X 整除性质或定理

1、整除性质或定理【最大公约数定理】定理一 如果第一个数能被第二个数整除，那么第二个数就是这两个数的最大公约数。证明：由于 b|a，b|b，b是a、b的公约数。又由于比b大的数不可能是b的约数，也不可能是a、b的公约数，所以，（a，b）=b。定理二 如果第一个数除以第二个数，余数不等于零，那么这两个数的最大公约数，就是第二个数与这个余数的最大公约数。即如果 a÷b=q（余r）（r0），那么（a，b）=（b，r）。证明 设p是a、b两数的一个公约数， a÷b=q（余r），又 p|a，p|b，p|r（根据“有余除法”的整除性定理-定理五）。因此，a、b两数的公约数，一定是b、r两数

2、的公约数。又因为a、b的公约数与b、r的公约数是完全一致的，所以，它们的最大公约数也完全是一致的。即（a，b）（b，r）。（注：定理二是用“辗转相除法”求最大公约数的理论依据。）【最大公约数的性质】最大公约数具有以下一些性质：（1）两个数分别除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数。例如，（45，27）=9（此式表示“45和27的最大公约数是9”）45÷9=5，27÷9=3，（5，3）=1，所以，所得的两个商5和3是互质数。（2）两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。例如，（48，60）=12，12的约数有 1，2，3，4，6，12。1，2，3，4，6，12也都

3、是48和60的公约数。（3）两个数的公约数，都是这两个数的最大公约数的约数。例如，（32，48）=16；32和48的公约数有1，2，4，8，16；1，2，4，8，16也都是16的约数。（4）两个数都乘以一个自然数m，所得的两个积的最大公约数，等于这两个数的最大公约数乘以m的积。这就是如果（a，b）=c，m0那么（am，bm）=cm。例如，（24，32）=8，则（24×2，32×2）=8×2，即（48，64）=16（5）若两个数都除以它们的一个公约数m，则所得的两个商的最大公约数，等于这两个数的最大公约数除以m的商。这就是如果（a，b）=c，且m|a，m|b（即m能

4、整除a，m能整除b， 也就是m是a和b的公约数）；例如，（24，32）=8，【最小公倍数的性质】最小公倍数的性质如下：（1）两个数的任意一个公倍数，都是它们的最小公倍数的倍数。例如，4，6=12（它表示“4和6的最小公倍数是12），则4与6的其他任何一个公倍数24、36、48，就都是最小公倍数12的的倍数。（2）两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个数的乘积。这就是（a，b）·a，b=a·b。例如，（24，32）×24，32= 8×96=768而24×32=768，（24，32）×24，32=24×32【和差整除性

5、定理及推论】定理一 如果两个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和（或差）也能被这个自然数整除。用字母表达，就是如果ba，ca，且bc，那么，（b+c）a，或者（b-c）a。（符号“”是整除符号，如“ba”读做“b能被a整除”，或“a能整除b”。）它也可以表达为如果a|b，a|c，且bc，那么a|（b+c），或者a|（b-c）。（符号“|”也是整除符号，但写的前后顺序与“”符号恰好相反。“a|b”读做“a能整除b”，或者读作“b能被a整除”。）例如，123，153，则（12+15）3，或者（15-12）3。改用另一种整除符号“|”表达，就是如果3|12，3|15，那么3|（12+15），3|（

6、15-12）。推论一 如果若干个数都能被同一个自然数整除，那么它们的和也能被这个自然数整除。也就是：如果am，bm，cm，dm，那么（a+b+c+d）m。或者是：如果m|a，m|b，m|c，m|d，那么，m|（a+b+c+d）例如，11|22，11|33，11|99，11|121，那么，11|（22+33+99+121）。定理二 如果两个数中的一个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和（或差）能被这个自然数整除的充分必要条件是：另一个数也能被这个自然数整除。也就是：如果am，那么（a+b）m的充分必要条件是bm；如果am，那么（a-b）m的充分必要条件是ba。推论二 如果两个数中，一个数能被某

7、一自然数整除，另一个数不能被这个自然数整除，那么，它们的和（或差）也不能被这个自然数整除。也就是：如果am，b不m，那么（a+b）不m，（a-b）不m。（“不”是不能整除的符号）或者是：如果m|a，mb，那么 m（a+b），m（a-b）（“”也是不能整除的符号）例如，7|35，720，那么，7（35+20），7（35-20）。推论三 如果两个数的和及其中的一个加数能被同一个自然数整除，那么另一个加数也能被这个自然数整除。也就是如果（a+b）m，am，则bm。例如，两数的和408，其中的一个加数248，那么另一个加数168。【整除的传递性】“整除的传递性”见下面的“定理三”。定理三 如果第一个数

8、能被第二个数整除，第二个数能被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。这也就是如果ab，bc，那么ac。例如，4824，246，则486。【积的整除性定理及推论】积的整除性定理见“定理四”。定理四 一个数如果能被某一自然数整除，则这个数的整数倍数，也能被这个自然数整除。这也就是如果ab，m为整数，那么amb。例如，217，则（21×11）7，即2317。推论 在若干个数的积中，如果有一个因数能被某一个自然数整除，那么，它们的积也能被这个自然数整除。用字母来表达，可以是在abc中，若am，则abcm。例如，在算式“11×19×21”中，因217，所以（11×19×21）7。【有余除法整除性定理】定理五 在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一个自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。用字母来表达，就是如果a÷bqr，且am，bm，那么rm。例如，在84÷49=135中，847，4