE、DF，假设正方形ABCD有两个顶点在双曲线y=上，实数a满足a3a=1，那么四边形DEBF的面积是6或2或10【分析】根据乘方，可得a的值，根据正方形的对称中心在坐标原点，可得B点的横坐标等于纵坐标，根据平行四边形的面积公式，可得答案【解答】解：由a3a

16、=1得a=1，或a=1，a=3当a=1时，函数解析式为y=，由正方形ABCD的对称中心在坐标原点，得B点的横坐标等于纵坐标，x=y=，四边形DEBF的面积是2xy=2×=6当a=1时，函数解析式为y=，由正方形ABCD的对称中心在坐标原点，得B点的横坐标等于纵坐标，x=y=1，四边形DEBF的面积是2xy=2×1×1=2；当a=3时，函数解析式为y=，由正方形ABCD的对称中心在坐标原点，得B点的横坐标等于纵坐标，x=y=，四边形DEBF的面积是2xy=2×=10，故答案为：6或2或10【点评】此题考察了反比例函数的意义，利用乘方的意义得出a的值是解题关

17、键，又利用了中心对称的正方形，平行四边形的面积4. 2019黑龙江龙东3.00分RtABC中，ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，那么这个等腰三角形的面积是3.6或4.32或4.8【分析】在RtABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、SABC=6，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可【解答】解：在RtABC中，ACB=90°，AB=3，BC=4，AB=5，SABC=ABBC=6沿过点B的直线把ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：当AB=AP=3时，如图1所示，S等

18、腰ABP=SABC=×6=3.6；当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，作ABC的高BD，那么BD=2.4，AD=DP=1.8，AP=2AD=3.6，S等腰ABP=SABC=×6=4.32；当CB=CP=4时，如图3所示，S等腰BCP=SABC=×6=4.8综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8故答案为3.6或4.32或4.8【点评】此题考察了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的剪法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键5. 2019黑龙江齐齐哈尔12.00分综合与理论折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸

19、，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步开展空间观念，在经历借助图形考虑问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开场，今天，就让我们带着数学的目光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论理论操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B落在矩形ABCD所在平面内，B'C和AD相交于点E，连接BD解决向题1在图1中，BD和AC的位置关系为平行；将AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；2假设图1中的矩形变为平行四边形时ABBC，如图2所示，结论和结论是

20、否成立，假设成立，请挑选其中的一个结论加以证明，假设不成立，请说明理由；3小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，那么小红折叠的矩形纸片的长宽之比为1：1或：1；拓展应用4在图2中，假设B=30°，AB=4，当ABD恰好为直角三角形时，BC的长度为4或6或8或12【分析】1根据内错角相等两直线平行即可判断；根据菱形的断定方法即可解决问题；2只要证明AE=EC，即可证明结论成立；只要证明ADB=DAC，即可推出BDAC；3分两种情形分别讨论即可解决问题；4先证得四边形ACBD是等腰梯形，分四种情形分别讨论求解即可解决问题；【解答

21、】解：1BDAC将AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；故答案为BDAC，菱形；2选择证明如下：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAC=ACB，将ABC沿AC翻折至ABC，ACB=ACB，DAC=ACB，AE=CE，AEC是等腰三角形；将AEC剪下后展开，得到的图形四边相等，将AEC剪下后展开，得到的图形四边是菱形选择证明如下，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，将ABC沿AC翻折至ABC，BC=BC，BC=AD，BE=DE，CBD=ADB，AEC=BED，ACB=CADADB=DAC，BDAC3当矩形的长宽相等时，满足条件，此时矩形纸片的长宽之比为1：1；ABD+ADB=90°，y30°+y=90°，当矩形的长宽之比为：1时，满足条件，此时可以证明四边形ACDB是等腰梯形，是轴对称图形；综上所述，满足条件的矩形纸片的长宽之比为1：1或：1；4