中考数学专题大讲堂第七讲几何变换之翻折探究（Word含答案）

1、.几何变换之翻折探究考虑与解决几何图形的问题，主要是借助根本图形的性质定义，定理等和图形之间的关系许多根本图形的性质都源于这个图形本身的“变换特征，而最为重要和最为常用的图形关系“全等三角形很多的情况也是同样具有“变换形式的联络本来两个三角形全等是指它们的形状和大小都一样，和互相间的位置没有直接关系，但是，在同一个问题中涉及到的两个全等三角形，绝大多数都有一定的位置关系，或成轴对称关系，或成平移关系，或成旋转的关系包括中心对称这样，在解决详细的几何图形问题时，图形本身所显示或暗示的“变换特征，对我们识别出、构造出根本图形和图形关系如全等三角形，有着极为重要的启发和引导的作用图形的翻折问题本质上

2、是轴对称问题，满足轴对称的性质，即：1. 折叠图形关于折痕对称2. 对应边、角相等3. 对应点的连线被折痕垂直平分我们解决翻折问题一般也是从以上性质出发解决的 先讲翻折题的三种常见方法【题目】16 年秋锡山区期中如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上，边 OC 在 y 轴上，点 B 的坐标为1，3，将矩形沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 D的位置，且 AD 交 y 轴于点 E，那么点 D 的坐标为 法一：求定点关于定直线的对称点万能方法如答图 1，连 BD，交 AC 于 G，那么ABCAGBBFD，:第 23 页BD2BGAB 1 23 12 6 ，DFBD 1

3、 110 6 3，BF3DF9，101010101055D4，1255法二：由直角翻折主动寻求K型相似特殊技巧如答图 1，由ADC90ADNDCF，相似比为 3：1， 设 ONCFx，那么 DN3x，DF33x，由 AN3DF 得 x1333x，解得 x4，D4，12555法三：由翻折主动寻求等腰三角形特殊技巧 如答图 2，延长 CD 交 x 轴于 H，可得 CHAH， 设 DHy，那么 AHy，在 RtADH 中用勾股定理可得 y4易得 DM12，D4，12555法四：由翻折主动寻求等腰三角形特殊技巧如答图 2，设 CEAEa，那么 OE3a，在 RtAOE中用勾股定理可得 a5，3由比例关

4、系可得 OM4，D4，12555【例题剖析】题型一：利用对应边相等，对应角相等例 11、2019 年无锡10如图，RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，将边AC 沿 CE 翻折，使点 A 落在 AB 上的点 D 处；再将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B处，两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E、F，那么线段 BF 的长为A342 3BC53D 2【解答】选 B点评此题的关键点在于发现并证明BFB 是直角，由翻折可知AADCBDF，AB90又BB=BFB 是直角BDF 是“345的三角形又由翻折可知 BCBC4，CDAC3，例 12、18 年 4 月锡山区二

5、模17如图，在ABC 中，ACB90，点 D，E 分别在AC，BC 上，且CDEB，将CDE 沿 DE 折叠，点 C 恰好落在 AB 边上的点 F 处假设AC8，AB10，那么 CD 的长为 【解答】CD258答图 1答图 2母子三角形点评此题的关键点在于发现并证明 F 是 AB 的中点，如答图，由翻折CFDE= 1B直角三角形斜边上的中线定理的逆命题12=2BCFBF= F 是 AB 中点此题也可以根据 90 度翻折构造 K 型相似来解决，如答图 2针对练习1、18 年 4 月宜兴一模16如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 的中点， 连结 AE，将ABE 沿 AE 折叠

6、，点 B 落在点 F 处，连结 CF，那么 sinEFC 【解答】45题型二：利用或构造等腰三角形例 21、18 年 4 月宜兴一模10一张矩形纸片 ABCD，其中 AD8 cm，AB6 cm， 先沿对角线 BD 对折，点 C 落在点 C的位置，BC交 AD 于点 G图 1；再折叠一次，使点 D 与点 A 重合，得折痕 EN，EN 交 AD 于点 M图 2，那么 EM 的长为A2B32C 2D76【解答】选 D点评此题的关键点在于发现并利用DEN 是等腰三角形，由翻折CDBEDB，作高EHEN 是折痕ENCDENDBDCENDEDNENED= DEN 是“556的三角形例 22、12 年南长区

7、一模正方形 ABCD 的边长为 6cm，点 E 是射线 BC 上的一个动点，连接 AE 交射线 DC 于点 F，将ABE 沿直线 AE 翻折，点 B 落在点 B处（1） 当BE1 时，CF cm；CE（2） 当BE2 时，求 sinDAB的值；CE（3） 略【解答】当 E 点在 BC 边上时，sinDAB 5 ，当 E 点在 BC 的延长线上时，sinDAB133，5点评此题三种方法都可以，方法一：如答图 1，构造等腰三角形 AGF，再由勾股定理得到方程 x2629x2 解得x5，所以 sinDAB 5213方法二：如答图 2，ABEAHBBGB，三边之比都为 2：3： 13，BH 3 BE

8、3 4 12BB2BH 24 BG 2 BB48 AG30 sin131313DAB 51313131313方法三：如答图 3，构造相似三角形ABFBEG，且相似比为 3：2，可得方程组3x2y6，解得x1013，所以 sinDAB 53x 2 3y 236y241313另一种情况类似，参考答图 4答图 1答图 2答图 3答图 4例 23、17 年滨湖二模18如图，在 RtABC 中，C90，AC3 cm，BC4 cm， 点 E 从 C 点出发向终点 B 运动，速度为 1 cm/秒，运动时间为 t 秒，作 EFAB，点 P 是点 C 关于 EF 的对称点，连结 AP，当AFP 恰好是直角三角形

9、时，t 的值为 【解答】t25或788答图 1答图 2点评此题的关键点在于 CP 与折痕 EF 垂直，也即与 AB 垂直，在APE90时，可得等腰三角形 ABE。首先AFP 不可能是直角，否那么易得CFE45，与题意不符；假如FAP90，那么 APBCCP5AC15 CECP152544238FEFECB假如APE90，那么 A、P、E 三点共线FEPBAE=BAEBAEBE32t24t2t78题型三：利用或构造“K字形相似例 31、探究与应用：在学习几何时，我们可以通过别离和构造根本图形，将几何“模块化例如在相似三角形中，K 字形是非常重要的根本图形，可以建立如下的“模块如图1：（1） 请就

10、图 1 证明上述“模块的合理性；（2） 请直接利用上述“模块的结论解决下面两个问题：如图 2，点 A2，1，点 B 在直线 y2x3 上运动，假设AOB90，求此时点 B 的坐标；如图 3，过点 A2，1作 x 轴与 y 轴的平行线，交直线 y2x3 于点 C、D，求点 A 关于直线 CD 的对称点 E 的坐标【解答】1略；2B3，3；42过点 E 作 ENAC 的延长线于点 N，过点 D 作 DMNE 的延长线于点 M，A2，1，C 点的纵坐标为 1，D 点的横坐标为2，Cx，1，D2，y，12x3，y223，x1，y7，C1，1，D2，7设 Ex，y，DMx2，ME7y，CNx1，ENy1

11、， 由对称可知：DEAD6，CEAC3MNDEC90，DMEENC，DM ME DE，ENCNCEx2 2 x 香 1，y香17香y2解得：x145y175B14，1755例 32、14 外国语一模，18如图，将等边ABC 折叠，使点 B 落在边 AC 上，对应点为 D，设折痕为 MN，假如CD 3，那么BM的值为DA2BN【解答】BM 8BN7点评方法一：如答图 1，根据翻折，得到MDN60ADNCMD DM DNCDDMMC CDBMMC CDBC 8ADDNNAADBNNAADAB7方法二：如答图 2，分别边 D 点作 DFBC 于 F 点，作 DEAB 于 E 点， 那么设 AD4，C

12、D6，那么 CF3，DF3 3，AE2，DE2 3，x2 7 香x 2 3 3 2再设 BMx，BNy，那么有y28 香 y 2 2 3 2x38解得7y194DM 8DN7答图 1答图 2针对练习1、2019 河南如图， ADBC，ABBC，AB3，点 E 为射线 BC 上的一个动点， 连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 B处，过点 B作 AD 的垂线，分别交 AD、BC 于点 M、N，当点 B为线段 MN 的三等分点时，BE 的长为 【答案】322或355题型四：利用相似算对称点例 41、11 年东林，26如图 1，直线 y3x3 与 x 轴、y 轴交于 A、B 两点，C

13、 点为4线段 AO 上一点，一动点 P 在 x 轴上（1） 当 P 点运动到与原点 O 重合时，P 点关于直线 BC 的对称点恰好落在直线 AB 上，求此时 PC 的长；（2） 如图 2，假设 C 点为线段 AO 的中点，问：P 点运动到何处，点 P 关于直线 BC 的对称点落在直线 AB 上？【解答】1方法较多，PC322C2，0，AOB 三边之比为 2：3： 设 Pt，0，那么 CP2t，由AOBPHDPECDH 2 PD 2 2PE 22 3 PC122t24香12晦，1313PH3DH182tOH36香5晦，1313131321313D36香5晦，24香12晦，代入 y3x3 可得 t

14、161313421例 42、2019 无锡，27如图，ABCD 的三个顶点 An，0、Bm，0、D0，2nmn0，作ABCD 关于直线 AD 的对称图形 AB1C1D（1） 假设 m3，试求四边形 CC1B1B 的面积 S 的最大值；（2） 假设点 B1 恰好落在 y 轴上，试求n 的值m【解答】1如图 1，ABCD 与四边形 AB1C1D 关于直线 AD 对称，四边形 AB1C1D 是平行四边形，CC1EF，BB1EF，BCADB1C1，CC1BB1，四边形 BCEF、B1C1EF 是平行四边形，SBCEFSBCDASB1C1DASB1C1EF，SBCC1B12SBCDAAn，0、Bm，0、

15、D0，2n、m3，ABmn3n，OD2n，S BCDAABOD3n2n2n23n2n329，S2S224n329BCC1B1BCDA240，当 n3时，S最大值为 9；2BCC1B12当点 B1 恰好落在 y 轴上，如图 2，DFBB1，DB1OB，B1DFDB1F90，B1BOOB1B90，B1DFOBB1DOABOB190，AODB1OB，OA OB1，ODOB n OB1，2nmOB1m2由轴对称的性质可得 AB1ABmn在 RtAOB1 中，n2m2mn2，2整理得 3m28mn0m0，3m8n0，n 3m8针对练习1、18 年滨湖区一模28如图，在 RtABC 中，ACB90，BC3

16、，AC4，G 是边 AB 的中点，平行于 AB 的动直线 l 分别交ABC 的边 CA、CB 于点 M、N，设 CMm（1） 当 m1 时，求MNG 的面积；（2） 假设点 G 关于直线 l 的对称点为点 G，恳求出点 G恰好落在ABC 的内部不含边界时，m 的取值范围；（3） 略【解答】19；27t448题型五：翻折形成辅助圆例 51、如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，A60，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动 A 点，将AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到AMN，连接 AC，那么 AC 长度的最小值是 【答案】 71，点评此题的关键点在于根据翻折判断出点 A的轨迹是以

17、M 为圆心，MA 为半径的圆弧，最后利用圆外一点到圆上的最短间隔 找到最小值例 52、2019 无锡28如图，矩形 ABCD 中，AB4，ADm，动点 P 从点 D 出发，在边 DA 上以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动连结 CP，作点 D 关于直线 PC 的对称点 E设点 P 的运动时间为 ts（1） 假设 m6，求当 P、E、B 三点在同一直线上时对应的 t 的值；（2） m 满足：在动点 P 从点 D 到点 A 的整个运动过程中，有且只有一个时刻 t，使点 E 到直线 BC 的间隔 等于 3，求所有这样的 m 的取值范围【解析】由翻折点 E 在以 C 为圆心，CD 为半径的圆上（1）

18、 点 E 确实定当 P、E、B 三点共线时，由PEC90BEC90点 E 又在以 BC 为直径的圆上 点 E 是两圆交点，易得BECPABBPBC6 而 BE 62 香 422 5tPDPE62 5也可以利用翻折得到DPCEPC，结合DPCPCBEPCPCBBPBC6（2） 点 E 确实定点 E 到直线 BC 的间隔 等于 3，点 E 又在以 C 为圆心，CD 为半径的圆上点 E 只能有图中两种情况，然后由点 E 的位置反推出点 P 的两个极限位置即可由P2DCDHE2 D2 DH D2 7DP24 7，假设 DP2DA，那么 E2 要舍去，CD只存在唯一的 E 点；E2H47由P1DCDFE

19、1 D1 DF D1 1DP14 7，假设 DP1DA，那么 E1 和 E2 都要舍去，不存在 E 点CDE1F477P 点应在 P1P2 之间，477m4 7例 53、16 年滨湖区一模27如图 1，AOB45，点 P、Q 分别是边 OA、OB 上的两点，且 OP2cm将O 沿 PO 折叠，点 O 落在平面内点 C 处（1） 当 PCQB 时，OQ ；当 PCQB 时，求 OQ 的长（2） 当折叠后重叠部分为等腰三角形时，求 OQ 的长【解答】12；22 22，2 22；（3） 符合条件的点 Q 共有 5 个 当点 C 在AOB 内部或一边上时，OQ2， 2，2 2当点 C 在AOB 的外部

20、时，OQ 6 2， 6 2点评此题的关键点在于根据翻折判断出点 C 的轨迹是以 P 为圆心，OP 为半径的圆， 难点在于分类要全面针对练习1、2019 宿迁26如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB1，BC 3，点 E 在边 CD 上挪动，连接 AE，将多边形 ABCE 沿直线 AE 翻折，得到多边形 ABCE，点 B、C 的对应点分别为点 B、C（1） 当 BC恰好经过点 D 时如图 1，求线段 CE 的长；（2） 假设 BC分别交边 AD，CD 于点 F，G，且DAE22.5如图 2，求DFG 的面积；（3） 在点 E 从点 C 挪动到点 D 的过程中，求点 C运动的途径长【解答】1CE

21、62；25 香6；32 n23题型六：翻折的构造例 61、如图，MAN45，AHMN 于点 H，且 MH2，NH3，求 AH 的长【解答】方法一：根据定长对定角作辅助圆； 方法二：折叠，如答图，作两次轴对称得到正方形 ABCD，即而可得 AH6，例 62、如图，ABC 中，ACB90，ACBC，D 是ABC 内一点，且 ADAC，BDCD，那么ADB 的度数为A135B120C150D140【解答】选 A，如答图，补成完好的正方形，显然ADB135例 63、18 年 4 月宜兴一模9如图，RtABC 中，CAB90，在斜边 CB 上取两点 M、N不包含 C、B 两点，且 tanBtanCtan

22、MAN1设 MNx，BMn，CNm，那么以下结论不可能成立的是AmnBxmnCxmnDx2m2n2【解答】选 D，方法一，构造旋转，如答图 1； 方法二，构造折叠，如答图 2；题型七：综合型例 71、14 年江南中学，10，03 年天津如图，在ABC 中， AB2a，A30，CD 是 AB 边的中线，假设将ABC 沿 CD 对折起来，折叠后两个小ACD 与BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前ABC 的面积的1，有如下结论：BC 的边长可以等于 a； 4折叠前的ABC 的面积可以等于 3 2；折叠前的ABC 的面积可以等于 3 2；折叠2 a3 a后，以 A、B为端点的线段与中线 CD 一定平行

23、且相等，其中正确的结论是ABCD解：如图，设 BD 与 AC 相交于 O，CD 是 AB 边的中线，S ACDS BCD1S ABC，2 重叠部分的面积恰好等于折叠前ABC 的面积的1，4点 O 是 AC、BD 的中点，四边形 ADCB是平行四边形，ABCD，BCAD，BCAD，故正确；BCBD，BCBD，四边形 BCBD 是平行四边形， 由翻折变换的性质得，BCBC，平行四边形 BCBD 是菱形，BCBD1AB12aa，故正确；22假设 SABC 3a2，2四边形 ABCD 为平行四边形，S COD1S ACD1S ABC，满足条件，即 S ABC2 4 的值可以等于 3a2，故正确，2假设折叠前的ABC 的面积可以等于 3a2，设点3C 到 AB 的间隔 为 h，那么12ah 3a2，解得 h 3a，3a2tan30 3a 3a，233333垂足为 AB 的中点 D，翻折后点 A、B 重合，不符合题意，假设不成立，那么错误综上所述，正确的结论有应选：B课后练习1、如图，矩形 ABCD 中，AD5，AB8，点 E 为 DC 上一个动点，把ADE 沿 AE 折叠， 假设点 D 的对应点 D，连接 DB，以下结论中：DB 的最小值为 3；当 DE5