电磁场与电磁波理论基础第二章课后答案

1、 Kj J p 孔 cosGHsili% 甲题2-1图0sin2fti0 = 0第二章静电场2-1.已知半径为r = a的导体球面上分布着面电荷密度为 Ps=PrCos的电荷，式中的几o为常数，试计算球面 上的总电荷量。解 取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。由 球而积分，得到g = #pMS =(S)0 0 2實K=j j p 血 cosCr'sin% 彳0 02k x= py2j J costein0ti Qd0 0题11图垃=0,乩=垃,eo屍=022两个无限人平面相距为d,分别均匀分布杵等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及 两平面间的电场强度。解 假设上板带正电荷，而密度为

2、Ps：下板带负电，|ftl密度为一P$ 0对于单一均匀带电无限人平面，根据书上例2.2得到的推论，无限兴带电平而的电场表达式为对于两个相距为的d无限人均匀带电平面，根据叠加原理23两点电荷®=8C和g2=-4C分别位于二=4和 y=4处，求点P(4,0.0)处的电场强度。解根据点电荷电场强度叠加原理，P点的电场强 度矢量为点S1和S1处点电荷在P处产生的电场强度的 矢虽和，即E心盘計益春式中=0=0R1=r-r1=4e1 -4er, =>/(4-0)2 +(0 4=42R2=r-r2=4eA-4ev,尽=J(4-0)'+(0-4)，=4血=0=0代入得到18(4eA-4

3、eJ4(4q-4eJ（商2-7. 一个点电荷+q位于（-a, 0, 0）处，另一点电荷-2q位于（a, 0,0）处，求电位等于零的 面；空间有电场强度等于零的点吗？解 根据点电荷电位叠加原理，有“(!) = 1鱼+il4码L尽尺2式中Ri = 一 Ri=(x + d)G+ yev + er 尽=J(x + a) +y_ + 二-R: = r-r2=(x-6f)e1+ ytv +q 兄=J(X-d+于+二2代入得到以 r)= q4啦 （x + a）2+y2+z2&-盯 +）卫 +严电位为零，即令吩)=T1简化町得零电位面方程为(3x + d)(x+3a) + 3y2 +3 二？ =0根据

4、电位与电场强度的关系，冇=03、E(r) =-Vu(r)=-dudii due +f + dxdr ' dz9T3、3、-(x4-)|(x+67)2+y34-222 +2(x-a)(x-c?)2+y2+r3 2 ex3、3、+ _川 X + d)2+b+二 2332 +2y(x-a+)'2+二223、3、(x + a)2+y2+z2 2要是电场强度为零.必有3.3、+ 2二(乂-町'+尸+二2 2 cEx = 0，Ev =0, E二=0_3_-(x+a)|(x + n)2 +y2+z2J ?+2(x-d)(x-a)'+y2+=2 233于=03=0(x+a+y2

5、 +:? 2 +2y(x-a(x+cf)2+y2+r232+2zr(x-)2+尸+二23、3、此方程组无解因此，空间没有电场强度为零的点。2-8.两无限长同轴洌柱导体.半径分别为d和b(dVb),内外导体间为空气，如题2-8所示。设同轴圆柱导体的电荷均匀分布，其电荷面密度分别为和必求：(1)空间齐处 的电场强度：(2)两导体间的电压：(3)要便p>b区域内的电场强度等于零，则On和Qs, 应满足什么关系？解 根据内外导体表面的电荷分布可判断出空间电场分布具有柱对称性。在柱坐标中.作一长度为匚半径为。的同轴岡柱形闭合高斯面S,则在S侧面上D的人小处处相等，D 的方向均沿。方向。而在S的两端

6、面上.由于。与端面方向垂直，故。对两端面的通最贡 献为零。根据高斯定理.我们可以得到曹D ds =匸 Dpep eppd(pd- = lnlpDp = Q (6其中0为高斯面S内包国的总口山电荷O(1)求空间各处的电场强度.分为三种情况当0 vpva,即内导体内部，此时g = 0,故有Dp=0nD = 0nE = 0当a<p<b ,此时Q = 2兀cdpa，由高斯定理町得毎DdS = 2 兀IpDp =Q = 17ialpsl(G当p>b.此时高斯面内的Q = 2兀alp阻+2兀blpsy由高斯定理可得曲 DdS = 2 /rlpDp =Q = 2兀alp眦 +17rblpS

7、2(6» =9叙十 bPs?=aE=QP“bprPP Pp（2）求两导体间的电压，由电位与电场强度之间的关系（此时电场强度须使用情况时电 场强度的值），可以得到bbbU=（Edl=（呱dp =JaJ %p （3）要使p>b区域内的电场强度为零，由上述情况的结果町知，必须满足29电场中右一半径为a的圆柱体，己知圆柱内.外 的电位为u = 0,p<a<u =A/ 2 pk p)cos。， p>a求：（1）圆柱体内、外的电场强度；（2）这个圆柱是 由什么材料构成的，表面有电荷吗？解 （1）根据电位与电场强度的关系式E = -W =-du 1 du du得到E=-Vu

8、 = 0, p<a(a21+ rcos(pen +N1Tl矿丿rE =虫sin 叫 p>a（2）由于圆柱体是等位体，且圆柱内电场为零，判断材料是导体。有根据电位边界条件diidu乔du一 p<a=2/cos 件 p>a所以Xdu p宀T= -2E0Acos(pXX2-11.两无限大平行板电极，距离为d,电位分别为了 / / / / / / 了 / / 了 了 # # 了 / / 厂 / ,/V ddf 2尸M2，尸尸丿0和5，两板间充满电荷密度为Qx/d的介质，如 图所示。求两极板间的电位分布和极板上的电荷密 度。O题2-11图解由于两无限大平板间存在电荷密度分布，电

9、位函数满足泊松方程。又平板沿Y和Z方向无穷人， 电位分布与x和z无关，因此，有d2U _ pyPo xdx2 Eq£Qd且满足边界条件XX求解二阶常微分方程得到U = -X3 十CX +c*6聊-应用边界条件，有=0, c? = 0 耐冷宀+詈所以1 PoU = +6%d根据电位满足的边界条件du、dig-£2 = -Psonon可得在卜极板上表面的电荷密度分布为X下极板导体中的电位为零.有代入.得到P =_心单| =生2_(鉉+客 =_(込+理 f |口 2d I d 6 丿 口 I d 6 J对于上极板，导体中的电位为常数坷=Uq有如=0dx上极板卜表面电荷密度为c _

10、Q 地| 加Pod2-15 .空间某区域中的电荷密度在柱坐标系中为 pv = 2Qpep (C/m3),应用高斯定理求电通密度D.解 根据题意知，电荷密度分布与卩、二无关，因此场分布貝有柱对称性，电通密度矢最D仅有J分彊，由 高斯定理®D.dS = JJJ/v"(C(K)取圆柱面为高斯面，有0"PDppld(p = J 2Qpeppld(pdp0 02/rplDp = j lQpeppld(pdp0 0=40 加(2-b +2p + 2e")2-17.在克空中放置一无限长线电荷密度为Q的细金属棒.证明在径向距离上的两点pi. P2 Z间的电位差为解首先计

11、算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电 场。由于线电荷分布无限长，电通密度矢量仅有径向分量，且 在同-圆柱面上电通密度欠量的大小相等，根据高斯定理，有 ffD dS = D2 卞 pl = pjl由此得到电通密度欠量而电场强度为根据电位的定义.在径向选择一点Po为参考点.则有P/7«a45-/azEl MGi-JEC/E)i/6j4屈/222如题2-22所示，三层厚度相同的电介质板具有不同的介电常数。己知上部空气中E。与Z轴成45°夹角，求其他各层中E的夹角。解 设介质1,2,3中的电场强度分别为epe2,e3：他们与z轴的夹角分别为epe3,e3a将电场强度e0,epe2

12、,e3分别分解为沿界面的法 向分量EgEwEgEh，沿界面的切向分量 Ea，Eh，Ey,E$ :由于E。与Z轴成45°夹角，所以有EQn = EQt由于介质分界面处不存在自由电荷，由边界条件可£°Eg = 3£oEn> 3E0En 5£0E2n5c0E2n = l£0En=>5瓦巧石Jk% q q 绘 垮 绘3 5 7故 =aictg3 = 7L6°= arctgS = 78.7°, = avctgl =81.9°225.如图所示，电荷0距离两无限大接地直角平而XY平面的垂直距离为d,距离XZ

13、平 面的垂直距离也是认 利用镜像法求任一点P(O,ytz)的电位和电场。解 两个半无限人导体平面间的夹角a =90°, n= = 4则所需镜像电荷数为90°3。首先移去沿Z轴放置的导体平板，在yvo二0的空间填充的介质，并在与放置 +Q对称的位置上放置等屋异号电荷如图所示。其次，移去Y轴放置的导体板，在二V0 的下半空间填充的介质，并在与上半空间放置电荷的对称位置上放置等最异号电荷。利用点电荷叠加原理，得到四个点电荷在P(0jr)点产生的电位为讥o,儿二)=Q1111尽尽尺4题2-25图Q1 14%心d） +（二盯+d） +（二-盯1 1J（y+d十（二+d$ JCy-dr

14、+C+d），验证可得d3W d2MV3z/=+ = 0mU=0mL=°根据唯一性定理.边值问题的解为U（Oj2）=叫 J©"* "J（y+d+（二-d），1 1J（y+d+（二+d） y/（y_d+（二+盯226设一点电荷q与无限大接地导体平面的距离为d,如图所示。求：（1）上半空间的电 位分布和电场强度；（2）导体平面上的感应电荷密度：（3）点电荷所受的力。解（1）采用镜像法。移去接地导体板，用勺的介质填充，并在与+g对称的位宣S（0QF） 处放置一镜像电荷p,则上半空间任一点的电位为仆_1_ q/ 、1 1占尽丿4码&+），+（二-d） &a

15、mp;2+b+（二+ d）题2-26图根据电场强度勺电位的关系式，有（2）根据电通密度矢屋的边界条件.得到感应电荷分布密度为Ps=n(D_D2)= q(6E)在导体表而上2=0.尺=尺 令R=Ri=Ri得到导体表而的电场强度为因此，有u(xjz) = Jf(x)y(F)题227图（3）点电荷+g所受的力就是点电荷+q与镜像电荷p之间的作用力，也就等丁点电荷 +q与无限人导体板上感应电荷之间的作用力，方向向下，沿一匕方向，即F = _1_匕4%（2d ）2 z2-27.如图所示，一个沿Z轴很长且中空的矩形金属管，其中三边保持零电位，第四边电位 为U,求：（1）当U=Uo时，管内的电位分布：（2）

16、当U = UoSi字时，管内的电位分解 由于矩形金属管沿Z轴方向无限长，故金属管内电位与z无关，由此得到金属管电 位分布的边值问题为代入拉普拉斯方程，得到X（x）和 约）满足的本征方 程为常数h和际满足k； +疋=0由边界条件可得本征西数满足的边界条件为X| 虫=0, X =uh=O 7本征函数Xd)在边界上有一个零点，其解应取双曲函数形式A"(x) =A cosh 比J x + £ sinh 比x本征函数在边界有两个零点，约，)取三角函数形式Y(y) = C coslcyy + Dsin kyy根据边界条件，冇JAT(O) = A cosh 10 4- 5 siiili

17、ky 10 =Acosh 剛0 =0,x(a) = B sinh 慣 a = U而Jy(o)= c=oy(b) = Dsin k、b =0显然，D不能为零，否则电位函数恒为零，因此sii】C，b=O,上=竽，n?=l,2,- b由于得到m兀I； Im7C本征函数X(X)的解形式为X(x) = Bsinhran根据线性叠加原理.得到矩形金属管内电位的通解为ran . mnxsin b booOO"(X,刃=(x,y) = X久血1】”曰m=l式中Bn为待定系数。利用非零边界条件，有8u = 2m=lB sinha sin ” b丿罟尸i?:冋竽丁 b n=lb该式就是奇周期函数的傅里叶

18、级数展开式所以需要把CZ在(" b)进行奇周期延拓，即取U。)为奇函数，然后求傅立叶级数的系数，frr . m兀, 2U r . m兀,U sinyay =sinyay =i bb o bAU，m =1,3,5,mn0, m = 2,4,6>则為为417 ,巾=1,3,5, 门< m7tB =< m/rsinhambm = 2,4,6,0、将代入，得到边值问题的解为，、总 4U吩)=S 矿m=u,5,加龙sinha b . mn . ransinhxsinb b4U（2n+l）龙bQ加+1）b讽X） = £n=0（2n+l）/rsinli（2）当 C7 =

19、 C70 sin时,有U = UosinTryb=| B sinhm=lranTyran=E<sin & m=l»比较两边系数得到sinha b因此电位分布为u(x9y) =sinh-x sin -ysiiih67 b bb2-28.两平行的无限人导体平面，其间距离为b,在两板间沿X方向有一无限长的极薄的导 体片，其坐标由)匸刀到如图所示。上板和薄片保持电位为S，下板为零电位，求板 间的电位分布。设在薄片平面上，从尸o到尸电位线性变化，即以=字八解 由于平板沿X方向无穷人，且X>0与 XCO两区域对称，因此两区域间的电位分布相同， 仅需求解X > 0区域的电位分布。为了求解电位分布，应用电位替加原理，把电位 分布看作是由如题2-28图(a)和(b)两个电位分布 的叠加。对于题2 28 (a)两平行板之间的电位，有H = 0题2 28图对于题2-28图(b)所示的两板间的电位分