一元二次方程和二次函数数学拓展部分教材分析

1、一元二次方程和二次函数数学拓展部分教材分析（初三数学教师培训课程开发）1、教学目标经历一元二次方程的根与系数关系的观察、分析和发现过程，理解一元二次方程的根与系数是紧密联系的掌握一元二次方程的根与系数的关系的证明以及它的基本运用。经历确定二次函数解析式所需独立条件的个数的探索过程，知道二次函数解析式的三种基本形式,会用待定系数法求二次函数解析式. 掌握待定系数法的基本运用。树立二次函数与一元二次方程的联系的意识，能以函数的观点来理解一元二次方程能根据相应的一元二次方程的根的情况分析二次函数的图象特征。通过以二次函数解决现实生活中简单实际问题的举例，体会二次函数的基本应用。课时安排本章教学共13

2、课时，建议分配如下11   一元二次方程的根与系数的关系               3课时12   二次函数与一元二次方程                     3课时13   二次函数解析式的确

3、定                       5课时    复习小结                       &#

4、160;              2课时设计说明本章教学内容主要在于建立了一元二次方程与二次函数之间的联系。首先探究了一元二次方程根与系数的关系;其次是建立了一元二次方程与二次函数之间的联系，由图象上发现：如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有公共点那么公共点的纵坐标为0.由y=0，得相应的一元二次方程ax2+bx+c=0，则这个方程的实数根就是函数图象与x轴的公共点的横坐标. 最后介绍了确定二次函数解析式的三种方法：九上教材中已讲述了二次函数图象经过直角

5、坐标平面上三点确定二次函数解析式，现在又介绍了另外两种形式的解析式的确定：“顶点式”和“两根式”。 关键是在已知条件下选择哪一种方法，这就需要学生认真审题，理解题意，依据适切程度加以选择课本中二次函数的应用主要体现在两个方面:一是与几何知识的综合运用，二是实际生活中的运用本章内容是中学数学中数形结合教学。重要载体之一，应充分发挥其功能。根与系数的关系（韦达定理）是经典方程理论中的核心内容之一，在高中数学中也有较多的应用二次函数及其性质，进入高中后还要从解析的角度进一步研究，现在初中阶段所学的二次函数教学内容是继续学习高中函数内容不可或缺的基础，因此课程标准特别指出，本章内容是进入普通高中所必须

6、修习的。重点是:   掌握一元二次方程与二次函数之间的联系。难点是:    如何发现一元二次方程与二次函数之间的联系。教学中要充分展示知识发生的过程，让学生从形、数两方面真正理解一元二次方程与二次函数之间的内在联系，使知识的运用不会显得牵强。教学建议：重视学生的探索学习的过程。注意运用类比、数形结合和化归的数学思想。注意应让学生感受逆用一元二次方程根与系数关系，建立的新方程的不唯一性，有关题目解题方法的多样性，这样有利于培养学生发散性思维能力。把握学习难度。注重知识应用的教学，关注如何建立知识之间建立联系及互相转化，如何培养学生将实际问题转化为

7、数学问题的能力。评价建议：关注学生对一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根与二次函数的联系这些新基础知识的理解和掌握，必要的、扎实的有关技能的形成。关注学生对数学思想方法的体会和感悟。关注学生思维的灵活性。关注学生对一元二次方程和二次函数的联系的知识系统的构建和完善。关注学生学习方式和方法的改善。二、具体说明11   一元二次方程的根与系数的关系【3课时】教学目标 经历一元二次方程的根与系数关系的观察、分析和发现过程，感受获得新知识的成功喜悦。理解并掌握一元二次方程的根与系数关系，并会利用其进行基本运用（如求关于两根对称式的值、建立与之有关的新方程等）和证明。渗透化归、

8、整体代入和分类讨论的数学思想。教材分析及教学建议：对于一元二次方程的根与系数关系的探究，教师要给于充足的时间。在运用一元二次方程的根与系数关系时，应该强调前提：原方程必须化为一元二次方程的一般式。利用一元二次方程的根与系数关系，在不解方程前提下已知一个根求另一个根，求方程中的待定系数,可转化为方程求得。 利用一元二次方程的根与系数关系，求与方程中的两根有关的对称式的值，学生必须具有相关的基础知识。 课本中例4是利用一元二次方程的根与系数关系求方程的字母系数的值及方程的两根， 在完成求值的过程中，教师应该渗透方程和分类讨论的数学思想，强调数学知识之间的。联系和数学的严密性 在例5的教学中，关键是

9、让学生感受一元二次方程的根与系数关系是可以逆用的，而且建立的方程是不唯一，培养学生发散思维能力。 例6的学习对学生是一个难点，它是一元二次方程的根与系数关系的正逆两方面的运用。 例7的学习，通过题意，这里主要是让学生感受利用一元二次方程的根与系数关系解决其他问题的简捷之处，也是让学生感受新知识的学习可以解决旧问题。1、          2 二次函数与一元二次方程【3课时】教学目标 经历探究二次函数与一元二次方程的联系,知道并掌握求抛物线与x轴的公共点的坐标。 建立二次函数与一元二次方程的联系，能以函数的

10、观点来理解一元二次方程。 能根据相应一元二次方程的根的情况分析二次函数的图象特征。渗透化归、类比、数形结合和分类讨论的数学思想。教材分析及教学建议： 问题1 、问题2的学习，教师要给出充裕的时间让学生观察、发现、讨论，最后让学生用自己的语言归纳得到二次函数与一元二次方程的联系.教师在此基础上进一步揭示二次函数与一元二次方程之间的关系。 例题1的学习，主要是使学生熟悉二次函数与一元二次方程的联系.由二次函数与一元二次方程的联系再得到抛物线与x轴公共点的坐标.在这个解题步骤中，体现了由一般转化到特殊，由特殊又转化为一般，学生感受化归的数学思想方法在数学中的运用。  例题2的学习，是进一步

11、灵活运用二次函数与一元方程的联系.教师在教学中应该强调，当学习中碰到新问题时，我们应该想到如何运用已学知识解决新问题，常用的思想方法是类比和化归。 由问题1和问题2 揭示了二次函数与一元二次方程的联系，联想一元二次方程根的判别式可以判定一元二次方程的实数根的个数，拓展到运用一元二次方程根的判别式可以判定抛物线与x轴公共点的个数。   例题3的学习，主要是运用相应的一元二次方程根的判别式判断抛物线与x轴公共点的个数.大家注意，第（2）小题，当确定抛物线与x轴有两个公共点时，可以称公共点为抛物线与x轴的交点。在教学中，教师要强调例题4的表达格式。 例题5的学习，对初学者可能在理

12、解题意上存在一定的困难, 教师在教学中重点应该放在分析题意上,同时代数的说理过程不能简略。  例题6的学习，在教材中我们给出了两种解法，大家尤其是要关注第一种解法，由于不妨设点A在点B的左边，使解题方法大大简化，方便了学生，可以提高学生的正确率。13   二次函数解析式的确定【5课时】教学目标 经历确定二次函数解析式所需独立条件的个数的探索过程掌握待定系数法的基本运用,在已知二次函数图象上三点的坐标、或已知二次函数图象的顶点及图象上另一点的坐标的情况下，会用待定系数法求二次函数解析式。掌握待定系数法的基本运用。通过解决现实生活中简单实际问题的举例，体会二次函数的基

13、本应用。教材分析及教学建议： 例1 、例2的学习,教学中应给出时间让学生表达，培养学生总结与归纳的能力。 例4 、例5的学习,是选择顶点式,利用待定系数法求出二次函数解析式，最后的解析式通常化为二次函数的一般式。   例6的教学，教师应该先请学生认真审题，渗透分类讨论的数学思想. 例6的两种不同的解法，反映了两个不同方向的思维方式，有助于发散性思维能力的提高。  例7 、例8 两题的学习,目的是让学生熟悉运用两根式确定二次函数解析式.例8需要学生通过相似三角形的判定与性质得到抛物线与y轴的交点坐标，再利用两根式确定二次函数解析式.这已是一个小型的几何与代数的综合题。例9的学