1992考研数学一真题及答案解析2021快乐人获取

1、Born to win1992 年全国研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分,把填在题中横线上.)设函数 y = y(x) 由方程ex+y + cos(xy) = 0 确定,则 dy =(1).dx函数u = ln(x2 + y2 + z2 ) 在点 M (1, 2, -2) 处的梯度 gradu=.M(2)ì-1,- p <x £ 0,0<x £ p ,则其以 2p 为周期的傅里叶级数在点 x = p 处收敛于设 f (x) = í(3)î1+ x ,2 .微分方程 y¢

2、; + y tan x = cos x 的通解为 y =.(4)æ a1b1a1b2a1bnö÷ç a ba ba b设 A = ç÷ ,其中a ¹ 0,b ¹ 0,i = 1, 22 12 22 nn. 则矩阵 A 的秩(5)ç÷iiç a b÷a ba bè n 1n n øn 2r( A) =.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)x2 -

3、1 1 ex-1 的极限(1) 当 x ®1 时,函数()x -1(C) 为¥但不为¥(A) 等于 2(B) 等于 0(D) 不(2) 级数å(-1)n (1- cos a )a >¥(常数0 )()nn=1(D) 收敛性与a 有关(A) 发散(B) 条件收敛(C) 绝对收敛(3) 在曲线 x = t, y = -t2, z = t3 的所有切线中,与平面 x + 2 y + z = 4 平行的切线()(A) 只有 1 条(B) 只有 2 条(C) 至少有 3 条(D)不2 | x | ,则使 f n (0)(B) 1(4) 设 f (的

4、最高阶数n 为()(A) 0(C) 2(D)3Borntowiné1 ùé 0 ù(5) 要使x = ê0ú , x = ê 1 ú 都是线性方程组 Ax = 0 的解,只要系数矩阵 A 为()ê úêë2úûêúêë-1úû12-1öæ2001(-21)1(A)(B)ç1 ÷èø-1öæ 01æ -12 &

5、#246;0ç 4-2-2 ÷(C)ç÷(D)ç÷1 -1ø0èç 0÷11èø三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)ex - sin x -1(1) 求 lim .x®01-1- x2¶2 z连续偏导数,求.¶x¶y(2) 设 z = f (e sin y, x + y ) ,其中 f 具有x22ìï1+ x2,x £ 0,x>0,3ò(3) 设 f (x) =求f (

6、x - 2)dx .í- xïîe ,1四、(本题满分 6 分.)求微分方程 y ¢ + 2y¢ - 3y = e-3x 的通解.五、(本题满分 8 分)计算曲面积分 òò(x3 + az2 )dydz + ( y3 + ax2 )dzdx + (z3 + ay2 )dxdy ,其中S 为上半球S面 z =a2 - x2 - y2 的上侧.六、(本题满分 7 分)设 f ¢¢(x) < 0 , f (0) = 0 ,证明对任何 x1 > 0, x2 > 0 ,有 f (x1 + x2 )

7、 < f (x1 ) + f (x2 ).七、(本题满分 8 分)在变力 F = yzi + zxj + xyk 的作用下,质点由原点沿直线到椭球面x2y2z2+= 1 上第一卦限的点 M (x ,h,z ) ,问当x ,h,z 取,力 F 所做的功W 最a2b2c2大?并求出W 的最大值.Borntowin八、(本题满分 7 分)设向量组a1、a2、a3 线性相关,向量组a2、a3、a4 线性无关,问：(1) a1 能否由a2、a3 线性表出？证明你的结论.(2) a4 能否由a1、a2、a3 线性表出？证明你的结论.九、(本题满分 7 分)设 3 阶矩阵 A 的特征值为l1 = 1,

8、 l2 = 2, l3 = 3 ,对应的特征向量依次为é1ùé1 ùé1 ùé1 ùx = ê1ú ,x = ê2ú ,x = ê3ú ,又向量 b = ê2ú ,ê úêë1úû(1) 将 b 用x1,x2,x3 线性表出.(2) 求 Anb ( n 为自然数).ê úêë4úûê úê

9、ë9úûê úêë3úû123十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.)(1) 已知 P( A) = P(B) = P(C) = 1 , P( AB) = 0 , P( AC) = P(BC) =,则1A 、 B 、4C 全不发生的概率为.16(2) 设随量 X 服从参数为 1 的指数分布,则数学期望 E( X + e-2X ) =.十一、(本题满分 6 分), X 服从正态分布 N (m,s 2 ) , Y 服从-p ,p 上的均匀分布,试设随量 X 与Y求 Z = X + Y 的概率分布密度(计

10、算结果用标准正态分布函数f (x) 表示,其中t2 1 2p-e 2 dt ).xòf (x) =-¥Born to win1992 年全国研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)ex+ y - y sin(xy)】- x sin(xy)ex+ y(1)【】函数 y = y(x) 是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的式.方程两边对 x 求导,将 y 看做 x 的函数,得ex+y (1+ y¢) + sin(xy)(xy¢ + y) = 0 .解出 y¢ ,即ex+ y - y s

11、in(xy)dy =dxy = -¢.ex+ y - x sin(xy)【相关知识点】1.复合函数求导法则：如果 u = g(x) 在点 x 可导,而 y = f (x) 在点u = g(x) 可导,则复合函数 y = f g(x)在点 x 可导,且其导数为dy =dx2.两函数乘积的求导公式：dy = dy × du .dxdu dxf ¢(u) × g¢(x)或 f (x) × g(x)¢ =f ¢(x) × g(x) + f (x) × g¢(x) .2】 1, 2, -2(2)

12、【9【】对函数u 求各个分量的偏导数,有¶u¶u¶u2x2 y2z=；.¶xx2 + y2 + z2¶yx2 + y2 + z2¶zx2 + y2 + z2由函数的梯度(向量)的定义,有ì¶u ¶u ¶u ü1gradu =,=2x, 2 y, 2z ,íý¶x ¶y ¶zx + y +222zîþ12=2, 4, -4 =1, 2, -2 .12 + 22 + (-2)29gradu所以M【相关知识点】复合函数求导

13、法则：如果 u = g(x) 在点 x 可导,而 y = f (x) 在点u = g(x) 可导,则复合函数 y = f g(x)在点 x 可导,且其导数为dy =dxdy = dy × du .dxdu dxf ¢(u) × g¢(x)或1(3)【】 p 22Born to win【】 x = p 是-p ,p 区间的端点,由收敛性定理x = p 处收敛于充分条件知,该级数在1 f (-p + 0) + f (p - 0) = 1 -1+1+ p 2 = 1 p 2 .2【相关知识点】收敛性定理2充分条件：2函数 f (x) 在区间-l, l 上满足：

14、(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；()只有有限个极值点.则 f (x) 在-l, l 上的傅里叶级数收敛,而且(a cos np x + b sin np x)a02¥+ ån=1nnllìïï1若x Î (-l,l )为f (x)的连续点,若x Î(-l,l)为f (x)的第一类间断点,f (x), f (x + 0) + f (x - 0),= ïí 2ïï1 f (-l + 0) + f (l - 0),若x = ±l.ïî 2(4)【】 y

15、= x cos x + C cos x, C 为任意常数1】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于 eòtan xdx =【,方程两边同乘| cos x |1,得cos x¢æ 1ö 1 积分y= 1Þcos xy = x + C.ç cos x÷èø故通解为 y = x cos x + C cos x, C 为任意常数.(5)【】1】因为矩阵 A 中任何两行都成比例(第i 行与第 j 行的比为 ai ),所以 A 中的aj【子式全为 0,又因 ai ¹ 0,bi ¹ 0 ,知道a b

16、 ¹ 0 , A 中有一阶子式非零.故r( A) = 1.1 1 【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中r 阶子式不为零,而所有的r +1 阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r .Born to win二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【】(D)】对于函数在给定点 x 的极限是否需要判定左极限 x ® x- 和右极限 x ® x+【000且相等,若相等,则函数在点 x0 的极限是是否的.x2 -1 1 1 x2 -1 1 1 ex-1 = lim(x +1)ex-1 = 0 ,ex-1 = lim(x +1)ex-1 = 

17、5; ,limlimx -1x -1x®1-x®1-x®1+x®1+0 ¹¥ ,故当 x ®1 时函数没有极限,也不是¥ .故(D).(2)【】(C)】对原级数的通绝对值后,再利用等价无穷小1- cos 11(n ® +¥) ,【n2n2aana 22n2(-1) (1- cos)= 1- cos(n ® +¥) ,nn¥又因为 p 级数： å 1 当 p > 1时收敛；当 p £ 1时发散.n=1 np1 a 2收敛.¥

18、9;所以有n=1 2 n2(-1)n (1- cos a )n¥Þ å收敛.所以原级数绝对收敛.(C).n=1¥注：对于正项级数å a ,确定无穷小 a 关于 1 的阶(即与 p 级数作比较)是它的敛散性nnnn=1的一个常用.该题用的就是这个.(3)【】B【】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为 0 得切点对应的t 值.求曲线上的点,使该点处的切向量t 与平面 x + 2 y + z = 4 的法向量 n = 1, 2,1 垂直, 即可以让切线与平面平行.曲线在任意点处的切向量t = x¢(t), y

19、2;(t), z¢(t) = 1, -2t,3t 2, n t Û n ×t = 0 ,即t = 1, t = 1 .(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)1- 4t + 3t3 = 0 ,3(B).因此,只有两条这种切线,Born to win(4)【】(C)】因3x3 处处任意阶可导,只需考查) ,它是分段函数, x = 0 是连接点.【所以,写成分段函数的形式,有< 0,ïîx , x ³ 0,j对分段函数在对应区间上求微分,< 0,ïî3x , x > 0,Þ j¢再考

20、查j ( x) 在连接点 x = 0 处的导数是否,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.j+¢ (0) = (x3 )¢+x=0 = 0 ,j-¢ (0) = (-x )¢-3x=0 = 0 Þ j¢(0) = 0 ,£ 0,ïî3x , x > 0.即j¢< 0,î6x,x > 0,同理可得 j¢¢j¢¢(0) = 0 ,即 j¢¢(î6有 y+¢ (0) = 1, y-¢

21、(0) = -1.对于 y =x在 x = 0 不可导, Þ j¢¢¢(0) 不所以 y =(5)【x,(C).】(A)】x1 , x2 向量对应的分量不成比例,所以x1 , x2 是 Ax = 0 两个线性无关的解,故【n - r( A) ³ 2 .由n = 3 知r( A) £ 1.再看(A)选项秩为 1；(B)和(C)选项秩为 2；而(D)选项秩为 3.故本题选(A).【相关知识点】对齐次线性方程组 Ax = 0 ,有定理如下:对矩阵 A 按列分块,有 A = (a1 ,a2 ,an ) ,则 Ax = 0 的向量形式为nan

22、= 0.Ax = 0 有非零解 Û a1 ,a2 ,an 线性相关那么,Û r (a1 ,a2 ,an ) < nÛ r ( A) < n.三、(本题共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分.)Born to win- 1 (-x2 ) = 1 x2 ,(1)【】由等价无穷小有 x ® 0 时,1- 1-2ex -1- sin x2ex -1- sin x = lim原式= lim,1 x2x®01- 1- x2x®0200”型的极限未定式,又分子分母在点0 处导数都上式为“,所以连续应用两次洛必达法则,有ex - c

23、os xex + sin x= 1+ 0 =原式洛必达lim洛必达lim1 .x11x®0x®0(2)【】这是带抽象函数记号的复合函数的复合的.混合偏导数,重要的是要分清函数是如何¶z¶¶z由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求,再求() .¶x¶y ¶x由复合函数求导法则得¶¶¶2 z¶¶xf ¢(x2 + y2 ) = f ¢ × ex sin y + f ¢ × 2x ,n y) +212&

24、#182;¢¢= ¶y ( f1 esin y + f2 2x)x¶x¶y= ( f ¢e cos y + f ¢2y)ex sin y + f ¢ex cos y + ( f ¢ex cos y + f ¢ 2y)2x111212122= f ¢ × e2 sin y cos y + 2 f ¢ × ex ( y sin y + x cos y) + 4 f ¢ × xy + f ¢ × ex cos y .111

25、2221多元复合函数求导法则：如果函数u = j(x, y), v =y (x, y) 都在点(x, y) 具有对 x 及对 y 的偏导数,函数 z = f (u, v) 在对应点(u, v) 具有连续偏导数,则复合函数z = f (j(x, y),y (x, y) 在点(x, y) 的两个偏导数,且有¶z = ¶z ¶u + ¶z ¶v¶uf ¢ ¶v ；¶x¶u ¶x¶v ¶¶z = ¶z ¶u + ¶z ¶v

26、=f ¢ ¶u + f ¢ ¶v .1¶y2 ¶y¶y¶u ¶y¶v ¶y(3)【】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.令 x - 2 = t ,则dx = dt.当 x = 1时, t = -1；当 x = 3 时, t = 1,于是【相关知识点】Born to win0æ1ö= 7 - 1 .3e()3f (x - 2)dx =11f (t)dt分段1+ t dt +e-tdt = t

27、 +t0- e-t 1òòòò 23ç÷è3ø -1-1-1100四、(本题满分 6 分.)【】所给方程为常系数的线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程r 2 + 2r - 3 = (r -1)(r + 3) = 0 有两个根为 r = 1, r = -e ,a = -a x3 = r3,而非齐次项为单122特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解Y = x × ae-3x ,代入方程可得 a =- 1 ,故所求通4x解为 y = C e + C e-e,其中C ,C 为常数.-3x-3x121241.

28、线性非齐次方程解的结构：设 y*(x) 是线性非齐次方程y ¢ + P(x) y¢ + Q(x) y = f (x) 的一个特解. Y ( x) 是与之对应的齐次方程y ¢ + P(x) y¢ + Q(x) y = 0 的通解,则 y = Y (x) + y*(x) 是非齐次方程的通解.2.系数线性齐次方程通解的求解：对于求解系数线性齐次方程的通解Y ( x) ,可用特征方程法求解：即 y ¢ + P(x) y¢ + Q(x) y = 0 中的 P( x) 、Q(x) 均是常数,方程变为 y ¢ + py¢ + q

29、y = 0 .其特征方程写为 r2 + pr + q = 0 ,在复数域内解出两个特征根 r , r ；1 2分三种情况：(1) 两个不相等的实数根 r , r ,则通解为 y = C erx1 + C er2 x ;1 212,则通解为 y = (Cx)erx1 ;(2) 两个相等的实数根 r = r+ C1212(sin b x). 其中C ,C(3) 一对共轭复根 r= a ± ib ,则通解为 y = eC cos b x + Ca x1,21212为常数.3.对于求解线性非齐次方程 y ¢ + P(x) y¢ + Q(x) y = f (x) 的一个特解

30、 y*(x) ,可用待定系数法,有结论如下：如果 f (x) = P (x)elx , 则系数线性非齐次方程具有形如 y*(x) = xkQ (x)elxmm的特解,其中Qm (x) 是与 Pm (x) 相同次数的多项式,而 k 按 l 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.如果 f (x) = e P (x) coswx + P (x)sinwx,则lx系数非齐次线性微分方程lny ¢ + p(x) y¢ + q(x) y = f (x) 的特解可设为【相关知识点】Born to winy = x e R (x) coswx + R(

31、x)sinwx,*k lx(1)(2)mm,而k 按l + iw (或l - iw )不是特征(1)(2)m = max l, n其中 R (x) 与 R(x) 是m 次多项式,mm方程的根、或是特征方程的单根依次取为0 或1.五、(本题满分 8 分)¶P¶Q¶R】将原式表成 I = òò Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ,则 ¶x + ¶y+ ¶z= 3(x + y + z ) .222【S以考虑用公式来求解,但曲面S 不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.添加辅助面

32、 S : z = 0(x2 + y2 £ a2 ) ,法向量朝下, S 与S 围成区域W , S 与S 取W 的外法向量.在W 上用公式得I + òò (x3 + az2 )dydz + ( y3 + ax2 )dzdx + (z3 + ay2 )dxdy = 3òòò (x2 + y2 + z 2 )dV .SW用球坐标变换求右端的三重积分得p2pa3òòò(x2 + y2 + z2 )dV = 3ò dòòqsinjdjr 2 × r 2d r2000Wp16a

33、òò= 3´ 2psinjdjr 4d r = 3´ 2p ´1´a5 =p a5 .25500注意 S 垂直于平面 yOz 与平面 xOz ,将积分投影到 xOy 平面上,所以左端 S 上的曲面òò Pdydzdx + Qdzdx + RdxdyS积分为= 0 + 0 + òò R(x, y, 0)dxdy = òò ay2dxdy = -a òò y2dxdySSDxyp2aòòqr ×sin q rdr= -ad22(极

34、坐标变换)00pa42pa= -aò0 sin q dòqr dr = -a ´p ´= -a .423540I = 6 p a5 + p a5 = 29 p a5 .因此5420公式：设空间闭区域W 是由分片光滑的闭曲面S 所围成,函数【相关知识点】1.P(x, y, z) 、Q(x, y, z) 、 R(x, y, z) 在W 上具有一阶连续偏导数,则有Born to winæ ¶P + ¶Q + ¶R öòòòç ¶x¶z ÷dv

35、 = òò Pdydz + Qdzdx + Rdxdy,¶yèøWSæ ¶P¶Q¶R ö()òòòç ¶x + ¶yòò+ dv =P cosa + Q cos b + R cos g dS,或÷¶zèøWS这里S 是W 的整个边界曲面的外侧, cosa 、cos b 、cos g 是S 在点(x, y, z) 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做公式.2.对于球面坐标与直角

36、坐标的为：ìx = r sin j cosq ,ï y = r sin j sinq ,íïz = r cosj,î其中j 为向量与 z 轴正向的夹角, 0 £ j £ p ；q 为从正 z 轴来看自 x 轴按逆时针方向转到向量在 xOy 平面上投影线段的角, 0 £ q £ 2p ； r 为向量的模长, 0 £ r < +¥ .球面坐标系中的体积元素为 dv = r2 sinjdrdjdq , 则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：òòò

37、; f (x, y, z)dxdydz = òòò f (r sinj cosq , r sinj sinq , r cosj)r 2 sinjdrdjdq.WW六、(本题满分 7 分)【】证法一: 用中值定理来证明.不妨设 x2 > x1 > 0 ,要证的不等式是 f (x1 + x2 ) - f (x2 ) < f (x1 ) - f (0) .在0, x1 上用中值定理,有 f (x1 ) - f (0) = f ¢(x )x1, 0 < x < x1 ；在x1 + x2 上用中值定理,又有 f (x1 + x2f (

38、x2 ) = f ¢(h)x1, x2 < h < x1 + x2由 f ¢¢(x) < 0, 所以 f ¢(x) 单调减,而x < x1 < x2 < h ,有 f ¢(x ) > f ¢(h) ,所以f (x1 + x2 ) - f (x2 ) < f (x1) - f (0) = f (x1) ,即 f (x1 + x2 ) < f (x1 ) + f (x2 ).证法二：用函数不等式来证明.要证 f (x1 + x) < f (x1) + f (x), x >

39、0 ,构造辅助函数j(x) = f (x1 ) + f (x) - f (x1 + x) ,Born to win则j¢(x) = f ¢(x) - f ¢(x1 + x) .由 f ¢(x) < 0, f ¢(x) 单调减, f ¢(f ¢(x1 + x),j¢(x) > 0 .由此,j(x) > j(0) = f (x1) + f (0) - f (x1) = 0(x > 0) .改 x 为 x2 即得证.中值定理:如果函数 f (x) 满足在闭区间a, b 上连续,在开区间(a, b)

40、 内可导,那么在(a, b) 内至少有一点x (a < x < b) ,使等式f (b) - f (a) = f ¢(x )(b - a)成立.七、(本题满分 8 分)【】(1)先求出在变力 F 的作用下质点由原点沿直线到点 M (x ,h,z ) 时所作的功W 的表达式.点O 到点 M 的线段记为 L ,则W = òL F × ds = òL yzdx + zxdy + xydz .x = xt, y = ht, z = z t, t 从0 到1,(2)计算曲线积分： L 的参数方程是11òòhz t ×x +

41、 xz t ×h + xht ×z )dt = 3xhzt dt = xhz .Þ W =(222200x 2h 2z 2= xhz在条件+= 1(x ³ 0,h ³ 0,z ³ 0) 下化为最值问题并求解：问题变成求Wa2b2c2的最大值与最大值点.æ x 2h 2z 2öx ,h,z , l) = xhz + l+-1 ,b2c2÷函数为 F (ç用乘子法求解.2aèø则有= hz + 2l x = 0,ì¶Fï ¶xa2ï

42、;ï¶F= xz + 2l h = 0,ï¶hb2í¶Fzï= xh + 2l= 0,ï ¶gc2ï¶Fx 2h 2z 2ï=+-1 = 0.ïî ¶la2b2c2x 2h 2z 2解此方程组：对前三个方程,分别乘以x ,h,z 得=, ( l ¹ 0 时)a2b2c2【相关知识点】Born to win111代入第四个方程得 x =a,h =b,z =c .3331abc =3 abc .当l = 0 时相应的x ,h,z 得 W =

43、 0 .相应的 W =93 31113 abc .9因为实际问题最大值,所以当(x ,h,g ) = (a,b,) 时W 取最大值333【相关知识点】乘子法：要找函数 z = f (x, y) 在附加条件j(x, y) = 0 下的可能极值点,可以先作函数L(x, y) = f (x, y) + lj(x, y),其中l 为参数.求其对 x 与 y 的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：ì fx (x, y) + ljx (x, y) = 0,ï f(x, y) + lj (x, y) = 0,íyyïj(x, y) = 0.î由这

44、方程组解出 x, y 及l ,这样得到的(x, y) 就是函数 f (x, y) 在附加条件j(x, y) = 0 下的可能极值点.八、(本题满分 7 分)【】(1) a1 能由a2、a3 线性表出.因为已知向量组a2、a3、a4 线性无关,所以a2、a3 线性无关,又因为a1、a2、a3 线性相关,故a1 能由a2、a3 线性表出.(2) a4 不能由a1、a2、a3 线性表出,反证法：若a4 能由a1、a2、a3 线性表出,设 a4 = k1a1 + k2a2 + k3a3 .由(1)知, a1 能由a2、a3 线性表出,可设a1 = l1a2 + l2a3 ,那么代入上式整理得a4 =

45、(k1l1 + k2 )a2 + (k1l2 + k3 )a3 .即a4 能由a2、a3 线性表出,从而a2、a3、a4 线性相关,这与已知因此,a4 不能由a1、a2、a3 线性表出.Born to win的数 k1 ,k2 ,km ,向量组线性相关和线性无关的定义：一组不使 k1a1 + k2a2 +关+ kmam = 0 ,则称a1 ,a2 ,am 线性相关；否则,称a1 ,a2 ,am 线性无九、(本题满分 7 分)【】(1)设 b =+ x2x2 + x3x3 ,即是求此方程组的解.对增广矩阵(x1,x2,x3, b ) 作初等行变换,第一行乘以(-1) 分别加到第二行和第三行上,再

46、第二行乘以(-3) 加到第三行上,第三行自1乘 ,有2æ11 11 öæ1113128ç123 1 ÷ ® ç 0,ç÷çç 0øè第三行乘以(-2) 、(-1) 分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以(-1) 加到第一行上,有æ1ö0100012增广矩阵® ç 0-2 ÷ .ç÷ç 0÷1èø解出 x3 = 1 , x2 = -2 , x1 = 2 ,故

47、b = 2x1 - 2x2 + x3 .(2) 由l 为 A 的特征值可知,非零向量a 使 Aa = la ,两端左乘 A ,得A2a = A( Aa ) = A(la ) = l Aa = l2a ,再一直这样操作下去,有 Ana = l na .因为a ¹ 0 ,故l ¹ 0 .按特征值定义知l n 是 An 的特征值,且a 为相应的特征向量.所以有 Ax = lx , A x = l x (i =1, 2,3) ,据(1)结论 b = 2x - 2x + x ,有nnii iiii123Ab = A(2x1 - 2x2 + x3) = 2Ax,于是A b = A (2

48、x - 2xnn12é2é ùé1 ùé1 ùêê ún ê ún ê ú2 1 - 2 × 22 + 33 = 2ê.ê úêë1úûê úê úêë4úûêë9úûê2ë【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设 A 是n 阶矩阵,若

49、数l 及非零的n 维【相关知识点】Born to win使得 AX = l X 成立,则称l 是矩阵 A 的特征值,称非零向量 X列向量 X向量.是矩阵 A 的特征十、填空题(本题满分 6 分,每小题 3 分.)【】由条件概率和乘法公式：从 P( AB) = 0 ,可知 P( ABC) = P( AB)P( AB | C) = 0 ,由加法公式：P( ABC) = P( A)- 0 -+ 0 = 511416168故 P( ABC) = P( ABC) = 1- P.】依题意,随量 X 服从参数为l =1的指数分布,故 X 的概率密度为(2)【ìe-x , x > 0,f (x) = íî0,x £ 0,根据连续型随量函数的数学期望的求法,得出+¥ò-2 X-E( X + e) =(x + e-¥+¥0=.30十一、(本题满分 6 分)【】一：利用分布函数求密度函数：-( x-m )21首先,因 XN (m,s 2 )