2020届高三第一轮复习讲义【13】-指数与对数方程

1、2020届高三第一轮复习讲义【13】-指数与对数方程一、知识梳理：1、指数方程和对数方程定义：在指数里含有未知数的方程叫做指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。2、指数方程的主要类型：(1) af(x) b f (x) 10gbi(a 0, a 1,b 0);(2)af(x)ag(x)(a 0,a 1) f (x) g(x)；(3) af(x)bg(x) fx 1g a g(x) 1g b(a0,a 1,b0,b 1)；(4) Aa2xBax C0(a 0,a 1),令 tax转化为At2 Bt C0后再求解;(5) A a2xB ax bxC b2x 0(a 0,a1,b 0

2、,b1)可转化为：2xxA aBaC 0,再用换元法求解；bb3、对数方程的主要类型：(1) log aa x b f (x) ab(a 0,a 1)；f(x) g(x)(2) log (x) 1ogg(x)(a 0,a 1) f(x) 0 ;g(x) 02(3) A 1oga(x) B 1oga(x) C 0(a 0,a 1),令 t 1oga(x),转化为：At2 Bt C 0,再求解。4、值得注意的几个问题：(4) 注意解指数方程和对数方程过程中换元法和等价转化思想的运用；(5) 在解方程的过程中变形的每一步都要是同解变形，否则会失根或产生增根，要注意检验；(6) 要能利用计算器、函数的

3、图像和二分法来探索、求解一些指、对方程的近似解。二、基础检测：1 .方程22x 2x2 3的解为.2 .方程 logz(2x) 1og2(x2 3)的解为.3 .方程42x1 (1)、的解是2一，2 一一，一4 .函数f(x) 10g2 x 3的零点是.5 .方程 log4(3 x) log0.25(3 x) 10g4(1 x) log0.25(2x 1)的解集是.6 .若函数f(x) x2 2x m在区间(0,2)上有唯一的零点，则实数m的取值范围是 3三、例题精讲：【例1】解下列方程:(1) 92x 13 x1(4)log(16 3x)(x 2)2解：(1) 92x 13 x34x 2 *

4、(2)两边取对数得x 1-X 153(5) xlgx 210003 x 4x 2 x x(3) log5(x 1) 10g0.2(x 3) 1x 1 1g5x2 11g3 ,即 x 1251g5 x 1 1g30,解得x 1或1og 315,所以原方程的解为x1 或 x 1og315 .(3)由原方程得:1og5(x 1)1og5(x3)1 1og5(x1)(x 3) 12x 2x8 0x14,x22(4)(5)经检验，只有x1原方程可转化为经检验，只有两边取对数,解方程得1g x4符合,所以原方程的解为16 3x (x2)2163xx14, x23x21g3符合,1g x x1,1g x所以

5、原方程的解为1g1000,(1g x)221g3,x 10或3.0,x ,1000经检验都是方程的根.例2解下列方程:(1) 3 16x 36x2 81x,21g x10g1g x x202.2.(3) 1ogx 9x 1og3 x 4(4)1og2(9x5)1og2(3x 2)22x解：(1)原方程可化为3 42x4x9x92x,可化为30,x4所以491(舍)，即x -,所以原方程的解为2(2)因为101g2x(1dgx)1gxx1gx,故原方程可化为x1gx10,两边取常用对数，得1gx 1(即1gx一一1于是有x1 10, x2一，经检验，二者都是原方程的根.10所以，x(4)原方程化

6、为1-C，一或x 3,经检验，x99x 5 4(3x 2), 3x 2 0,解得x9x 5 0.1 -一或x 3都是原方程的解.91【例3】解下列方程:5(1) a2 4x (2a 1) 2x 1 0(2)2-一 一1g(x2 ax) 1g(6a 3) 0(3) 21gx lg x解：(1)当a0时,2x 1,x 0;0时,_22(2a 1) 4a1 4a1-右 0则 a ( a 0).4且关于t的22_二次方程a t (2 a1)t 10至少有一个正根,而两根之积为1八、一，一 r 0 ,故两根之和为正数，即 a0)时,2x(1 2a)1 4a2 a2故a 1(40)时，x1og212a14

7、a2a2为原方程之根.(2)化原方程为:x2 2ax6a 3 02x 2axa2 6a 3Ja2 6a 3 即(3)先求使方程有意义的未知数在此条件下，原方程化为4a6a1 a2(x a)26a 3得x14a4ax2 1x1x2x1 1x2 1x1x2x1故原方程有两个实数根x13 0 ,故由(xa2 6a 3 ( ax和参数a的取值范围，由a)212)6a3得:4时，方程无实根，则原方程无实根;4时，方程有两个相等的实数根4时，方程有两个不等的实数根2 a 2 0,x21 a a 12是原方程的实数根;x1 , x2 ,由韦达定理,a2 4a-2，x2aa2 4a ,(a 4) .2【例4】

8、已知关于x的方程32x1 (m l)(3x1 1) (m 3)3x 0(m R).(1)当m=4时，解此方程;(2)若方程在区间(1,log34)上有唯一的实数解，求 m的取值范围.0 即 3 (3x)2 8 3x 3 0解：(1)m=4 ,则原方程为 32x 1 3(3x 1 1) 3x令 t3x0 ,则有 3t2 8t 3 0人，、1解得t 3 (舍)或t31则3x-,解得x3(2) m28(7,二)5【例5】当k为何值时，方程|3x 1| k无解？有一解？有两解？解：当k 0时，直线y=k与函数y |3x 1|无交点，所以方程无解；当k 0或k 1时，直线y k与函数y |3x 1|有一

9、个交点，所以方程有一解;当0 k 1时，直线y k与函数y |3x 1|有两个交点，所以方程有两解；【例6】若关于x的方程9x (a 4) 3x 4 0有实数解，求实数a的取值范围i9x 4 v 4斛：a 4 (3 一)4, a 8.3x3x【例7】用二分法求方程10g2(x 4) 3x在(0,1)上的近似解(精确到0.1).解：设 f(x) log2(x 4) 3x,f(0) 0, f (1) 0, f(0.5) 0,所以 f(x) 0 在(0.5,1)上必有一解，根据二分法，进行方t算,可得f (x) 0在(0.71875,0.7421875)上必有一解，区间(0.71875,0.7421

10、875)上任意数取四舍五入至0.1后均为0.7,因此取0.7为近似解.【例8】若关于x的方程lg(x 1) lg(3 x) lg(1 ax)有两解，则实数a的取值范围是 解：即考虑(x 1)(3 x) 1 ax在(1,3)上解的情况ax在(1,3)上的交个数点1如图所示，即考虑曲线y (x 1)(3 x)与直线y 111当直线的斜率 a ( 1, - a -,1)或者a 0时, 33两者图像有唯一交点，即方程有唯一解；1 1当直线的斜率 a (1,0) a (0,1)时，3 3两者图像有两个交点，即方程有两解；当 a (, 1 (0,) a (,0) 1,)时，两者图像无交点，即方程无解；综上

11、所述，a (0,1).37【例9】已知关于x的方程k 9x k 3x1 6(k 5) 0在x 0,2上有解，求实数k的取值范围。解：方法一：令3x(1)当k 0时，方程不成立;5o(2)当 k 0时，则 t2 3t 6(1 )0。令 f(t) t2 3tk2 c “5、八，一t2 3t 6(1 -) 0在 t 1,9上有解，则k6(1 -),此二次函数的对称轴方程为 k0f(9) 059 24(1) 0k,解得15281 27 6(1 -) 0kk 8。方法二：令3x t ,由x 0, 2,则t2 一 一一.一 , .1,9,则原方程化为kt 3kt 6(k 5) 0在t 1,9上有解。(1)

12、当k 0时，方程不成立;5(2)当 k 0时，则 t2 3t 6(1 -) 0在t_ 2 _ 30-即t3t 6 。在同一坐标系中作出f (t)k1,9上有解。2 一一t 3t6,t30,1,9与y 的图像，可知方程解的个数等价于两 k1,9,则原方程化为kt2 3kt 6(k 5) 0在t 1,9上有解。9函数图像交点个数。3、3015301 c所以 f (一) f (9),即60，所以一k 8 2k4k21说明：万法二比万法一更直观，此万法还可以得出k的取值与万程解的个数的关系。当k 8或k -时，方程无21 1515斛；当k 8或k 时，方程有一解；当 k 8时方程有两解。2 22方法三

13、：原方程化为k(9x令 3x t,当 x 0, 2时 tx x 1x 2x36) 30 ,因为 936 (3 )3 36301,9。则 k -r-0,t 1,9。因 t 1,9时，t2 t2 3t 60恒成立，则k309x 3x 1 6八 c 151,八3t 6 一 ,60,所以k 8。42【例10】设a,x R,解关于x的方程lg(x 1) lg(3 x) lg(a x)。11解：原方程等价于x 1 03x0a x 0，因为1 x 3时，(x 1)(3 x) 0恒成立,(x 1)(3 x) a x所以a x0恒成立，即原方程等价于1 x 3ax2 5x 3作函数yx2 5x3在1 x 3上的

14、图像,由图像可以看出:(1)当1 a 3时，方程有一解，且此解13综上知：1 a 3或a 时4方程解为5 .13 4a , -13 ,、；当3 a 一时，方程解为x24513-4 a2 工 55.13 4a小于一，所以x ；2213(gn(x),函数 F (x) Hi(x) g1(x) (0 a)当3 a 时，方程有两解4513-4ax ;13(3)当a 时，方程有一解4四、难题突破：f(x)的图像上运动时，点N(x 2,ny)在函数y gn(x)的图像例 1:已知 f (x) log 1 x ,当点 M (x, y)在 y2上运动(n N * ).(1)求y gn(x)的表达式;若方程g1(

15、x) g2(x 2a)有实根，求实数 a的取值范围;(3)设 Hn(x),f5 24 2+x b )的值域为log 2,log 2，求b 2 a 2实数a , b的值.五、课堂练习：1 .方程9x 4 3x 3 0的解集是2 .解方程：9x 4x 5 6x.23 .解方程：9x 9 x 4(3x 3 x) 50 .,一、 x a 3 ,4 .关于x的方程5 x 的根为正数，则a取值范围是 .5 a5 .关于x的方程2a2x 2 7ax 1 3 0有一个根为2,求实数a的取值及方程的其余的根.6,关于x的方程k 9x k 3x 1 6(k 5) 0在区间0,2上有解，求实数k的取值范围；若方程在

16、区间0,2上只有一个解呢？7.方程logx i(3x2 7x 2) 2的解集是.1 x8 .方程logL(x 4) I,)实数解的个数是 .29 .若 a,b是万程 lg x 2lg x 3 0 的两根，则 loga b log ba .2210 .解方程：10g3 x log1 x 3 0311 .作为对数运算法则：lg(a b) lg a lg b( a 0,b 0)是不正确的.但对一些特殊值是成立的，例如：lg(22)lg 2 lg 2 .那么，对于所有使lg(a b) lg a lgb(a0,b0 )成立的a , b应满足函数a f(b)表达式为.12 .关于x的方程x 2x 2,x

17、log2 x 2的解分别为 ，根据指数函数和对数函数的图象，13 .当实数a取何值时，方程lg(x 1) lg(3 x) lg(1 ax)有一个实数解，两个实数解或没有实数解?14 .已知关于x的方程lg(ax) 2lg( x 1)(1)当a 2时，解该方程；(2)讨论a取何值时该方程有解，并求出它的解？14六、回顾总结：(1)指、对数方程的基本要求：逼近法，或使用计算器等。1 .理解指数方程和对数方程的概念，会求指数方程和对数方程近似解的常用方法，如图像法、2.会解简单的指数方程和对数方程。在利用函数的性质求解指数方程、对数方程以及求方程近似解的过程中，体会函数与方程之间的内在联系。(2)对

18、数方程的常见类型与解法:同底法:lOga f(X)log af(x) g(x)(a 0, a 1) f (x) g(x)g(x)0 ;换元法:f (lOg a X)0(a0,a D，设 t lOga x ,转化为解 f(t) 0；互化法:lOga f(X)f(x) ab。注：对数方程须检验，含字母的对数方程化为与之等价的混合组。七、课后练习：2 .方程lg(x21) lg5的解集用列举法可表示为 .3 .函数f(x) 4x 2x 1的零点为 .4 .方程 lg(x 1) lg(x 2) lg(x 2)的解为.25 .若万程 lg x (lg5 lg7)lg x lg5 lg7 0 的两个解为，贝U .6 .关于x的方程4x k 2xk 3 0有实数解，则实数k的取值范围是 .loga x x 0c7 .已知函数f(x) 1,其中a为常数且a 1,若关于x的方程f(x)2 b f (x) 0恰有三个不同的实数ax 1x 0解，则实数b的取值范围是 .7.方程x 11gxi 2的实数解的个数是答A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个318.解方程：1 3x1. 3 1 39.解方程:log2(9x15) log2(3x 1 2) 2.10.利用二分法,求方程lnx 2x 6 0的近似解(精确到0.1)11.过圆C:(x 1)2 (y 1)2 1的圆心，作直线