数列通项公式的十种求法

1、数列通项公式的十种求法一、公式法例1已知数列an满足an 2an - 3 2n, 2=2，求数列a.的通项公式。解：an2an 3 2n两边除以2n 1，得開咻 ，则開综彳，故数列罰是 以a1二所以数列aJ的通项公式为a.二n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an彳=an 2n 1转化为an q - an = 2n 1，进而求 /为首项，以出(an -an) (an4 -anJ 川(a3 -a2) (a2 -q) a1，即得数列an的通项公式。为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得色=1 - (n-1)-，21 2 22n231所以数列aJ的通项公式为an =(n- )2n。2 2aa3

2、评注：本题解题的关键是把递推关系式an 2an - 3 2n转化为.-=，说明数列22 2务是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出务=1 - (n -1)-3，进而求出数列an的通项公式。二、累加法例2已知数列an满足an an - 2n 1, a =1，求数列a.的通项公式。解：由 anan 2n 1 得 an 1 - an = 2n 1 则an= (an- an)(anan /)丨丨 I(a3-a2)(a2 ai )a1珂2(n 1) 1 2(n 2) 1 | (2 2 1) (2 1 1) 1-2(n -1) (n -2) III 2 1 (n -1) 1.2 (n-1) 1=(n

3、 -1)(n 1) 12二 n例3已知数列an满足an an- 23n1,a 3，求数列a.的通项公式。解： 由an.1.=an 2 n 3 得 1an.1- an= 23n 1 则an = (an -弘二)(an J - an J 川(a3 - a2 ) (a2 - a1)a1=(2 3nJ 1) (2 3n，1) | (2 32 1) (2 31 1) 3-2(3nl 3n，| 3231) (n -1) 323(1-3心)1-3(n -1) 3=3n -3 n -1 3=3n n -1所以 an =3n n -1.评注：本题解题的关键是把递推关系式an an -2 3n -1转化为an 1

4、 -a2 3n 1，进而求出ang -a.）（a.-a.）Ill - -a?）（a?-aj印，即得数列aj的通项公式。例4已知数列an满足an 3an 2 3n 1，a 3，求数列an的通项公式。解:晞2 3n 1两边除以3n1，得影号扌洛，3n 1 3n 3 3na232仏）（也-影）（罷-罷八，an4an4333吒 材（2话） *）川（2申易 =笃（冷活已叫）.旦3丄(1 _3n巧 因此 an = 2.)3n 31-3-M l3则an21n 3n 丄 3n32评注：本题解题的关键是把递推关系式 an#=3an+2x：3n+1转化为 七-肆=2+二,3n 3n 33进而求出僚-開）（巽-弄）

5、（霁-罷厂川（J-J），即得数列的通项公式，最后再求数列 an的通项公式。三、累乘法例5已知数列a.满足a.1= 2（n1）5na.,a =3，求数列a.的通项公式。a解：因为 an .1 二 2(n 1)5n an，a = 3，所以 a. = 0，则丄1 二 2(n - 1)5n，故ana. Jan二川a电aia. _2a2 ai-2( n-1 1)5nJ2 (n 2 1)5n川2(21) 522(1 1) 51 32nln(n1)3 2 5(2)(221 3n (n -1)=3 2nl 5n!n（n-J）所以数列aJ的通项公式为an =3 2nd 5弓n!.评注：本题解题的关键是把递推关系

6、a#-2( nJ)/ an 转化为 n1 -2 (n 1)5n，进而求 an出电 A土川.西电印，即得数列 g的通项公式。Nan J2a2 a1例6 （ 2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列an满足a1, a.二印2a? 3% 川（n -1总（n -2），求a.的通项公式。解：因为 an =s1 2a2 3a3 川(n -1)anJ(n - 2)所以 a. 1 二印 2a? 3a3 川(n -1)an4 na.用式一式得an 丁 -an二nan.则 an 1 =(n 1)an(n -2)故二 n 1(n _ 2)所以an丑 也 川 更 an(n -1)山 4 3an!a2.an J

7、 an _2a22由 an =ay 2a2 3a3 HI - (n -1)an(n _2),取n =2得a2 =印 2a2，则 a2 =印,又知 n!a! =1,则 a2 = 1，代入得 a* = 1 3 4 5 |l( n =2n J所以，an的通项公式为an=.2a评注：本题解题的关键是把递推关系式an小=(n - 1)an( n _ 2)转化为亠 =n 1( n _ 2),anaaa进而求出 嘤 3 a2，从而可得当n_2时，an的表达式，最后再求出数列的an J an _2a2通项公式。四、待定系数法例7已知数列an满足an2an 3 5n，a6，求数列laj的通项公式。解：设 anx

8、 5n2(an x 5n)将an 1=2 35n代入式，得2an 35x5n2a51，等式两边消去2an，得3 51 x 551，两边除以5n，得3 5x = 2x则x = - 1代入式得an1 -5n1 =2(an-5n)n 1a 斤由a“ -51 =6-5 =1 =0及式得an-5n=0,则 亠 =2，则数列an-5n是以 a-5印-51 =1为首项，以2为公比的等比数列，则 an -52n4，故an =2n_l，5n。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 2an 3 5n转化为an, -5n 1 =2(an -5n)，从而可知数列an -5n是等比数列，进而求出数列 an -5n的通项

9、公式，最后再求出数列an的通项公式。例8已知数列an满足an 3an 5 2n 4, a1,求数列an的通项公式。解军：设 an出+xx2n* + y =3(an+xx2n + y) 将an , =3an 5 2n - 4代入式，得3an 5 2n 4x2n1 - y = 3(anx 2ny)整理得(5 2x)2n4y = 3x 2n3y。(5 2x =3x x = 5令，则，代入式得4 y = 3y y = 2an , 5 2n 1 2 =3(an 5 2n 2)由耳 5 21 2 =1 12 =13 = 0 及式，得 an 5 2n 2 = 0，则 an 1 5 2：2 = 3，an 5

10、2n 2故数列an 5 2n 2是以a1 5 21 2 =1 12 =13为首项，以3为公比的等比数列，因此 an52n*2=133nJ，则an=133nJ-52n-2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an3an 5 2n 4转化为an 1 5 2n 1 3(an 5 2n 2)，从而可知数列an 5 2n 2是等比数列，进而求出数列an 5 2n 2的通项公式，最后再求数列 耳的通项公式。例9已知数列an满足an 2an 3n2 4n 5, a =1，求数列aj的通项公式。解：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z= 2(an xn2 yn z)2将an 2an 3n 4n 5代入

11、式，得2 2 22an 3n4n 5 x(n 1) y(n 1) z = 2(an xn yn z)，贝U2 22an (3 x)n(2x y 4)n (x y z 5) = 2an 2xn 2yn 2z等式两边消去 2an，得(3 x)n 2 an 3n 10n 18是等比数列，进而求出数列an 3n 10n 18的通项公式，最后再求出数列耳的通项公式。五、对数变换法例10已知数列an满足an 1 = 2 3n a：，a7，求数列an的通项公式。解：因为a.1 = 23na；,a = 7，所以 0，an10。在an23na；式两边取 (2x y 4) n (x y z 5) = 2xn2 2

12、yn 2z,13 x = 2x1x = 3解方程组2x y 2y ，贝V y =10，代入式，得x y z5=2zz=18an , 3(n 1)2 10(n 1) 18 =2(an 3n2 10n 18)由 a1 3 12 10 1 18 = 1 31 =32 = 0及式，得 an 3n2 10n 18=02则帚1 3(n 1 10(n 18 二 2，故数列an 3n2 10n 18为以 K+3n2+10 n+182a1 3 110 1 1T 332为首项，以2为公比的等比数列，因此an 3n2 10n 18 =32 2nJ，则 an =2n 常用对数得 lgan =5lg an，nlg3 l

13、g2 设 lg an 1 x(n 1) y =5(lgan xn y) -3n2 -10n-18。评注：本题解题的关键是把递推关系式an2an 3n2 4n 5转化为2 2an 1 3( n 1)10( n 1) 12(an 3 n 10 n 18)，从而可知数列将式代入 (11式，得5lgan n lg 3 lg 2x n( 1)y = 5gg xn y，两边消去5lgan 并整理，得(lg3 x)n x y lg 2 = 5xn 5y，则lg3 x = 5xx y lg2 =5ylg3x 二 ，故4I 164代入式，得s1：；齐叫竽甞：2由 lg a1114lg3 , Ig2164讪罟1聲

14、乎0及式，.lg3 lg2164则叭1号(n1)器45,n 4164nd lg3 - lg3 lg2n - 464n11-lg3 -Ig316 -Ig241 11二 lg(7 345 n=lg(75n 4= lg(711n3忆 24)5n4 -lg(34 316 24)5n 4卡5n T5n T3 43 162 4 )5n 4n J5“丄43 162 4 )所以数列lg an n 必也2是以lg 7 朋或为首项，以5为公比的等41644164比数列V lgan於n也也2 =(lg 7宴朋-)5n4，因此41644164Igan =(lg7 加朋必)5n4164 71 1 1= (lg7 lg3

15、4 lg36 lg2)5n4111n-lg(7 34 316 24)5n4-lg(34 316 24)5n 4n 45n 丄4n 1则 an = 753 162 4 。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式an1=2 3n a；j转化为Ig 3Ig 3 Ig 2Ig 3 Ig 3 Ig 2Ig an i (n 1)5(lg a. n)，从而可知数列41644164Ig 3 Ig 3 Ig 2Ig 3 Ig 3 Ig 2Ig a.n是等比数列，进而求出数列 Ig a. n的通项41644164公式，最后再求出数列an的通项公式。六、迭代法例11已知数列an满足an a3(n 1)2, a

16、, =5，求数列an的通项公式。解：因为anan(n1)2n，所以an七nT3(n J)2n- 3n2=仏 32(n川2(心心二 a./3(n _2) 2n - 32(n)n2(n (n 亠 =an J333(n_2)(n J.) n 2(n(n-2) (n= anj3=IH3“丄2 3|川|的_2) (n)n 21十二十十J!=an(n吐3n -n! 2 2 =6又a5，所以数列an的通项公式为an(n J_ 53n1n!2 2评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式an厂a；(n 1)2n两边取常用对数得Ig an彳=3(n 1) 2nIg an,即Ig an-

17、3(n 1)2n，再由累乘法可推知Igan 严gan4川业业 IgaIg53nn!2Ig an qIg a2 Ig 冃n (n J)23n n! 2，从而an = 5n( nJ)2o七、数学归纳法例12已知数列 an满足 an 1 = an十 8( n+1)2 2 ?(2n 1) (2n 3)8-，求数列為的通项公式。9解:由 an 1 = an8( n +1)2 2(2n 1)2(2 n 3)2，得8 8 2249 9 25 一 25由此可猜测an =(2n 1)2 -1(2n 1)2往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当 n =1 时,ai2(2 1 1)-1(2 1 1)28，所以等式成

18、立。9（2）假设当n二k时等式成立，即(2 k 1)2 -1(2 k 1)2，则当n =k 1时,ak 1 = ak8(k +1)(2 k 1)2(2k 3)2a2“8(1J) 2(2 1 1)2(2 1 3)2丄 8(2+1)24 丄 8汉 348(2 2 1)2(2 2 3)225 25 49498(3+1)488x480a4 = a322(2 3 1)2(2 3 3)249 49 81 81_ (2k 1)2 -18(k 1)-(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1) (2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k

19、 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 -(2k 1)2-(2k+1)2(2k+3)2(2 k 3)2 -1(2 k 3)22(k 1) 12 -1-2( k 1) 12由此可知，当n =k 1时等式也成立。根据（1），（ 2）可知，等式对任何 n N*都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例13已知数列an满足an 1二116(1 4an 、. 124an),6 =1，求数列an的通项公式。解：令4%，则 a4（b2_1）1 2 1故务 1 = 24(bn %

20、 U，代入务 1 = 16(1 4a . 124an )得去此小存佥 -1）匕即 4b： 1 =(b 3)2因为 bn =、厂24a -0，故 bn 1 二 J_24an 1 -0小13则 2bn bn 3，即 bn 2 bn ?，1可化为 bn 1 -3(bn -3)，2所以bn -3是以d-3= 1 24a1 -3 = J 24 1-3 = 2为首项，以；为公比的等比数列，因此 bn -3 =2()2 =()2，则 bn =()2 3，即 1，24a. = ( ) 3，得2 2 2 21、n3评注：本题解题的关键是通过将.1 24an的换元为0，使得所给递推关系式转化1 3bn 1bn 形

21、式，从而可知数列bn -3为等比数列，进而求出数列bn -3的通项公式,2 2最后再求出数列an的通项公式。九、不动点法21a -24例14已知数列an满足an 1二 ，a1 =4，求数列an的通项公式。4an +121x -24221x_24 ,解：令 x，得 4x -20 x 24 0 ，则 x1 2，x2 =3是函数 f （x）的4x+14x+1两个不动点。因为2俺 -24 2an 4.-2 4an 121an24-2(4an1)13an-2613an2an q _3一 21an-24J 21an一24- 3(4an1) 一 9an - 27 一 9 an -3所以数列4an 1忙2是以

22、亡二口二an -3| a1 -34-32为首项，以13为公比的等比数列，故 色29an则an评注:本题解题的关键是先求出函数f(x)21x_24的两21x 24 的不动点，即方程x-4x 14x 1个根为=2, x2 =3，进而可推出an 1 *an 1 -313 an -293门3an - 2，从而可知数列卜为等比数lan -3J列，再求出数列 3三 的通项公式，最后求出数列 an的通项公式。 一3丿例15已知数列an满足an彳=7a2，印=2，求数列an的通项公式。2a +37x223x_1解：令x，得2x -4x 0，则x =1是函数f (x)的不动点。2x+34x + 7因为an “ -1二乞匚2 -1二5匚5