不等式的易错点以及典型例题

1、不等式的易错点以及典型例题1 .同向不等式能相减，相除吗？2 .不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）3 .分式不等式U之）Aa（a=0四一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分 g x解因式，x的系数变为正值，奇穿偶回）4 .解指数对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性，对数 的真数大于零.）5 .含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?（一般是根据定义分类讨论）6.利用重要不等式a + b 2 2abb以及变式ab W色二b'i等求函数的最值时，你是< 2 ）否注意到a, be r +（或a , b非负），且“等号成立”时的条件，积 ab

2、或和a+b其中之一应是定值？（一正二定三相等）7.a b , 2ab ab -2a b（a, b w R +）（当且仅当a = b=c时，取等号）；a、 b、 cR, a2+b2 +c2 之ab+bc+ca （当且仅当 a=b=c时，取等号）；8 .在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底0<a<1或a >1）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是9 .解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是 关键.”10 .对于不等式包成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）11 .在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先

3、找约束条件，作出可 行域，明确目标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中的y的系数变为正值。如：求 2<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b 的取值范围，但也可以不用线性规划。12 .不等式易错典型例题（1）未等价转化致错例题1:已知1<a+b<3且2ca b<4,贝U 2a+3b的取值范围是,13 177 11、（一万,万）士万）7 13（一 2刀9 13（7万）错解：对条件" -1 <a+b m3且2 <a-b <4”不是等价转化，解出 a,b的范围， 再求2a+3b的范围，扩大了

4、范围。51正解：用待定系数法，解出2a+3b=5（a+b）-1（a-b）,求出结果为D。或用线性规划 法。（2）含参函数未讨论致错例题3已知函数,=面+4(1-哨)工-3的图像都在T轴的下方，求实 数m的取值范围.错解：，依超意，对恒成立.于是函数的图像开口方向向上，且图像. 岫工一上 (m24-4m-5>0与x轴无乂点.故21(3 = 4(1一明)4- 4m - 5) < 0解得1< WT <19即所求m的理值范围为1c洸c 19剖析:题设中的函数未必时二次函数，也就是说缺少对小十4匹一5是否为o的讨 论.正解；当 m +4第 -5 . 0时，同上述解答有lc/<

5、;19.若?tT-4/一5 = 0 时* 则 ni=l 或 m=5若m=l一则已知函数化为j =3.则对工恒成立；若m=5,则已知闲数化为y= 24工+ 3 ,对工艺五小>0不恒成立，故此情形舍去 所以m的取值范围为1 < «i <19(3)是否取端点致错例题3：已知集合“二卜-工-2,0二方=工|0<口 + 3,且4c方=0，则实数 a的取值范围是错解一：! = (工|犬2 g。二工|_1,上,2若使<7君=,需满足自>2或i + 3<1,解得口 >二或口 <4,所以实数a的取 值范围是口 >2或= c-U剖析二上面的解法

6、错误原因在于忽视了集合月=了|-1，、，2的两个端点值 和2 .其实当曰=2时8 = 上2 < Ju < 5J >满足d C君=©；当口+ 3 = -1时，即= = 一4 时也调足c若= .正解 s 4 = xl X： -X-2< 0 = (xl -1< X< 2若使月flB = ,需满足 口之2或口+3W-1.解得1之2或aWT,所以实数a的取值范围是口孑2或nW T 0(4)充分必要条件概念不清致错例超小 若方程/-刖-1)-5 一明=0的两根均大于2.求实数皿的取值范围心>0F(ffl-2)2-(5-m)>0错解:设两根为工1：七

7、.则有题意可得$> 4 = 2 - ? > 4xx*x2 > 4' 5 - m > 4解得哂< -4剖析:错在七-<上>4且工1石>4与工二>工且工： >二不等价,事实上，由后者可以 推出前者，但是由前者却推不出后者。正解：设两根为再事，则有题意可得：F A 0(根一2一(5 擀)兰。，(11 一 2) + (三-2)> 0 =« 2 -沼 > 4(xx - 2)(/-2)>05 + m >4*L解得-5<m<i -4例题4-1:设x, y w R,则使x +|y >1成立的

8、充分不必要条件是._ 一 1 ,、1_.Ax+y 之 1B xa或 y >3C x21 D x<-1错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清。正确答案为Do(5)均值不等式应用不当致错：一正二定三相等忽视条件正数侯题生已知工己氏，且K+y = 1.求证4 1错解：曲基本不等式得工+ J22"=孙"区正解：1 =(，+ ¥=x2 - r: + 2x)> 2x)-2r)-当且仅当上二J时取"=" 1。吟忽视条件定值例题：6：若匹。二匕>0,求/彻=， + 的最小值。I 2 Jcos- Q sin*

9、0错解：八8) =， +2-COS* a Sin* 1当且仅当 cos- 0 sm此时2-= *sin 0cos sin.27 21 a1 b12ab-> 2 J-= 911 cos" 6 sin d sin cos1 bl ,即 ta口 8 = FabAab,2._ ,. - 2(cT +8)102 tan ©1+ tan2 0cos 6 sm 3即"(例L =2©+为2,2正解二/(田=，+4-cos'(9 sin- 6?="(1+ tan; 8)+ &2(1 + )tan* 9,2=a2 - + (a2 tan* 8

10、T一)taird>a2 +b2 + 2ab = (a+ b)2,2当且仅当E tat? 8=晨，网 tan- 9所以/(8)的最小值为S+bf忽视条件取等号例题力求函数) =L &+4错解；函数】=。2=三 “ 7774 、所以函数的最小值为1 当 tan 0 -时，的最小值。- 4 + 1r1、P + 44工42.剖析:使用基本不等式求曲s的最值时，一定将证等号成立的条件即 a+b > 2底 只有曰=b才能取等号上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的=F+1在F22时是单调递增的， t11 5】' = + 一之 2 + j-=t2 2x2+y2=b (aw

11、b),贝U mx+ny 的最大值为(例7-1若实数m, n, x, y满足m2+n2=a,A、B、 . abC、2 22a2 b22aba b答案：B点评：易误选 A,忽略运用基本不等式“二”成立的条件。多次使用忽视等号是否同时成立14例题8;已知两个正实数 J ,满足工+1 = 4,求三的最小值错解二由已知1得4 = x h- v > 2/xy二号 £ 414所以-一品小值是2x y剖析：上述解法中两次使用基本不等式，片中QW4等号成立必须满足x = j ,而1十士之二区的等号成立时，必须有4工=,，因为均为正数，所以两个等号不会同时成 工yY初立，所以上述解法是错俣的.14

12、14.4r1'正好：4( + ) = (x+ H)=5 + + > 9xyxvT'xT*当且仅当工=T且t+ = 4 >rx yA<2即上=工，=.时取等号, 33149二一H一才 ，41 49即 + 最小值为-X y4例题8-1:实数m,n,x,y满足m2+n2=s2 , x2+y2=b ,则mx+ny的最大值是a，bA、 一2答案：B错解：AB、. abC、D、. a2 b2错因：忽视基本不等式使用的条件，而用mx+ny W2222,m x n y a br =得出错解。正解：三角函数换元法设 m= , a .cosA, n= . a sinA; x= .

13、 b .cosB, y= . b sinB则 mx+ny= ( Va .cosA) ( <b .cosB) + ( « .cosB) ( bb sinB) =< ab .sin(A-B)因此mx+ny的最大值是Jab .用均值不等式时忽略实际情况例题9:数列an的通项式ann2 90,则数列an中的最大项是(A、第9项C、第 答案:10项DB、第8项和第9项D、第9项和第10项点评:易误选A,运用基本不等式，求an=一，忽略定义域N*。nn(6)综合应用中考虑不全致错例题10:如果10gl2一之10gl 那么sin x的取值范围是(3-222,21山 2,2J <2

14、, J正确答案：B错因：利用真数大于零得x不等于60度，从而正弦值就不等于，于是就选2了 D.其实x等于120度时可取得该值。故选 Bo(7)不会应用几何意义致错例题11: x为实数，不等式|x 3| |x 1|>m恒成立，则m的取值范围是(A.m>2正确答案：DoB.m<2C.m>- 2D.m< 2错误原因：容易忽视绝对值的几何意义，用常规解法又容易出错(8)数形结合应用不当致错例题 12： f(x)= | 2x1 ,当 a<b<c 时有 f(a) >f(c) >f(b)则(A a<0,b<0,c<0B a<0,b

15、>0,c>02a+2 c<2正确答案：D 错因：学生不能应用数形结合的思想方法解题。(9)换元后的取值范围不对致错1 .、2例13:已知sin x+sin y =4 ,求sin xcos y的取大值和取小值。2 1 211错斛一： sin x cos y = (sin x+一) 一一,6121；当sinx = -1时，取得最小值-11;当sinx=1时，取得最大值 612错解二： sinx-cos y = (cosx-1)2 -11 , 212-1 . .11当cosx =一时，取得取小值 -一；212正解分析：解法二忽略了范围限制,当 cosx=-1时，取得最大值4；-1

16、<sin y 三12得：-<sin y <1 o应由1一1 _sin x = sin y _ 13 712.线性规划典型题型由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线 在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外， 还有以下六类常见题型。(1)求线性目标函数的取值范围x< 2例1 :(一次函数型)若x、y满足约束条件y2,则z=x+2y 的取值x y - 2范围是 ()A、 2,6 B、 2,5 C、3,6 D、(3,5解：如图，作出可行域，作直线l: x+2y = 0,将l向右上方平移，过点A ( 2,0 )时，有最小值 2,过点B ( 2,2

17、 )时，有最大值6 ,故选A拓展：思考二次函数型、指数函数型、对数函数型等。(2)求可行域的面积2x y -6 . 0I例2：不等式组x + y-3<0表示的平面区域的面积为2()x=2y *2x + y - 6= 0 = 5解：如图，作出可行域， ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减A、4 B、1 C、5 D、无穷大去梯形OMAC 的面积即可，选Bx -y _2例3：在平面直角坐标系 xoy中，已知集合 I，则集合A = (x, y) | x .二0厂0B =(2x+y,x -2y) | (x, y) Wa表示的平面区域的面积为10y-0例4:在平面直角坐标系中，不等式组<

18、;x2y0 表示的区域为 M, txt+l表示的x y-3<0区域为N,若1<t<2,则M与N公共部分面积的最大值为解：因为先根据题意中的条件画出约束条件所表示的图形，再结合图形求公共部分的面积为f (t)即可，注意将公共部分的面积分解成两个图形面积之差，那么可知公共部分的面积为1 _1125S=S*OE SyBOc -S/FOE =-EOx1-t-(2 (t +1)2,借助于二次函数得到最大值-2226(3)求可行域中整点个数例5:满足|x|A、9个十 |y| w 2 的点(x, v)B、 10 个C、13 个中整点(横纵坐标都是整数)有( )D、 14 个解：|x| +

19、|y|w 2等价于作出可行域如右图， 整点个数为13个，选Dx + y <2x - y - 2-x + y W2-x y W 2是正方形内(x-0,y_0)(x -0,yY0) (x40,y _0) (xY0,yY0)部(包括边界)，容易得到则a的值为1yx + y = 5Ox=3 x解：如图，作出可行域，作直线l ： 取得最小值的最优解有无数个， 重合，故a=1 ,选Dx+ay则将=0,要使目标函数z=x+ay(a>0)l向右上方平移后与直线例7：如图，目标函数 z= ax-y的可行域为四边形OACB(含边界)，若6)是该目标函数z=ax y的最优解，则a的取值范围是八 ，123

20、 、A.(-,-)510,105、B.(，一)312x+y = 51 xy ic 3 3 12C.(,一)10 5D.(-12,-) 5 10(5)距离平方型目标函数的最值2x y-2-0例8：已知x、y满足以下约束条件x-2y+4之0 ，则2z=x(4)求线性目标函数中参数的取值范围例6:已知x、y满足以下约束条件«x-y+5E0,使z=x+ay(a>0) x <3取得最小值的最优解有无数个，A、 一 3 B、 3 C、 一 1 D、的最大值和最小值分别是()A、13 , 14C、 13 ,5B、 13, 2D、而，25- 5解：如图，作出可行域，x2+y 2是点(x, y)到原点的距离的平方，故最大值 为点A ( 2,3 )到原点的距离的平方，即|AO| 2=13 ,最小值为原点到直线2x4一+ y 2=0的距离的平万，即为一，选C5(6)求约束条件中参数的取值范围例9 :已知|2x y + m| v 3表示的平面区域包含点(0,0 )和(一1,1 ),则m的取值范围是 ()A、(-3,6) B、(0,6) C、(0,3) D、(-3,3)_一 x-y+m+3>0解：|2x y+ m| v 3 等价于2x-y m-3 ： 0由右图可知m 3 3,，故 0v